Présentation

Avant le cycle 3, les élèves peuvent dénombrer de grandes quantités. C’est le cas par exemple avec des nombres de l’ordre du millier dans les situations Fourmillions (ERMEL CP) ou Trombones (ERMEL CE1).

Ici, il s’agit de dénombrer un million de points agencés sous forme de carrés « bien organisés ». La situation a été testée dans une classe de CE1-CE2, voir ci-dessous les possibilités d’activité des élèves en fonction de leurs compétences.

L’agencement est le suivant :

• $10 \times 10 = 100$ grands carrés (chaque grand carré représentant $10\ 000$ points).
• Chaque grand carré est lui-même composé de $10 \times 10 = 100$ petits carrés (chaque petit carré représentant $100$ points).

Tous les documents nécessaires sont joints à cette page.

Le poster, c’est à dire le fichier Poster-Million.pdf nécessite d’être imprimé au minimum au format A1 (59,4 cm x 84,1 cm) pour que chaque point soit visible. Le format A0, deux fois plus grand, facilite le travail simultané des élèves autour de l’affiche. Une résolution de 600 dpi (haute définition) et un papier brillant 200 g sont idéaux.

Les établissements scolaires n’ont généralement pas le matériel pour imprimer ces formats. Il est possible de demander l’impression à la circonscription (premier degré), au rectorat (second degré), à des parents bénéficiant de cette possibilité, ou encore de contacter un prestataire privé (moins de 20 € en 2024 pour une impression de très bonne qualité sur un papier 190g/m2 photosatiné réutilisable sur plusieurs années).

Cette situation a été testée en CE1-CE2. Il peut être utile de prévoir quelques loupes pour faciliter la visualisation des points au sein des petits carrés mais des agrandissements d’un petit carré et d’un carré de 10 000 points peuvent aussi suffire (fichiers PDF joints à cette page).

EDIT 09/01/2026 : La situation peut être éventuellement complétée avec l’exploitation (non détaillée ici) de l’album /Un million de points/ de Sven Völker (2023) aux éditions Helvetiq ou d’albums équivalents qui traitent de grands nombres.

Consigne initiale

Est-ce que cette affiche représente un million de points ?

Procédures élèves

Les élèves peuvent a priori utiliser différents moyens :

• Poser des questions à l’enseignant sur la composition de l’affiche.
• Utiliser une loupe pour voir finement de quoi sont composés les carrés.
• Recourir à l’addition ou à la multiplication selon leur niveau de compétence.
• Utiliser une calculatrice (a priori toujours disponible).
• Demander un agrandissement de certaines parties de l’affiche.

Modalités pédagogiques et gestion de l’hétérogénéité

Plusieurs modalités pédagogiques sont possibles mais un travail individuel initial est nécessaire afin que chaque élève se fasse sa propre opinion sur ce qui peut être tenté. La suite peut être strictement individuelle mais des modalités de travail en groupes sont optimales.

A priori, tous les élèves peuvent s’impliquer dans la situation.

En effet, selon leurs compétences, les élèves peuvent :

• au minimum, compter le nombre de points ($10$) d’une ligne/colonne d’un petit carré
• au minimum, compter le nombre de petits carrés ($10$) d’une ligne/colonne d’un grand carré
• au minimum, compter le nombre de grands carrés ($10$) sur une ligne/colonne de l’affiche
• conclure qu’un petit carré compte $100$ points (peu importe la méthode employée)
• conclure qu’un grand carré compte $10\thinspace 000$ points (peu importe la méthode employée)
• conclure que l’affiche compte un million de points (peu importe la méthode employée)

Méthodes qui peuvent apparaître selon les cas :

• dénombrement un par un
• addition
• multiplication
• méthodes mixtes

Prolongements

Plusieurs prolongements sont possibles :

• Construire différentes représentations de grands nombres ($100$, $1000$, $10\thinspace 000$, $100\thinspace 000$, 1 million)
• Calculer mentalement avec des grands nombres simples à manipuler dès le CP (ex. $3$ milliards de milliards + $7$ milliards de milliards = $10$ milliards de milliards)
• Multiplier par $10$ revient à multiplier par une dizaine. Par exemple, $4 \times 10 = 4 \times \textrm{1 d} = 4\textrm{ d} = 40$. Ce calcul s’appuie sur le principe de numération décimale, il doit être connu et vu régulièrement. Le même principe vaut pour multiplier par $100$ (une centaine), $1000$ (un millier), etc.
• Découverte et utilisation de la commutativité de la multiplication. Autrement dit, la permutation des facteurs d’un produit laisse le produit inchangé. Cette connaissance sert notamment à optimiser l’apprentissage des tables de multiplications (si par exemple on connait $3 \times 4$ alors on connait $4 \times 3$) et à faciliter certains calculs tels que $\overbrace{2+…+2}^{210\textrm{ fois}}= 210 \times 2 = 210 + 210$.

Fichiers fournis

Les fichiers fournis comprennent :

• Un poster comprenant un million de points et des suggestions de consignes (format PDF imprimable au format A1 minimum sinon les points ne seront pas lisibles).
• Un PDF représentant uniquement un million de points (même remarque).
• Un PDF représentant uniquement dix-mille points (imprimable sur un A4).
• Un PDF représentant uniquement cent points (imprimable sur un A4 ou un A5).
• Des images de basse résolution au format PNG pouvant éventuellement être intégrées dans des documents à imprimer au format A4.
• Les sources permettant de produire l’ensemble de ces fichiers.

Note 1. Les fichiers PDF représentant un million de points s’affichent plus ou moins lentement selon l’ordinateur utilisé. Cela est dû au nombre de points à afficher et au fait qu’il s’agit d’un format vectoriel. L’avantage de ce format vectoriel est que l’on peut zoomer autant que l’on veut et que le logiciel d’affichage le permet, l’image restera toujours nette. Chaque mouvement de zoom nécessite un certain temps pour que l’affichage soit complet et net (une à plusieurs secondes).

Note 2 : Il n’est pas possible de reproduire lisiblement un million de points sur un format A4, soit la taille les rend invisibles soit ils ne logent pas tous sur la feuille. Ainsi, l’image au format PNG représentant un million de points est « floue ».

Note 3 : Il est possible d’élaborer un poster personnalisé et de qualité :

• Créez un nouveau document LibreOffice Draw/Dessin (fichier .ODG)
• Choisissez le format A1 ou A0 (menu Page)
• Insérez ou glisser-déposer le fichier UnMillionPoints.pdf dans le document LibreOffice
• Personnalisez le document
• Exportez le document au format PDF (menu Fichier/Exporter)

Le fichier PDF produit aura des caractéristiques qui permettront de l’imprimer au format A1 ou A0 avec une qualité similaire au fichier Poster-Million.pdf déjà fourni.