Sommaire

Préambule

Ce document liste différentes notes et suggestions relatives aux débats et aux interactions entre des élèves en mathématiques, que ce soit sur des temps courts, sur une ou plusieurs séances dédiées à une situation de recherche et de preuve entre pairs (situations RPP) tels qu’un problème ouvert, une situation-problème, un problème pour apprendre à chercher, etc.

Ces notes et suggestions ont été récoltées au fil des années lors d’expérimentations dans des cadres de recherche et lors de simples observations en classe. Je les mets à disposition en ligne car plusieurs collègues didacticiens des mathématiques, formateurs ou enseignants les ont trouvées intéressantes et inspirantes. J’espère que ce sera le cas aussi pour vous !

Les références qui pouvaient être indiquées au fil du texte ont été retirées pour faciliter la lecture.

N’hésitez pas à me contacter pour des corrections ou des compléments : jean-philippe.georget@unicaen.fr.

Nécessité d’un contrat didactique adéquat

Les moments de débats et d’interactions mathématiques sont constitutifs de l’activité mathématique. En classe, ce sont aussi des moments d’évaluation formative informelle puisqu’ils donnent des indications sur l’état et l’évolution des connaissances des élèves pris individuellement ou collectivement. Il est donc pertinent d’accorder une attention particulière à la préparation de ces moments, d’autant que les élèves et les enseignants y sont peu formés.

De multiples facteurs influent sur le déroulement d’une séance d’enseignement en classe, en particulier en classe de mathématiques en France (pas uniquement). Je ne chercherai pas à tous les lister, en supposant que ce soit possible, car ce serait trèèès long ! Je me limiterai donc à ne citer que quelques facteurs au fil du propos.

La présente ressource n’aborde que des actions spécifiques et relativement faciles à mettre en œuvre, mais qui peuvent rester inefficaces sans une vision plus globale des conditions d’enseignement et d’apprentissage. Par exemple, si l’enseignant de la classe s’appuie fortement sur un ou des manuels scolaires ou si les élèves n’ont jamais ou rarement vécu des véritables situations de recherche et de preuve entre pairs (RPP), il est normal que les débats peinent à s’instaurer à la première mise en œuvre d’une telle situation.

De même, les élèves croient souvent que ce qu’ils disent va être rapidement et facilement compris par les autres élèves. Il est important qu’ils constatent que ce n’est pas forcément le cas. L’enseignant peut donc, surtout dans les séances du début d’année, laisser s’installer des incompréhensions entre élèves puis laisser l’occasion aux élèves d’améliorer leurs argumentations sans immédiatement reformuler ce qu’ils disent. La charge de bien communiquer et de prouver est alors clairement dévolue aux élèves et non à l’enseignant. Le contrat didactique ayant été éclairci pour ce type de moments de classe, l’anticipation et le regard critique des élèves n’en seront que meilleurs par la suite.

Ces premières raisons montrent qu’il est pertinent, autant que possible, d’instaurer un contrat didactique adéquat dès le début de l’année scolaire. Il est possible, par exemple, de proposer au moins une situation RPP dès les premiers jours de classe. A priori, un problème pour apprendre à chercher est à privilégier par rapport à une situation problème. En effet, une séance de problème pour apprendre à chercher qui ne fonctionne pas de façon optimale n’est pas susceptible de remettre en cause la programmation des enseignements. Elle sera justement l’occasion de mieux préciser le contrat didactique général pour la classe de mathématiques. Les situations problèmes qui suivront auront alors plus de chance de se dérouler de manière optimale.

Gestion des débats mathématiques entre élèves

La gestion des débats mathématiques entre élèves est une question complexe – facteurs explicatifs nombreux et interdépendants – et un domaine difficile à maîtriser, comme en témoignent les constats récurrents des chercheurs, des formateurs et des inspecteurs depuis au moins les années 80.

Cette section contient une liste non exhaustive de difficultés régulièrement rencontrées et de conseils pour tenter d’y remédier. Elle prétend être suffisamment riche pour progresser dans ce domaine.

Pour commencer, il semble important de noter que le modèle suivant fonctionne rarement en classe :

1. Présentation et reformulation du problème
2. Recherche individuelle
3. Recherche en groupes
4. Mise en commun
5. Conclusion et institutionnalisation.

Le modèle suivant a plus de chances de fonctionner :

1. Présentation et reformulation du problème
2. Recherche individuelle
3. Courte mise en commun pour vérifier que les élèves cherchent le bon problème
4. Poursuite de la recherche individuelle
5. Consigne qui justifie objectivement l’intérêt d’une recherche en groupes aux yeux des élèves
6. Recherche en groupes
7. Phase de préparation par chaque groupe de sa communication au reste de la classe
8. Mise en commun
9. Conclusion et institutionnalisation.

Ce dernier modèle reste un peu trop simpliste et est formulé de façon extrêmement synthétique mais il peut tout de même servir de guide.

Tard dans la séance, des élèves n’ont pas bien compris ce qu’il fallait ou ce qu’il était possible de tenter (dévolution incomplète)

C’est régulièrement le cas lorsque la découverte du problème et sa dévolution reposent « trop » sur la lecture d’un énoncé écrit. En effet, l’écrit bloque couramment les élèves en mathématiques. Les énoncés sont très synthétiques et chaque mot « compte ».

S’ils ont mal compris l’énoncé ou s’ils finissent par oublier certaines de ses contraintes, les élèves ne mènent alors pas une recherche individuelle suffisante sur le problème correct. Les travaux de groupes ou les échanges qui suivent ne peuvent donc pas se dérouler de façon optimale (travaux de groupes peu efficaces, interactions réduites entre les élèves, etc.)

Si une mise en commun montre que des élèves n’ont pas bien compris le problème, il faut l’expliquer ou le faire expliquer à nouveau, c’est évident, mais il faut aussi généralement lancer une nouvelle recherche individuelle, même courte, pour que le travail en groupes et les phases suivantes soient plus riches et plus faciles à gérer.

Les échanges entre élèves sont absents ou largement minoritaires

Les débats restent alors fréquemment sous la direction relativement stricte de l’enseignant.

Ces séances sont des « cours dialogués » où les questions de l’enseignant sont plutôt fermées et attendent des réponses courtes et faciles d’accès. Ainsi, les élèves ne peuvent se saisir que de ces questions fermées et ponctuelles, ils n’apprennent pas à communiquer entre eux et à gérer collectivement la résolution du problème posé par l’enseignant.

Les effets Topaze sont nombreux à ces occasions. Dans ces cas, l’enseignant peut plutôt poser des questions plus ouvertes pour permettre l’existence de débats et de preuves entre pairs. Parfois, il est préférable de remettre une phase de débat et les phases suivantes à un autre moment. En effet, la recherche et le travail en groupes peuvent fatiguer suffisamment les élèves pour qu’ils n’aient plus ensuite l’énergie ou l’envie de débattre.

Les échanges entre élèves n’ont lieu que juste après des sollicitations de l’enseignant

C’est le signe que les élèves n’ont pas l’habitude d’intervenir dans le débat sans l’autorisation de l’enseignant. Il faut proposer régulièrement des situations RPP, même sur des temps courts, pour modifier le contrat didactique de la classe.

Des élèves s’arrêtent assez vite de chercher ou de débattre

Ce peut être le signe que l’enseignant utilise principalement un fichier ou un manuel « traditionnel » pour gérer son enseignement : les élèves ont plutôt l’habitude de pratiquer des exercices d’application, certes plus ou moins complexes mais ils n’ont pas l’habitude de chercher de véritables problèmes. Le contrat didactique n’est pas adéquat. Ils attendent souvent que l’enseignant valide leurs propositions, ce qu’il doit éviter de faire trop vite pour favoriser l’autonomie des élèves (voir plus bas).

Les consignes de l’enseignant lors des mises en commun des productions orales ou écrites des élèves n’ont pas de spécificité vis-à-vis des mathématiques

Les consignes risquent de ne pas être adaptées pour favoriser des débats mathématiques.

Ce sont principalement des consignes du type :

• Écoutez, cela pourrait vous donner des idées !
• On doit s’écouter !
• Racontez comment vous avez fait
• Montrez/Expliquez-moi (permet difficilement de dévoluer un débat aux élèves).

D’autres consignes sont des effets Topaze prononcées avec une intonation, ou une mimique, suggérant quelle est la bonne réponse :

• Vous êtes sûrs ?
• Écoutez bien, je crois que untel a trouvé quelque chose d’intéressant !

Les consignes pourraient être plus souvent du type :

• Viens/Venez expliquer aux autres
• Viens/Venez convaincre les autres que vous pensez avoir trouvé ou compris quelque chose
• Les autres, écoutez et dites si vous êtes d’accord ou non, si vous êtes convaincus ou non et expliquez pourquoi.

L’enseignant pourrait (devrait ?) se poser davantage comme animateur du débat et ne devrait pas prendre position, au moins pas avant que de véritables débats entre élèves n’aient lieu.

Si un consensus s’installe autour d’une idée fausse, il suffit généralement d’exhiber un contre-exemple pour défaire ce consensus et relancer le débat… dans la même séance si les élèves ont encore de l’énergie pour faire vivre ce débat ou sinon lors d’une autre séance.

Les mises en commun de productions des élèves et les débats semblent interminables

Plusieurs facteurs explicatifs probables peuvent être envisagés.

Potentiel de débat insuffisant

Il est possible qu’il n’y ait objectivement pas d’objet qui vaille le coût d’être débattu, par exemple si les élèves sont tous d’accord et que la solution est correcte. Il vaut mieux passer à autre chose et choisir une situation plus pertinente pour une autre fois.

Enjeux, suspens et dévolution des débats

Il faut fixer de véritables enjeux pour les débats entre élèves, notamment sur la validité de ce qui est avancé, ménager un certain suspens, et demander aux élèves de prendre position et de s’engager pour défendre telle ou telle position.

Avant de demander des explications aux élèves qui exposent, l’enseignant devrait laisser la parole aux autres élèves en premier, ne serait-ce que pour qu’ils puissent dire eux-mêmes s’ils ont compris ou non l’exposé de leurs pairs. Sinon, l’enseignant donne alors le signe que c’est lui qui va dire, implicitement ou non, si telle ou telle production est recevable/intéressante ou non. Le débat et la charge de la preuve ne sont pas dévolués aux élèves, le rôle des élèves est alors réduit à celui d’observateur.

Miser sur le travail en groupes

Pour mieux gérer le temps de parole des élèves durant la séance et favoriser de meilleures formulations de leur part. Étant donné que le temps de parole est limité, l’appui sur des moments de travail en groupes est souvent indispensable pour les situations RPP. Par exemple, l’enseignant a plus de productions à gérer avec des groupes de 2 élèves qu’avec des groupes de 4.

Temps spécifique de préparation des élèves pour présenter solutions et arguments

Couramment, la mise en commun suit immédiatement une recherche en groupes. Avant une mise en commun ou un débat, il vaudrait souvent mieux (1) arrêter la recherche et (2) demander aux élèves, même sur un temps court, de préparer leur intervention avec les moyens qu’ils jugent pertinents (affiche ou non, schéma ou non, l’ensemble des calculs ou non, etc.) Cette organisation favorise l’émergence d’explications et de débats de meilleure qualité, tant sur le fond que sur la forme.

Limiter le temps d’intervention des élèves qui exposent

Il peut être judicieux de fixer une limite de temps aux interventions. Si l’explication donnée ne se révèle pas convaincante dans le temps imparti, l’enseignant peut renvoyer les élèves à la consigne de présenter clairement sur ce temps limité.

Si 2 ou 3 élèves/groupes qui viennent de présenter ont été trop lents pour fournir une explication claire et convaincante, il peut même lancer, dans la même séance ou dans une séance à suivre, un nouveau travail en groupes en rappelant les exigences : être clair, concis et convaincant. Ceci concerne tout autant des pistes de solution qui paraissent valides aux yeux élèves que des pistes qui leur semblent invalides. Ainsi, davantage d’élèves travailler la compétence communiquer.

Fatigue des élèves

Les élèves ont cherché le bon problème mais ils sont fatigués. Il vaut mieux reporter la mise en commun des productions et les débats. La séance suivante peut, par exemple, commencer par un travail en groupes de 10-15 min visant à bien se mettre d’accord sur la façon de convaincre rapidement et efficacement les autres élèves de la classe.

Seuls certains élèves/groupes interviennent

L’enseignant peut (devrait ?) interroger tous les élèves/groupes quelles que soient leurs compétences en mathématiques. Ceci contribue aussi à assurer un certain suspens car l’enseignant ne montre pas qu’il choisit certains pour leurs compétences particulières. On peut par exemple :

• alterner entre un élève qui lève la main et un autre qui ne lève pas la main
• interroger aléatoirement les élèves/groupes (par exemple en utilisant un dé numéroté, ou en choisissant mentalement à l’avance la première lettre du prénom ou du nom de l’élève qu’il va interroger, ou utiliser un tableur)
• interroger des élèves restés plus ou moins à l’écart du travail de groupe pour constater qu’il a dysfonctionné. On peut alors rappeler le fait que chacun doit être capable d’expliquer le travail de son groupe et relancer le travail en groupes en temps limité de toute la classe pour faire respecter les règles élémentaires qui auront été précisées.

Ces différentes options réservent d’ailleurs différentes surprises… Le travail en groupes n’a peut-être pas bien fonctionné, des élèves plus ou moins isolés ont été des leaders de groupe sans partager la parole, d’autres avaient une idée qu’ils n’ont pu exprimer dans leur groupe, etc.

Les élèves n’utilisent pas le vocabulaire pertinent

L’exigence d’utiliser le bon vocabulaire peut être parfois malvenue à ce moment. C’est le cas, par exemple, lorsque cela interrompt les échanges entre élèves ou lorsqu’on oblige les élèves à un effort et une attention supplémentaire qui n’apportent pas forcément un gain évident à leurs yeux. L’enseignant doit faire des choix et parfois réserver ce travail sur la pertinence du vocabulaire à un autre moment.

L’enseignant n’arrive pas à comprendre la production ou la solution d’un ou plusieurs élèves

Il peut simplement dire qu’il n’arrive pas à comprendre et qu’il va prendre le temps, plus tard, de l’étudier. De plus, il peut demander aux élèves d’essayer de préparer une présentation de leur travail peut-être plus accessible. Certaines solutions d’élèves peuvent aussi être réellement ardues à comprendre ! L’enseignant peut demander l’aide d’un collègue, d’un conseiller pédagogique, d’un enseignant de mathématiques, d’un formateur ou d’un chercheur.

Les débats arrivent rapidement à la recherche de la « meilleure solution »…

…sans que les élèves aient véritablement mené un premier débat sur la validité des productions, alors même que l’enjeu de la situation n’a jamais été de trouver la meilleure solution mais plutôt de chercher une solution valide et de prouver sa validité par des arguments mathématiques.

Les méthodes par « essais-erreurs » sont parfois écartées à tort des « meilleures méthodes » ou mêmes des méthodes valides alors qu’elles sont valides et parfois plus rapides que d’autres. C’est à l’enseignant d’expliciter les objectifs de tel ou tel moment de la séance. La compétence *chercher *doit être travaillée.

Par ailleurs, il peut être pertinent d’organiser une séance spécifique sur l’analyse des avantages/inconvénients des solutions envisagées. Les élèves sont parfois trop fatigués pour poursuivre le travail ou n’ont pas eu le temps de s’approprier les solutions. Cette séance peut être plus courte que la précédente.

La phase de travail en groupes n’a pas été motivée par une raison spécifique

Les élèves ne comprennent alors pas toujours l’enjeu de cette phase.

En mathématiques, une phase de recherche en groupes est généralement déclenchée :

• parce que plusieurs élèves ne trouvent pas la même solution – il va donc falloir tenter de se mettre d’accord
• parce que l’enseignant annonce qu’il faut aller plus vite – laissant supposer aux élèves que la recherche en groupes doit permettre d’arriver plus vite et de manière plus sûre à la solution.

Pour user de ces deux options, il ne faut donc pas laisser la recherche individuelle durer trop longtemps, au risque que tous les élèves trouvent une solution valide ou qu’ils trouvent tous les mêmes solutions.

Les mises en commun suivent trop souvent la même succession

Ayant fait le tour des productions des élèves, l’enseignant traite les productions erronées en premier et les meilleures à la fin. Les élèves savent donc qu’il n’est pas pertinent d’écouter ou de débattre des premières contributions, même si l’enseignant insiste pour qu’ils le fassent.

Autres options possibles :

• inverser l’ordre de succession des interventions, par exemple en commençant par l’intervention d’un élève ayant des facilités en mathématiques (penser à instaurer un temps limité pour convaincre les autres élèves, sinon le rôle des autres élèves et l’intérêt de la séance risquent d’être limités)
• tirer au sort le groupe et/ou l’élève qui va s’exprimer en premier, ce qui fait que l’enseignant ne peut pas être soupçonné de « manipuler » le débat.

L’enseignant a déjà validé les productions de certains élèves

Avant le débat, l’enseignant a pu valider certaines productions implicitement ou non, volontairement ou non.

Ce peut être par un geste, une parole, un regard, une attitude, etc.

Les élèves dont les productions ont déjà été validées en amont du débat :

• ont un intérêt moindre à suivre et participer aux débats
• ont un intérêt moindre à valider ou à invalider le travail de leurs pairs
• ont un intérêt moindre à convaincre leurs pairs de la validité de leur travail.

Il est donc généralement préférable que l’enseignant s’abstienne de tout commentaire avant les phases de débats, mis à part peut-être pour encourager certains élèves.

Références principales

Balacheff, N. (n.d.). pour un Dictionnaire de Didactique des mathématiques. URL http://dico-ddm.blogspot.fr/

Brousseau, G. (1998). Théorie* des situations didactiques*. Grenoble : La pensée sauvage.

Ressource Travail en groupes. (à venir…)

Georget JP. (2009). Activités de recherche et de preuve entre pairs à l’école élémentaire : perspectives ouvertes par les communautés de pratique d’enseignants. Thèse de doctorat. Paris : IREM de Paris 7. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00426603

Note : De multiples autres références ont été utilisées dans mon travail de thèse et ont largement contribué à son élaboration et à ma réflexion, elles ne sont pas reprises ici.