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Les nouveautés des derniers mois...

Mon, 23 Feb 2026 00:00:00 +0000

Ces derniers mois, j’ai mis à jour ou ajouté plusieurs documents sur ce site sans forcément le signaler sur la page d’accueil.

Le monde n’est ni parfait ni sérieux, ce site non plus :-)

Les documents Débats et interactions en mathématiques et Travail en groupes en mathématiques ont été remaniés et devraient être plus ergonomiques, notamment grâce à un sommaire bienvenu. Ces deux documents peuvent intéresser les enseignants du premier et du second degrés, mais pourquoi pas aussi ceux de l’enseignement supérieur.

Exponentiellement vôtre et à proposer du CP au lycée, une situation de recherche basée sur le problème de l’échiquier de Sissa : des nombres, des grands nombres, des très grands nombres… et même des très très très très grands nombres !

Comme auparavant, les diaporamas apparaissent par ordre antichronologique, il est simple de s’y retrouver.

Bonne consultation !

EC 122 Ressources d’enseignement (partie 2)

Tue, 09 Dec 2025 00:00:00 +0000

Rappels des thèmes abordés

Ressources pour l’enseignement/apprentissage
Analyse critique générale de ressources
Utilisation / production collective de ressources
Comparaison avec d’autres pays
Alimenter la réflexion pour l’UE 1 en particulier
Formation à l’enseignement
Préparation aux épreuves de recrutement

Retour sur le 1^er cours *

Un cours « dynamique » grâce à vous !
Des apports/réflexions/échanges de nature à se poursuivre (Inspé, stages et au-delà)
Multiples ressources (im)matérielles mobilisables
Problématique des interactions enseignants-ressources et négociation du changement
Problématique du marché de l’édition scolaire
Problématique des stéréotypes dans les manuels et les pratiques

2^e cours

Typographie & co (Cédric Lacherez)
Retour sur stages et ressources d’enseignement
Ergonomie des ressources documentaires
Supports pédagogiques et inégalités scolaires
Édition scolaire et ressources numériques
Travail collaboratif entre enseignants
- le tutorat des étudiants/professeurs en formation
- l’exemple des Lesson studies
Quelques mots sur l’intelligence artificielle générative (IAG) dans les processus et systèmes d’enseignement (compléments dans le cours Numérique en éducation au S2)

Vos stages et les ressources d’enseignement

Quelles ressources* utilisées/côtoyées ? Pourquoi ?
Quelles ressources non côtoyées ? Pourquoi ?
Impact sur votre développement professionnel ?
Quid de vos prochains stages ?

Ergonomie des ressources d’enseignement

Concepts issue des recherches sur les environnements informatiques pour l’apprentissage humain (EIAH)
Évaluation a priori vs a posteriori de différents critères

Références :

Georget JP. (2010). Activités de recherche et de preuve entre pairs à l’école élémentaire : perspectives ouvertes par les communautés de pratique d’enseignants. In M. Abboud-Blanchard et A. Flückiger (ed.), Actes du séminaire de didactique des mathématiques de l’ARDM, ARDM et IREM de Paris 7, 45-65.(url)
Robert, A. et Rogalski, J. (2002). Le système complexe et cohérent des pratiques des enseignants de mathématiques : une double approche. Revue canadienne de l’enseignement des sciences, des mathématiques et de la technologie 2.4, p. 505–528.(url)
Tricot, A., Plégat-Soutjis, F., Camps, J.-F., Amiel, A., Lutz, G., & Morcillo, A. (2003). Utilité, utilisabilité, acceptabilité : Interpréter les relations entre trois dimensions de l’évaluation des eiah. In C. Desmoulins, P. Marquet, & D. Bouhineau (Editors), Environnements informatiques pour l’apprentissage humain (pp. 391–402). ATIEF INRP. (url)

Utilité

La ressource remplit-elle son rôle ?

Point de vue du concepteur
Point de vue de l’enseignant en tant que professionnel au travail
Point de vue des apprentissages des élèves
Des divergences possibles ?

Utilisabilité

Adaptations possibles
Prise en compte de l’expérience de l’usager (exemple des potentiels des situations de recherche et de preuve entre pairs en mathématiques)

Acceptabilité

Valeur donnée par l’enseignant
Décision de l’utiliser
Accès
- Accessibilité physique ?
- Lisibilité ?
- Intelligibilité ?

Paradoxe d’incomplétude des ressources documentaires

Si une ressource est trop « complète », la quantité d’information à traiter est de nature à décourager son utilisation.
Si elle est trop « incomplète », elle ne permet pas à l’enseignant d’exploiter la ressource de manière optimale en fonction du contexte de mise en oeuvre. (Georget, 2010)

Quelles pistes pour limiter les effets de ce paradoxe ?

La formation initiale des enseignants
La formation tout au long de la vie
L’appui sur la recherche

Vos exemples illustrant ces concepts ?

Ergonomie des ressources documentaires
- utilité
- utilisabilité
- accessibilité
- acceptabilité
Paradoxe d’incomplétude des ressources documentaires

Supports pédagogiques et inégalités scolaires : perspective socio-didactique

Travaux de Bonnéry et al. (2015). Supports pédagogiques et inégalités scolaires : études sociologiques. Éd. La dispute.

Constats à l’origine de la recherche

Allongement de la scolarité
Des recherches qui se focalisent sur des moments de rupture scolaire et de réorientation, moins sur les acquisitions dans le parcours scolaire

Méthodologie et résultats

Manuels et observations : élémentaire et collège
Manuels d’après-guerre à nos jours
SVT, histoire, littérature jeunesse, éducation musicale, des constats qui semblent être généralisables à d’autres niveaux d’enseignement
Des supports susceptibles d’influencer les pratiques des enseignants et qui sollicitent davantage la réflexion des élèves mais…
Des demandes d’inférences et un guidage qui risquent d’accentuer les inégalités scolaires

Deux exemples

Le hanneton
La construction du pouvoir royal

Exemple 1 : Le hanneton

Lien avec la vie quotidienne qui a évolué
Passage d’une description linéaire et narrative (p31-35) à des documents hétéroclites à mettre en relation (p38-40)
Consignes peu claires qui vont influencer la pratique de l’enseignant et risquent d’accentuer les inégalités scolaires (p48-49)

Une présentation narrative des savoirs

(exemple d’analyse d’un manuel de 1958)

Manuels d’antan et manuels actuels : des conceptions différentes

Les métamorphoses : des simplifications

Un style de présentation des savoirs

Manuel de sciences CM1/CM2/6e, Magnard, 2003 : Une conception différente de l’enseignement-apprentissage

Un questionnement prédominant

Un élève partiellement guidé

Un texte à produire qui suppose une identification de l’objet de la leçon

Des documents hétéroclites présentés de façon délinéarisée

Des textes de savoirs réduits

Des consignes équivoques pour des attendus exigeants

Inégalités sociales : de l’analyse de manuels aux observations en classe

Exemple 2 : La construction du pouvoir royal

Passage d’un texte structuré à des inférences pas toujours simples à élaborer (p40-41)
- La notion de pouvoir royal non définie (p46)
- Des consignes, elles aussi, peu claires (p51-53)

Manuel Les ateliers Hachette. Histoire, géographie, histoire des arts. Programmes 2008, Hachette Éducation.

Conclusion

Compléments possibles

Des analyses didactiques et épistémologiques

en sciences expérimentales ou en mathématiques : présenter des faits vs questionner le monde (Chevallard)
en histoire : approche « roman national » de l’histoire de France vs faire de l’histoire, histoire des puissants vs histoire des citoyens, rôle des femmes dans l’Histoire, etc.)
etc.

Le marché en expansion de l’édition scolaire numérique

Un marché peu accessible aux nouveaux acteurs : exemple de l’échec des manuels de Gallimard en littérature au lycée en 2001
Un marché où des acteurs ±importants investissent : Google, Amazon, Zoom, Pronote… : exemple des ateliers Amazon Kindle Direct Publishing (format propriétaire) organisés par Canopé/MEN dénoncés par le Syndicat national de l’édition en mars 2016

Sources :

Rimaud, M. (2016). Le livre scolaire numérique : un marché qui attire les convoitises. La revue des médias, INA.
Tourette, L. (janvier 2022). Un logiciel aussi indispensable qu’envahissant. La vie scolaire sous Pronote, Le monde diplomatique.

Des institutions publiques présentes en ligne

Eduscol
Canopé
Edubase
Problemathèque
Des sites académiques qui ont leur raison d’être vs des problématiques essentiellement nationales

Investissement de collectifs répondant à un manque d’offre du Ministère de l’Éducation nationale ou à un manque de confiance envers lui
Personnels bénévoles + Nécessité de financement $\Rightarrow$ Vente de manuels/services

Source : Abensour, C. (2013). L’autoproduction en édition scolaire. ou comment le geste de survie de quelques microstructures modifie la culture de l’édition scolaire. Les Enjeux de l’information et de la communication, 14/1, 63-71.

Budget de l’Éducation nationale : éléments d’analyse

Le budget du ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse (MENJ) est ainsi le premier budget de l’État et bénéficie dans le projet de loi de finances pour 2024 d’une hausse historique de 3,9 milliards d’euros (+6,5 %).

Source : Loi de finances 2024, education.gouv.fr.

Quel est le budget de l’Éducation nationale ?
Quel est l’ordre de grandeur du budget de l’État ?
Quelle est la proportion du budget de l’Éducation nationale dans le budget de la France ?
Quelle est la proportion de l’augmentation du budget de l’Éducation nationale par rapport au budget de la France ?

Budget 2024 de l’Éducation nationale et augmentation

Indicateur	Valeur
Budget Éducation nationale	$3,9 / 0,065 = 60\,\text{M€}$
Budget général	$\approx 600\,\text{M€}$
Part de l’Éducation nationale	$\frac{60}{600} \approx 10\,\%$
Pourcentage de l’augmentation/Budget	$\frac{3,9}{600} \approx 0,65\,\%$

Source : budget.gouv.fr (2023).

L’autoproduction en édition scolaire

Des manuels collaboratifs et librement accessibles (exemple des licences Creative Commons )
- APSES, association des professeurs en SES
- Clionautes en histoire-géographie
- Sésamath en mathématiques
- Weblettres en français (repris par Le Robert/Editis)
- …
- Le livre scolaire : un À propos peu informatif sur une société par actions simplifiée (Processus éditorial ? Place de la recherche ? Aider les professeurs ? Aider les apprentissages des élèves ?)

Un exemple extrait du “Livre scolaire” : mathématiques 6^e

Source : Manuel Mathématiques 6^e, Le livre scolaire.

En contraste, extrait d’un support de cours à l’Inspé

Manuels collaboratifs librement accessibles, associations ou organisations de référence

Il existe des manuels/ressources collaboratives librement accessibles, des associations ou organisations de référence dans votre discipline.

Quelles sont les références que vous connaissez ou dont vous avez entendu parler à l’Inspé, en stage, en d’autres lieux ou d’autres temps ?
Qu’en savez-vous ?
Quels sont ou quels pourraient être vos critères pour les choisir comme référence pour enseigner ?

Le travail documentaire

D’après Gueudet et Trouche (2010), le travail documentaire des professeurs, au cœur de leur activité professionnelle, est un processus itératif qui consiste à « rassembler des ressources, les sélectionner, les transformer, les recomposer, les partager, les mettre en œuvre, les réviser… […] pour un objectif didactique donné […] [Il] est central dans l’activité professionnelle des professeurs. Il habite tous les aspects de cette activité, tous ses lieux, tous ses temps. »

Distinction artefact et instrument : genèse documentaire et genèse instrumentale (instrumentation vs instrumentalisation)

Les genèses documentaires seraient des moteurs de genèses professionnelles ?… Pas automatiquement !

(Reverdy, 2014)

Une édition étroitement liée à la culture enseignante

Une approche trop souvent simpliste ou behavioriste de l’enseignement, qui tient trop peu compte du contenu et de l’esprit des programmes
Auteurs majoritairement enseignants certifiés/agrégés ou diplômés/enseignants de l’ENS, rarement chercheurs en didactique/pédagogie. Aucune ou peu de référence à la recherche
Sésamath « [Peu importe que] le nombre de contributeurs ne soit pas une garantie de qualité et que les propositions innovantes risquent d’être écartées par le collectif dans un souci de consensus » (Bruillard, 2009)

Bruillard E. (2009), Un premier regard sur le fonctionnement de Sésamath et son adaptation possible à d’autres collectifs d’enseignants, Les dossiers de l’ingénierie éducative, mars 2009, p. 85.

D’autres exemples dans vos disciplines ?

Constat est fait que le travail collaboratif d’enseignant ne conduit pas d’emblée à des ressources de qualité au regard des résultats de la recherche.

Les genèses documentaires ne produisent pas forcément des genèses professionnelles optimales du point de vue de l’apprentissage des élèves.

Question : Connaissez-vous des exemples similaires dans vos disciplines ?

Les enseignants collectivement ressources d’eux-mêmes

Exemple du tutorat des jeunes enseignants ou des étudiants en formation

Trois types d’acteurs : étudiants/enseignants en formation, enseignants du « terrain », universitaires
Trois modèles du tutorat : d’imitation, constructiviste, réflexif fondé sur l’analyse de la pratique
Évolution du tutorat au long de la formation vers plus d’autonomie mais influence de la zone proximale de développement du tutoré

Deux synthèses basées sur des recherches nationales et internationales

Chaliès, S. et Durand, M. (2000). L’utilité discutée du tutorat en formation initiale des enseignants. Recherche et formation, 35, 145-180.
Chalies, S., Cartaut, S., Escalié, G., Durand, M. (2009). L’utilité du tutorat pour de jeunes enseignants : la preuve par 20 ans d’expérience. Recherche et formation, 61, 85-129.

Apprendre en faisant mais…

Pré-conception des tutorés et tendance à la simple imitation
Éloignement des tuteurs vis-à-vis des cours universitaires
Programme d’enseignement universitaire pas forcément maîtrisé par les tuteurs
Adaptation complexe aux élèves

Utilité discutée du tutorat, notamment des entretiens

Tuteurs supervisent généralement comme ils enseignent
Limitation du développement professionnel
Difficultés d’explicitation des connaissances implicites et automatiques du tuteur
Difficultés d’analyse des pratiques (du tuteur, du tutoré)
Évitement d’une réflexion poussée : manque d’interactions, solutions exagérément prescriptives et pragmatiques, inhibition de la créativité, manque de franchise pour éviter les conflits

Les constats précédents datent de 2000 et 2009. Sont-ils encore d’actualité ?

Des dilemmes du tutorat qui persistent ?

Aider ou évaluer
Transmettre ou faire réfléchir
Aider à enseigner ou aider à apprendre à enseigner

Quels enseignements pouvez-vous tirer votre propre formation ?

Importance du rôle pro-actif des étudiants dans leur propre formation, à l’Inspé et en stage ?

L’exemple des Lesson studies ou Études collectives de leçons

Miyakawa, T. & Winsløw, C. (2009). Un dispositif japonais pour le travail en équipe d’enseignants : Etude collective d’une leçon. Education et Didactique, 3(1), 77-90.
Clivaz, S. (2015). Les Lesson Study : Des situations scolaires aux situations d’apprentissage professionnel pour les enseignants. Formation et Pratiques d’Enseignement en Questions - Revue des HEP de Suisse romande et du Tessin, 19, 99-105.

Principes et modalités des Lesson studies

Un processus itératif

Groupement d’enseignants d’une école le plus souvent, parfois d’une préfecture ou plus, parfois +100 enseignants observent des leçons dans un gymnase
Partir d’un problème d’enseignement, d’un objet d’apprentissage
Ce problème est situé dans un contexte d’enseignement, notamment par rapport à la progression du manuel
Étude de curriculum : programme, manuel et guide de l’enseignant (3 fois la taille du manuel)
Planification de la leçon (plusieurs réunions)
Observation et analyse par le collectif
Itération tant que les observations ne sont pas satisfaisantes

Historique des Lesson studies

Dispositif né au Japon, deuxième moitié du 19^e siècle
- au moment d’un passage d’une scolarisation individuelle des élèves dans des écoles à un enseignement collectif
- et d’une introduction massive d’objets d’enseignement occidentaux
Invitation d’enseignants occidentaux pour les observer
Les enseignants ont continué à s’observer

Contexte des Lesson studies au Japon

Rôle central des « écoles normales » rattachées aux universités
Les formés visitent ces écoles et observent des leçons
Stages obligatoires encadrés par des enseignants reconnus comme experts par les étudiants, par l’université, mais aussi par les enseignants de région
Les LS sont organisées avant tout par les écoles normales, ouvertes aux enseignants ordinaires

Les LS fonctionnent comme ingénierie pour mettre en pratique les axes du ministère de l’éducation, ou des avancées de la recherche
Les recherches portent sur ce qui paraît essentiel pour les apprentissages ET sur les ressources enseignantes
Les chercheurs sur l’enseignement font partie de la noosphère (Chevallard, 1985) et accompagnent les analyses des leçons : moins de conflits institutionnels.

Contextes différents dans/hors du Japon

Au Japon

Quatre ans de formation initiale
puis programme d’intégration : charge réduite d’enseignement, supervision par un/plusieurs collèges expérimentés, participation à des groupes d’étude collective de leçons
Jeunes enseignants affectés successivement dans plusieurs écoles pour diversifier leur expérience
Mutations fréquentes entre écoles d’une même préfecture (normalement tous les 5 ans)
Écoles aménagées pour permettre un travail collectif des enseignants en dehors des heures de classe, alors que les enseignants en France et aux États-Unis travaillent chez eux

Influence des différences observées dans les vidéos des études internationales TIMMS (Trends in International Mathematics and Science Study) sur la diffusion des Lesson studies hors du Japon

USA : résultats des élèves assez décevants

introduction d’un type de tâche et d’une (seule) technique
quelques exemples traités par l’enseignant et les élèves
puis les élèves travaillent individuellement sur des tâches similaires et appellent l’enseignant en cas de difficulté…

Japon : très bons résultats des élèves

L’enseignant introduit un problème ouvert (hatsumon = poser une question), souvent issu d’un contexte de la « vie de tous les jours »
Autant que possible, il prend en compte le contexte et les capacités des élèves de la classe
Les élèves travaillent sur le problème (situation adidactique)
L’enseignant observe le travail, précise éventuellement la consigne (kikan-shido = enseignement entre les bureaux).
Les élèves présentent leurs idées ou solutions (takuto), l’enseignant s’assure d’une diversité d’approches

Discussion par la classe et l’enseignant (neriage = élaboration)
L’enseignant conclut (matome = résumé)
L’enseignant ne fournit pas souvent une solution alternative des élèves : seulement dans 7 % des leçons observées par l’étude TIMMS vidéo 1994-1995, à l’inverse des leçons aux USA qui commencaient par la « bonne méthode » le plus souvent tirée du manuel

Les LS proches de (chez) vous !

En 2009, Miakawa et Winslow parlent de milliers d’enseignants impliqués dans des LS aux USA.

Depuis peu, elles arrivent progressivement en France !

À votre avis, pourquoi ?
Les avez-vous expérimentées en formation ?
Connaissez-vous des enseignants qui ont expérimenté des dispositifs semblables ? Quels retours d’expérience ?

Échanges de ressources d’enseignement et formats de fichier (exemple du Markdown)

Problématique des formats de fichiers libres vs ouverts vs fermés
Un langage de balisage léger de texte : Markdown (Wikipédia)
Problématique des variantes
Des logiciels pour éditer nativement du Markdown
- une liste de logiciels
- HedgeDoc : en ligne, compatible LaTeX, similaire à CodiMD sur le portail apps.education.fr de l’Éducation nationale
- https://www.marktext.cc/ (multiplateforme)
- Zettlr (méthode de prise de notes Zettelkästen)

IA génératives, agents conversationnels (ChatGPT & co)

Quelques éléments pour une réflexion à poursuivre (ex. EC Numérique en éducation au S2)

Large language model (LLM, grand modèle de langage) : traitement informatique du langage naturel
Les modèles informatiques entraînés par des méthodes mathématiques à partir de jeux de données (illustration), des productions inférées de manière probabiliste à partir d’une invite (prompt) : La souris mange…
Yann Le Cun (2016). L’apprentissage profond : une révolution en intelligence artificielle . Cours au Collège de France. Yann Le Cun est considéré comme l’inventeur de l’apprentissage profond (Deep Learning) et est un chercheur réputé dans le domaine de l’intelligence artificielle.

Tester l’« intelligence » d’une IA générative

Poser une question précise sur un sujet sur lequel vous avez une expertise ?
Essayer de piéger le logiciel ? (jeux de mots, mots avec différentes acceptions, mélanger le français et des langues étrangères, former des nouveaux mots en mélangeant des graphèmes de différentes langues pour un mot donné, etc.)
Poser une question sur vous-même ?
Écrire un prompt qui soit une simple affirmation mais pas une consigne à exécuter.
etc.

Question : Est-il vrai qu’une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers $0$ ?

La bonne réponse est « C’est faux » et un contre-exemple qui relève du niveau lycée suffit à l’expliquer : $U_n = 1 + 1/n$ converge vers 1.

Cependant, il existe des suites décroissantes et minorées par $0$ qui convergent vers $0$ comme, par exemple, $U_n = 1/n$ qui converge vers $0$.

La question a été réitérée 5 fois de suite, sans autre interaction, avec deux modèles de langage :

ChatGPT 3.5 (modèle privé, entreprise américaine)
mixtral-8.7b (modèle open source, entreprise française)

Quelles sont leurs réponses successives ?…

Expérimentation avec le modèle de langage ChatGPT 3.5

Réponse 1 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai[1]. Si une suite est décroissante et minorée (c’est-à-dire qu’elle a une limite inférieure), alors elle converge vers sa limite inférieure. Dans le cas d’une suite décroissante et minorée qui tend vers $0$, sa limite est $0$.

[1]: Le texte en gras souligne les informations erronées ou incohérentes de l’IA générative.

Réponse 2 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai. Si une suite est décroissante et minorée par zéro, cela signifie que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à zéro. Puisque la suite est décroissante, cela signifie que chaque terme est inférieur ou égal au terme précédent. Par conséquent, tous les termes de la suite sont également inférieurs ou égaux à tous les termes suivants.

Puisque la suite est minorée par zéro, cela signifie qu’elle ne peut pas prendre de valeurs négatives. Ainsi, tous les termes de la suite sont soit zéro soit positifs. Comme la suite est décroissante, cela signifie que tous les termes après le premier sont zéro.

Par conséquent, la suite converge vers zéro, car tous les termes deviennent de plus en plus proches de zéro à mesure que l’on s’éloigne de l’infini.

Réponse 3 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai. Si une suite est décroissante et minorée par zéro, cela signifie que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à zéro et que la suite ne peut pas prendre des valeurs négatives.
Dans ce cas, la suite est bornée et décroissante, ce qui implique qu’elle converge vers une limite inférieure. Puisque tous les termes sont inférieurs ou égaux à zéro, la seule limite possible est zéro. Donc, une suite décroissante et minorée par zéro converge vers zéro.

Réponse 4 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai. Si une suite est décroissante et minorée par zéro, cela signifie que tous ses termes sont positifs et que chaque terme est inférieur ou égal à son prédécesseur. Dans ce cas, la suite converge vers $0$ car tous ses termes se rapprochent de plus en plus de $0$ à mesure que l’on avance dans la suite.

Réponse 5 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai. Si une suite est décroissante et minorée par zéro, cela signifie que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à $0$ et que la suite diminue à chaque terme. Dans ce cas, la suite converge vers $0$ car à mesure que les termes deviennent de plus en plus petits, ils se rapprochent de plus en plus de $0$.

Conclusion sur les 5 réponses du modèle ChatGPT 3.5

Aucune réponse n’est correcte alors que la question est élémentaire (faible sensibilité à la vérité lors du test)
Aucun exemple n’est donné alors qu’une infinité est envisageable.
Les formulations et les arguments sont variés mais l’argumentation ressemble à chaque fois à un raisonnement mathématique valide (forte sensibilité à la forme syntaxique de la réponse).

Le tout s’explique en partie par le fonctionnement automatique de ce type de logiciel : des mots sont ajoutés les uns à la suite des autres par application de règles mathématiques qui ont peu à voir avec la véracité des faits. D’autres facteurs interviennent, par exemple les données d’entraînement.

Expérimentation avec le modèle de langage mixtral-8.7b

Réponse 1 de mixtral-8.7b

Pas nécessairement. Une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est supérieure ou égale à $0$, mais cette limite n’est pas forcément égale à $0$. Par exemple, la suite définie par $U_n = 1/n$ est une suite décroissante et minorée par $0$, mais sa limite est $0$. En revanche, la suite définie par $U_n = 1/n + 1$ et également décroissante et minorée par $0$, mais sa limite est 1.

Réponse 2 de mixtral-8.7b

Pas nécessairement. Une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est supérieure ou égale à $0$, mais cette limite n’est pas forcément égale à $0$. Il est possible qu’elle soit strictement supérieure à $0$.
Prenons comme exemple la suite définie par $U_n = 1/n$. Cette suite décroissante et minorée par $0$, car tous les termes sont positifs, mais sa limite est $0$. Cependant, si nous prenons la suite définie par $U_n = 1/sqrt(n)$, elle est également décroissante et minorée par $0$, mais sa limite est plutôt $0^+$ (c’est-à-dire plus petite que n’importe que n’importe quel nombre positif).

Réponse 3 de mixtral-8.7b

Oui, c’est vrai. La suite définie par $U_n = 1/sqrt(n)$ converge bien vers $0$. Pour démontrer la convergence de cette suite, vous pouvez utiliser le théorème suivant :
Soit ($U_n$) une suite décroissante et minorée. Alors, cette suite est convergente et sa limite est la plus petite borne supérieure des termes de la suite.

Note : Ce serait la plus grande borne inférieure.

Réponse 4 de mixtral-8.7b

Pas nécessairement. Une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est soit égale à $0$, soit un réel strictement positif. Donc, contrairement à une idée reçue, elle ne converge pas toujours nécessairement vers $0$.
Explication :

une suite est décroissante si chaque terme successif est plus petit que le terme précédent.

Une suite est minorée par $0$ si tous ses termes sont supérieurs ou égaux à $0$.
…

Bien que cette suite décroissante et minorée par $0$ ne puisse pas tendre vers l’infini ou vers un réel négatif, il est possible qu’elle converge vers une limite strictement positive. Par exemple la suite ($1/n$) avec $n$ entier naturel non nul est une suite décroissante et minorée par $0$ qui converge vers $0$, tandis que la suite ($1/n + 1$) avec $n$ entier naturel non nul est également décroissante et minorée par $0$, mais converge vers 1.
Ainsi, on ne peut affirmer qu’une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers $0$ ; elle converge vers une limite qui est supérieure ou égale à $0$.

Réponse 5 de mixtral-8.7b

Pas nécessairement. Une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est soit égale à $0$, soit un réel strictement positif. Donc, même si une suite est décroissante et minorée par $0$, sa limite ne sera pas forcément $0$.
Par exemple, considérons la suite définie par $U_n = 1/n$ pour tout entier naturel $n$. Cette suite est décroissante (car $U_{n+1} = 1/(n+1) < 1/n = U_n)$ et minorée par $0$ (car $0 < 1/n$) pour tout $n$ entier naturel non nul). Cependant, sa limite est $0$, ce qui est incohérent avec le théorème selon lequel toute suite est décroissante et minorée converge.
…

Cependant, il existe des suites décroissantes et minorées par $0$ qui convergent vers une limite strictement positive. Par exemple, la suite définie par $U_n = 1/n + 0{,}1$ pour tout entier naturel “n” est décroissante (car $U_{n+1} + 0,1 < 1/n + 0{,}1 = U_n $) et minorée par $0$ (car $0 < 1/n + 0{,}1$) pour tout $n$ entier naturel non nul. Cependant, sa limite est $0{,}1$, qui est strictement positive.
En résumé, une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est soit égale à $0$, soit un réel strictement positif.

Conclusion sur les 5 réponses du modèle mixtral-8.7b

Chaque réponse est correcte et propose des exemples illustrant les affirmations mais des réponses contiennent des arguments faux ou incohérents (sensibilité variable à la vérité lors du test).
Les formulations et les arguments sont variés mais l’argumentation ressemble à chaque fois à un raisonnement mathématique valide (forte sensibilité à la forme syntaxique de la réponse).

Les explications de ce constat sont identiques à celles indiquées pour ChatGPT.

Que donne une recherche en utilisant un moteur de recherche « standard » ?

Comme trouvé dans un commentaire anonyme sur un blog anglo-saxon :

ChatGPT is extremely good in hiding absolute bullshit in very good text.

… pas par manque de bonne volonté, mais par nature, comme les autres IAG.

ChatGPT prévient les usagers de ses qualités et ses défauts ! (consulté le 14/12/2023).

Quelques problématiques liées aux IAG livrées à votre réflexion, à vos recherches et à d’autres UE/EC

IAG et vérité
IAG et « hallucinations »
IAG et données personnelles
IAG et éthique
IAG et développement durable
IAG et pollution entre IAG
IAG et actualisation des données
IAG et processus d’entraînement biaisé, voire censure
IAG et processus ou systèmes d’enseignement
IAG et impact sur les compétences et l’intelligence, les vôtres, celle des élèves, celle des citoyens
etc.

Principales références

Bonnéry, S. (dir.)(2015). Supports pédagogiques et inégalités scolaires. La dispute. Collection L’enjeu scolaire.
Bruillard E. (2009), Un premier regard sur le fonctionnement de Sésamath et son adaptation possible à d’autres collectifs d’enseignants, Les dossiers de l’ingénierie éducative, mars 2009, p.85.
Georget, JP. (2009). Activités de recherche et de preuve entre pairs à l’école élémentaire : perspectives ouvertes par les communautés de pratique d’enseignants. Thèse de doctorat. Université de Paris Diderot.
Reverdy, C. (2014). Du programme vers la classe : des ressources pour enseigner. Dossier de veille de l’IFÉ, 96.

Wagnon, S. (dir.)(2019). Le manuel scolaire objet d’étude et de recherche : enjeux et perspectives.
MOOC L’intelligence artificielle… avec intelligence ! (novembre 2024, 10 h d’activité). FUN-MOOC.

EC 122 Ressources d’enseignement (partie 2)

Tue, 09 Dec 2025 00:00:00 +0000

Rappels des thèmes abordés

Ressources pour l’enseignement/apprentissage
Analyse critique générale de ressources
Utilisation / production collective de ressources
Comparaison avec d’autres pays
Alimenter la réflexion pour l’UE 1 en particulier
Formation à l’enseignement
Préparation aux épreuves de recrutement

Retour sur le 1^er cours *

Un cours « dynamique » grâce à vous !
Des apports/réflexions/échanges de nature à se poursuivre (Inspé, stages et au-delà)
Multiples ressources (im)matérielles mobilisables
Problématique des interactions enseignants-ressources et négociation du changement
Problématique du marché de l’édition scolaire
Problématique des stéréotypes dans les manuels et les pratiques

2^e cours

Typographie & co (Cédric Lacherez)
Retour sur stages et ressources d’enseignement
Ergonomie des ressources documentaires
Supports pédagogiques et inégalités scolaires
Édition scolaire et ressources numériques
Travail collaboratif entre enseignants
- le tutorat des étudiants/professeurs en formation
- l’exemple des Lesson studies
Quelques mots sur l’intelligence artificielle générative (IAG) dans les processus et systèmes d’enseignement (compléments dans le cours Numérique en éducation au S2)

Vos stages et les ressources d’enseignement

Quelles ressources* utilisées/côtoyées ? Pourquoi ?
Quelles ressources non côtoyées ? Pourquoi ?
Impact sur votre développement professionnel ?
Quid de vos prochains stages ?

Ergonomie des ressources d’enseignement

Concepts issue des recherches sur les environnements informatiques pour l’apprentissage humain (EIAH)
Évaluation a priori vs a posteriori de différents critères

Références :

Georget JP. (2010). Activités de recherche et de preuve entre pairs à l’école élémentaire : perspectives ouvertes par les communautés de pratique d’enseignants. In M. Abboud-Blanchard et A. Flückiger (ed.), Actes du séminaire de didactique des mathématiques de l’ARDM, ARDM et IREM de Paris 7, 45-65.(url)
Robert, A. et Rogalski, J. (2002). Le système complexe et cohérent des pratiques des enseignants de mathématiques : une double approche. Revue canadienne de l’enseignement des sciences, des mathématiques et de la technologie 2.4, p. 505–528.(url)
Tricot, A., Plégat-Soutjis, F., Camps, J.-F., Amiel, A., Lutz, G., & Morcillo, A. (2003). Utilité, utilisabilité, acceptabilité : Interpréter les relations entre trois dimensions de l’évaluation des eiah. In C. Desmoulins, P. Marquet, & D. Bouhineau (Editors), Environnements informatiques pour l’apprentissage humain (pp. 391–402). ATIEF INRP. (url)

Utilité

La ressource remplit-elle son rôle ?

Point de vue du concepteur
Point de vue de l’enseignant en tant que professionnel au travail
Point de vue des apprentissages des élèves
Des divergences possibles ?

Utilisabilité

Adaptations possibles
Prise en compte de l’expérience de l’usager (exemple des potentiels des situations de recherche et de preuve entre pairs en mathématiques)

Acceptabilité

Valeur donnée par l’enseignant
Décision de l’utiliser
Accès
- Accessibilité physique ?
- Lisibilité ?
- Intelligibilité ?

Paradoxe d’incomplétude des ressources documentaires

Si une ressource est trop « complète », la quantité d’information à traiter est de nature à décourager son utilisation.
Si elle est trop « incomplète », elle ne permet pas à l’enseignant d’exploiter la ressource de manière optimale en fonction du contexte de mise en oeuvre. (Georget, 2010)

Quelles pistes pour limiter les effets de ce paradoxe ?

La formation initiale des enseignants
La formation tout au long de la vie
L’appui sur la recherche

Vos exemples illustrant ces concepts ?

Ergonomie des ressources documentaires
- utilité
- utilisabilité
- accessibilité
- acceptabilité
Paradoxe d’incomplétude des ressources documentaires

Supports pédagogiques et inégalités scolaires : perspective socio-didactique

Travaux de Bonnéry et al. (2015). Supports pédagogiques et inégalités scolaires : études sociologiques. Éd. La dispute.

Constats à l’origine de la recherche

Allongement de la scolarité
Des recherches qui se focalisent sur des moments de rupture scolaire et de réorientation, moins sur les acquisitions dans le parcours scolaire

Méthodologie et résultats

Manuels et observations : élémentaire et collège
Manuels d’après-guerre à nos jours
SVT, histoire, littérature jeunesse, éducation musicale, des constats qui semblent être généralisables à d’autres niveaux d’enseignement
Des supports susceptibles d’influencer les pratiques des enseignants et qui sollicitent davantage la réflexion des élèves mais…
Des demandes d’inférences et un guidage qui risquent d’accentuer les inégalités scolaires

Deux exemples

Le hanneton
La construction du pouvoir royal

Exemple 1 : Le hanneton

Lien avec la vie quotidienne qui a évolué
Passage d’une description linéaire et narrative (p31-35) à des documents hétéroclites à mettre en relation (p38-40)
Consignes peu claires qui vont influencer la pratique de l’enseignant et risquent d’accentuer les inégalités scolaires (p48-49)

Une présentation narrative des savoirs

(exemple d’analyse d’un manuel de 1958)

Manuels d’antan et manuels actuels : des conceptions différentes

Les métamorphoses : des simplifications

Un style de présentation des savoirs

Manuel de sciences CM1/CM2/6e, Magnard, 2003 : Une conception différente de l’enseignement-apprentissage

Un questionnement prédominant

Un élève partiellement guidé

Un texte à produire qui suppose une identification de l’objet de la leçon

Des documents hétéroclites présentés de façon délinéarisée

Des textes de savoirs réduits

Des consignes équivoques pour des attendus exigeants

Inégalités sociales : de l’analyse de manuels aux observations en classe

Exemple 2 : La construction du pouvoir royal

Passage d’un texte structuré à des inférences pas toujours simples à élaborer (p40-41)
- La notion de pouvoir royal non définie (p46)
- Des consignes, elles aussi, peu claires (p51-53)

Manuel Les ateliers Hachette. Histoire, géographie, histoire des arts. Programmes 2008, Hachette Éducation.

Conclusion

Compléments possibles

Des analyses didactiques et épistémologiques

en sciences expérimentales ou en mathématiques : présenter des faits vs questionner le monde (Chevallard)
en histoire : approche « roman national » de l’histoire de France vs faire de l’histoire, histoire des puissants vs histoire des citoyens, rôle des femmes dans l’Histoire, etc.)
etc.

Le marché en expansion de l’édition scolaire numérique

Un marché peu accessible aux nouveaux acteurs : exemple de l’échec des manuels de Gallimard en littérature au lycée en 2001
Un marché où des acteurs ±importants investissent : Google, Amazon, Zoom, Pronote… : exemple des ateliers Amazon Kindle Direct Publishing (format propriétaire) organisés par Canopé/MEN dénoncés par le Syndicat national de l’édition en mars 2016

Sources :

Rimaud, M. (2016). Le livre scolaire numérique : un marché qui attire les convoitises. La revue des médias, INA.
Tourette, L. (janvier 2022). Un logiciel aussi indispensable qu’envahissant. La vie scolaire sous Pronote, Le monde diplomatique.

Des institutions publiques présentes en ligne

Eduscol
Canopé
Edubase
Problemathèque
Des sites académiques qui ont leur raison d’être vs des problématiques essentiellement nationales

Investissement de collectifs répondant à un manque d’offre du Ministère de l’Éducation nationale ou à un manque de confiance envers lui
Personnels bénévoles + Nécessité de financement $\Rightarrow$ Vente de manuels/services

Budget de l’Éducation nationale : éléments d’analyse

Le budget du ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse (MENJ) est ainsi le premier budget de l’État et bénéficie dans le projet de loi de finances pour 2024 d’une hausse historique de 3,9 milliards d’euros (+6,5 %).

Source : Loi de finances 2024, education.gouv.fr.

Quel est le budget de l’Éducation nationale ?
Quel est l’ordre de grandeur du budget de l’État ?
Quelle est la proportion du budget de l’Éducation nationale dans le budget de la France ?
Quelle est la proportion de l’augmentation du budget de l’Éducation nationale par rapport au budget de la France ?

Budget 2024 de l’Éducation nationale et augmentation

Indicateur	Valeur
Budget Éducation nationale	$3,9 / 0,065 = 60\,\text{M€}$
Budget général	$\approx 600\,\text{M€}$
Part de l’Éducation nationale	$\frac{60}{600} \approx 10\,\%$
Pourcentage de l’augmentation/Budget	$\frac{3,9}{600} \approx 0,65\,\%$

Source : budget.gouv.fr (2023).

L’autoproduction en édition scolaire

Des manuels collaboratifs et librement accessibles (exemple des licences Creative Commons )
- APSES, association des professeurs en SES
- Clionautes en histoire-géographie
- Sésamath en mathématiques
- Weblettres en français (repris par Le Robert/Editis)
- …
- Le livre scolaire : un À propos peu informatif sur une société par actions simplifiée (Processus éditorial ? Place de la recherche ? Aider les professeurs ? Aider les apprentissages des élèves ?)

Un exemple extrait du “Livre scolaire” : mathématiques 6^e

Source : Manuel Mathématiques 6^e, Le livre scolaire.

En contraste, extrait d’un support de cours à l’Inspé

Manuels collaboratifs librement accessibles, associations ou organisations de référence

Il existe des manuels/ressources collaboratives librement accessibles, des associations ou organisations de référence dans votre discipline.

Quelles sont les références que vous connaissez ou dont vous avez entendu parler à l’Inspé, en stage, en d’autres lieux ou d’autres temps ?
Qu’en savez-vous ?
Quels sont ou quels pourraient être vos critères pour les choisir comme référence pour enseigner ?

Le travail documentaire

Distinction artefact et instrument : genèse documentaire et genèse instrumentale (instrumentation vs instrumentalisation)

Les genèses documentaires seraient des moteurs de genèses professionnelles ?… Pas automatiquement !

(Reverdy, 2014)

Une édition étroitement liée à la culture enseignante

Une approche trop souvent simpliste ou behavioriste de l’enseignement, qui tient trop peu compte du contenu et de l’esprit des programmes
Auteurs majoritairement enseignants certifiés/agrégés ou diplômés/enseignants de l’ENS, rarement chercheurs en didactique/pédagogie. Aucune ou peu de référence à la recherche
Sésamath « [Peu importe que] le nombre de contributeurs ne soit pas une garantie de qualité et que les propositions innovantes risquent d’être écartées par le collectif dans un souci de consensus » (Bruillard, 2009)

D’autres exemples dans vos disciplines ?

Constat est fait que le travail collaboratif d’enseignant ne conduit pas d’emblée à des ressources de qualité au regard des résultats de la recherche.

Les genèses documentaires ne produisent pas forcément des genèses professionnelles optimales du point de vue de l’apprentissage des élèves.

Question : Connaissez-vous des exemples similaires dans vos disciplines ?

Les enseignants collectivement ressources d’eux-mêmes

Exemple du tutorat des jeunes enseignants ou des étudiants en formation

Trois types d’acteurs : étudiants/enseignants en formation, enseignants du « terrain », universitaires
Trois modèles du tutorat : d’imitation, constructiviste, réflexif fondé sur l’analyse de la pratique
Évolution du tutorat au long de la formation vers plus d’autonomie mais influence de la zone proximale de développement du tutoré

Deux synthèses basées sur des recherches nationales et internationales

Chaliès, S. et Durand, M. (2000). L’utilité discutée du tutorat en formation initiale des enseignants. Recherche et formation, 35, 145-180.
Chalies, S., Cartaut, S., Escalié, G., Durand, M. (2009). L’utilité du tutorat pour de jeunes enseignants : la preuve par 20 ans d’expérience. Recherche et formation, 61, 85-129.

Apprendre en faisant mais…

Pré-conception des tutorés et tendance à la simple imitation
Éloignement des tuteurs vis-à-vis des cours universitaires
Programme d’enseignement universitaire pas forcément maîtrisé par les tuteurs
Adaptation complexe aux élèves

Utilité discutée du tutorat, notamment des entretiens

Tuteurs supervisent généralement comme ils enseignent
Limitation du développement professionnel
Difficultés d’explicitation des connaissances implicites et automatiques du tuteur
Difficultés d’analyse des pratiques (du tuteur, du tutoré)
Évitement d’une réflexion poussée : manque d’interactions, solutions exagérément prescriptives et pragmatiques, inhibition de la créativité, manque de franchise pour éviter les conflits

Les constats précédents datent de 2000 et 2009. Sont-ils encore d’actualité ?

Des dilemmes du tutorat qui persistent ?

Aider ou évaluer
Transmettre ou faire réfléchir
Aider à enseigner ou aider à apprendre à enseigner

Quels enseignements pouvez-vous tirer votre propre formation ?

Importance du rôle pro-actif des étudiants dans leur propre formation, à l’Inspé et en stage ?

L’exemple des Lesson studies ou Études collectives de leçons

Miyakawa, T. & Winsløw, C. (2009). Un dispositif japonais pour le travail en équipe d’enseignants : Etude collective d’une leçon. Education et Didactique, 3(1), 77-90.
Clivaz, S. (2015). Les Lesson Study : Des situations scolaires aux situations d’apprentissage professionnel pour les enseignants. Formation et Pratiques d’Enseignement en Questions - Revue des HEP de Suisse romande et du Tessin, 19, 99-105.

Principes et modalités des Lesson studies

Un processus itératif

Groupement d’enseignants d’une école le plus souvent, parfois d’une préfecture ou plus, parfois +100 enseignants observent des leçons dans un gymnase
Partir d’un problème d’enseignement, d’un objet d’apprentissage
Ce problème est situé dans un contexte d’enseignement, notamment par rapport à la progression du manuel
Étude de curriculum : programme, manuel et guide de l’enseignant (3 fois la taille du manuel)
Planification de la leçon (plusieurs réunions)
Observation et analyse par le collectif
Itération tant que les observations ne sont pas satisfaisantes

Historique des Lesson studies

Dispositif né au Japon, deuxième moitié du 19^e siècle
- au moment d’un passage d’une scolarisation individuelle des élèves dans des écoles à un enseignement collectif
- et d’une introduction massive d’objets d’enseignement occidentaux
Invitation d’enseignants occidentaux pour les observer
Les enseignants ont continué à s’observer

Contexte des Lesson studies au Japon

Rôle central des « écoles normales » rattachées aux universités
Les formés visitent ces écoles et observent des leçons
Stages obligatoires encadrés par des enseignants reconnus comme experts par les étudiants, par l’université, mais aussi par les enseignants de région
Les LS sont organisées avant tout par les écoles normales, ouvertes aux enseignants ordinaires

Les LS fonctionnent comme ingénierie pour mettre en pratique les axes du ministère de l’éducation, ou des avancées de la recherche
Les recherches portent sur ce qui paraît essentiel pour les apprentissages ET sur les ressources enseignantes
Les chercheurs sur l’enseignement font partie de la noosphère (Chevallard, 1985) et accompagnent les analyses des leçons : moins de conflits institutionnels.

Contextes différents dans/hors du Japon

Au Japon

Quatre ans de formation initiale
puis programme d’intégration : charge réduite d’enseignement, supervision par un/plusieurs collèges expérimentés, participation à des groupes d’étude collective de leçons
Jeunes enseignants affectés successivement dans plusieurs écoles pour diversifier leur expérience
Mutations fréquentes entre écoles d’une même préfecture (normalement tous les 5 ans)
Écoles aménagées pour permettre un travail collectif des enseignants en dehors des heures de classe, alors que les enseignants en France et aux États-Unis travaillent chez eux

Influence des différences observées dans les vidéos des études internationales TIMMS (Trends in International Mathematics and Science Study) sur la diffusion des Lesson studies hors du Japon

USA : résultats des élèves assez décevants

introduction d’un type de tâche et d’une (seule) technique
quelques exemples traités par l’enseignant et les élèves
puis les élèves travaillent individuellement sur des tâches similaires et appellent l’enseignant en cas de difficulté…

Japon : très bons résultats des élèves

L’enseignant introduit un problème ouvert (hatsumon = poser une question), souvent issu d’un contexte de la « vie de tous les jours »
Autant que possible, il prend en compte le contexte et les capacités des élèves de la classe
Les élèves travaillent sur le problème (situation adidactique)
L’enseignant observe le travail, précise éventuellement la consigne (kikan-shido = enseignement entre les bureaux).
Les élèves présentent leurs idées ou solutions (takuto), l’enseignant s’assure d’une diversité d’approches

Discussion par la classe et l’enseignant (neriage = élaboration)
L’enseignant conclut (matome = résumé)
L’enseignant ne fournit pas souvent une solution alternative des élèves : seulement dans 7 % des leçons observées par l’étude TIMMS vidéo 1994-1995, à l’inverse des leçons aux USA qui commencaient par la « bonne méthode » le plus souvent tirée du manuel

Les LS proches de (chez) vous !

En 2009, Miakawa et Winslow parlent de milliers d’enseignants impliqués dans des LS aux USA.

Depuis peu, elles arrivent progressivement en France !

À votre avis, pourquoi ?
Les avez-vous expérimentées en formation ?
Connaissez-vous des enseignants qui ont expérimenté des dispositifs semblables ? Quels retours d’expérience ?

Échanges de ressources d’enseignement et formats de fichier (exemple du Markdown)

Problématique des formats de fichiers libres vs ouverts vs fermés
Un langage de balisage léger de texte : Markdown (Wikipédia)
Problématique des variantes
Des logiciels pour éditer nativement du Markdown
- une liste de logiciels
- HedgeDoc : en ligne, compatible LaTeX, similaire à CodiMD sur le portail apps.education.fr de l’Éducation nationale
- https://www.marktext.cc/ (multiplateforme)
- Zettlr (méthode de prise de notes Zettelkästen)

IA génératives, agents conversationnels (ChatGPT & co)

Quelques éléments pour une réflexion à poursuivre (ex. EC Numérique en éducation au S2)

Large language model (LLM, grand modèle de langage) : traitement informatique du langage naturel
Les modèles informatiques entraînés par des méthodes mathématiques à partir de jeux de données (illustration), des productions inférées de manière probabiliste à partir d’une invite (prompt) : La souris mange…
Yann Le Cun (2016). L’apprentissage profond : une révolution en intelligence artificielle . Cours au Collège de France. Yann Le Cun est considéré comme l’inventeur de l’apprentissage profond (Deep Learning) et est un chercheur réputé dans le domaine de l’intelligence artificielle.

Tester l’« intelligence » d’une IA générative

Poser une question précise sur un sujet sur lequel vous avez une expertise ?
Essayer de piéger le logiciel ? (jeux de mots, mots avec différentes acceptions, mélanger le français et des langues étrangères, former des nouveaux mots en mélangeant des graphèmes de différentes langues pour un mot donné, etc.)
Poser une question sur vous-même ?
Écrire un prompt qui soit une simple affirmation mais pas une consigne à exécuter.
etc.

Question : Est-il vrai qu’une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers $0$ ?

La bonne réponse est « C’est faux » et un contre-exemple qui relève du niveau lycée suffit à l’expliquer : $U_n = 1 + 1/n$ converge vers 1.

Cependant, il existe des suites décroissantes et minorées par $0$ qui convergent vers $0$ comme, par exemple, $U_n = 1/n$ qui converge vers $0$.

La question a été réitérée 5 fois de suite, sans autre interaction, avec deux modèles de langage :

ChatGPT 3.5 (modèle privé, entreprise américaine)
mixtral-8.7b (modèle open source, entreprise française)

Quelles sont leurs réponses successives ?…

Expérimentation avec le modèle de langage ChatGPT 3.5

Réponse 1 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai[1]. Si une suite est décroissante et minorée (c’est-à-dire qu’elle a une limite inférieure), alors elle converge vers sa limite inférieure. Dans le cas d’une suite décroissante et minorée qui tend vers $0$, sa limite est $0$.

[1]: Le texte en gras souligne les informations erronées ou incohérentes de l’IA générative.

Réponse 2 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai. Si une suite est décroissante et minorée par zéro, cela signifie que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à zéro. Puisque la suite est décroissante, cela signifie que chaque terme est inférieur ou égal au terme précédent. Par conséquent, tous les termes de la suite sont également inférieurs ou égaux à tous les termes suivants.

Puisque la suite est minorée par zéro, cela signifie qu’elle ne peut pas prendre de valeurs négatives. Ainsi, tous les termes de la suite sont soit zéro soit positifs. Comme la suite est décroissante, cela signifie que tous les termes après le premier sont zéro.

Par conséquent, la suite converge vers zéro, car tous les termes deviennent de plus en plus proches de zéro à mesure que l’on s’éloigne de l’infini.

Réponse 3 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai. Si une suite est décroissante et minorée par zéro, cela signifie que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à zéro et que la suite ne peut pas prendre des valeurs négatives.
Dans ce cas, la suite est bornée et décroissante, ce qui implique qu’elle converge vers une limite inférieure. Puisque tous les termes sont inférieurs ou égaux à zéro, la seule limite possible est zéro. Donc, une suite décroissante et minorée par zéro converge vers zéro.

Réponse 4 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai. Si une suite est décroissante et minorée par zéro, cela signifie que tous ses termes sont positifs et que chaque terme est inférieur ou égal à son prédécesseur. Dans ce cas, la suite converge vers $0$ car tous ses termes se rapprochent de plus en plus de $0$ à mesure que l’on avance dans la suite.

Réponse 5 de ChatGPT 3.5

Oui, c’est vrai. Si une suite est décroissante et minorée par zéro, cela signifie que tous ses termes sont inférieurs ou égaux à $0$ et que la suite diminue à chaque terme. Dans ce cas, la suite converge vers $0$ car à mesure que les termes deviennent de plus en plus petits, ils se rapprochent de plus en plus de $0$.

Conclusion sur les 5 réponses du modèle ChatGPT 3.5

Aucune réponse n’est correcte alors que la question est élémentaire (faible sensibilité à la vérité lors du test)
Aucun exemple n’est donné alors qu’une infinité est envisageable.
Les formulations et les arguments sont variés mais l’argumentation ressemble à chaque fois à un raisonnement mathématique valide (forte sensibilité à la forme syntaxique de la réponse).

Expérimentation avec le modèle de langage mixtral-8.7b

Réponse 1 de mixtral-8.7b

Pas nécessairement. Une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est supérieure ou égale à $0$, mais cette limite n’est pas forcément égale à $0$. Par exemple, la suite définie par $U_n = 1/n$ est une suite décroissante et minorée par $0$, mais sa limite est $0$. En revanche, la suite définie par $U_n = 1/n + 1$ et également décroissante et minorée par $0$, mais sa limite est 1.

Réponse 2 de mixtral-8.7b

Pas nécessairement. Une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est supérieure ou égale à $0$, mais cette limite n’est pas forcément égale à $0$. Il est possible qu’elle soit strictement supérieure à $0$.
Prenons comme exemple la suite définie par $U_n = 1/n$. Cette suite décroissante et minorée par $0$, car tous les termes sont positifs, mais sa limite est $0$. Cependant, si nous prenons la suite définie par $U_n = 1/sqrt(n)$, elle est également décroissante et minorée par $0$, mais sa limite est plutôt $0^+$ (c’est-à-dire plus petite que n’importe que n’importe quel nombre positif).

Réponse 3 de mixtral-8.7b

Oui, c’est vrai. La suite définie par $U_n = 1/sqrt(n)$ converge bien vers $0$. Pour démontrer la convergence de cette suite, vous pouvez utiliser le théorème suivant :
Soit ($U_n$) une suite décroissante et minorée. Alors, cette suite est convergente et sa limite est la plus petite borne supérieure des termes de la suite.

Note : Ce serait la plus grande borne inférieure.

Réponse 4 de mixtral-8.7b

Pas nécessairement. Une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est soit égale à $0$, soit un réel strictement positif. Donc, contrairement à une idée reçue, elle ne converge pas toujours nécessairement vers $0$.
Explication :

une suite est décroissante si chaque terme successif est plus petit que le terme précédent.

Une suite est minorée par $0$ si tous ses termes sont supérieurs ou égaux à $0$.
…

Bien que cette suite décroissante et minorée par $0$ ne puisse pas tendre vers l’infini ou vers un réel négatif, il est possible qu’elle converge vers une limite strictement positive. Par exemple la suite ($1/n$) avec $n$ entier naturel non nul est une suite décroissante et minorée par $0$ qui converge vers $0$, tandis que la suite ($1/n + 1$) avec $n$ entier naturel non nul est également décroissante et minorée par $0$, mais converge vers 1.
Ainsi, on ne peut affirmer qu’une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers $0$ ; elle converge vers une limite qui est supérieure ou égale à $0$.

Réponse 5 de mixtral-8.7b

Pas nécessairement. Une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est soit égale à $0$, soit un réel strictement positif. Donc, même si une suite est décroissante et minorée par $0$, sa limite ne sera pas forcément $0$.
Par exemple, considérons la suite définie par $U_n = 1/n$ pour tout entier naturel $n$. Cette suite est décroissante (car $U_{n+1} = 1/(n+1) < 1/n = U_n)$ et minorée par $0$ (car $0 < 1/n$) pour tout $n$ entier naturel non nul). Cependant, sa limite est $0$, ce qui est incohérent avec le théorème selon lequel toute suite est décroissante et minorée converge.
…

Cependant, il existe des suites décroissantes et minorées par $0$ qui convergent vers une limite strictement positive. Par exemple, la suite définie par $U_n = 1/n + 0{,}1$ pour tout entier naturel “n” est décroissante (car $U_{n+1} + 0,1 < 1/n + 0{,}1 = U_n $) et minorée par $0$ (car $0 < 1/n + 0{,}1$) pour tout $n$ entier naturel non nul. Cependant, sa limite est $0{,}1$, qui est strictement positive.
En résumé, une suite décroissante et minorée par $0$ converge vers une limite qui est soit égale à $0$, soit un réel strictement positif.

Conclusion sur les 5 réponses du modèle mixtral-8.7b

Chaque réponse est correcte et propose des exemples illustrant les affirmations mais des réponses contiennent des arguments faux ou incohérents (sensibilité variable à la vérité lors du test).
Les formulations et les arguments sont variés mais l’argumentation ressemble à chaque fois à un raisonnement mathématique valide (forte sensibilité à la forme syntaxique de la réponse).

Les explications de ce constat sont identiques à celles indiquées pour ChatGPT.

Que donne une recherche en utilisant un moteur de recherche « standard » ?

Comme trouvé dans un commentaire anonyme sur un blog anglo-saxon :

ChatGPT is extremely good in hiding absolute bullshit in very good text.

… pas par manque de bonne volonté, mais par nature, comme les autres IAG.

ChatGPT prévient les usagers de ses qualités et ses défauts ! (consulté le 14/12/2023).

Quelques problématiques liées aux IAG livrées à votre réflexion, à vos recherches et à d’autres UE/EC

IAG et vérité
IAG et « hallucinations »
IAG et données personnelles
IAG et éthique
IAG et développement durable
IAG et pollution entre IAG
IAG et actualisation des données
IAG et processus d’entraînement biaisé, voire censure
IAG et processus ou systèmes d’enseignement
IAG et impact sur les compétences et l’intelligence, les vôtres, celle des élèves, celle des citoyens
etc.

Principales références

Bonnéry, S. (dir.)(2015). Supports pédagogiques et inégalités scolaires. La dispute. Collection L’enjeu scolaire.
Bruillard E. (2009), Un premier regard sur le fonctionnement de Sésamath et son adaptation possible à d’autres collectifs d’enseignants, Les dossiers de l’ingénierie éducative, mars 2009, p.85.
Georget, JP. (2009). Activités de recherche et de preuve entre pairs à l’école élémentaire : perspectives ouvertes par les communautés de pratique d’enseignants. Thèse de doctorat. Université de Paris Diderot.
Reverdy, C. (2014). Du programme vers la classe : des ressources pour enseigner. Dossier de veille de l’IFÉ, 96.

Wagnon, S. (dir.)(2019). Le manuel scolaire objet d’étude et de recherche : enjeux et perspectives.
MOOC L’intelligence artificielle… avec intelligence ! (novembre 2024, 10 h d’activité). FUN-MOOC.

Le mythe ou le problème de l’échiquier de Sissa : du CP au lycée !

Fri, 14 Nov 2025 00:00:00 +0000

Un énoncé mathématique constitue rarement un problème pouvant convenir à chaque niveau de l’enseignement primaire ou secondaire. Le problème proposé ici peut, lui, trouver sa place dès le CP (enfants de 6 ans) et jusqu’au lycée. Seul le niveau primaire est développé ci-dessous.

Il s’inspire du mythe de Sissa dit aussi Problème de l’échiquier de Sissa (Wikipédia).

Celui-ci peut prendre des appellations et des formulations différentes. En voici une version avec un échiquier qui le rend présentable à des élèves de l’enseignement primaire et secondaire :

Un échiquier a 64 cases (8 lignes et 8 colonnes). On place un grain de riz sur la première case de l’échiquier. Ensuite, on place 2 grains de riz sur la deuxième case, 4 sur la troisième case, etc. On double le nombre de grains de riz à chaque case.

On imagine que l’on a rempli toutes les cases de l’échiquier.

Peut-on calculer le nombre total de grains de riz placés sur l’échiquier ?

Les 3 premières cases de l’échiquier avec le nombre correspondant de grains de riz : un grain dans la 1re case, deux dans la 2e case, quatre dans la 3e. Ce qui fait un total de 7 grains de riz. Il s’agit de continuer ainsi jusqu’à la dernière case, la 64e.

Les premiers cas peuvent se représenter, par exemple, par le tableau suivant :

Case	Nombre de grains	Somme
1	1	1
2	2	3
3	4	7

Note 1 : Pour présenter cette situation aux élèves, il est recommandé de leur « raconter » l’histoire, voire de la conter à la manière d’une légende, plutôt que de leur un faire lire un texte. La priorité est la compréhension de la situation, pas le déchiffrage du texte.

Note 2 : La formulation de la question initie d’emblée un débat et la nécessité d’une argumentation. Cette dernière peut devenir une preuve, c’est-à-dire une explication acceptée par la classe de la validité de la réponse. Il faut s’attendre à différentes sortes de réponse de la part des élèves : oui, non, ça dépend, on ne peut pas savoir, oui car… non car…

Note 3 : Dans un premier temps, les élèves n’ont pas besoin de matériel même si on peut leur montrer un échiquier et des grains de riz. L’essentiel est qu’ils comprennent le problème posé. Ils peuvent ensuite réfléchir, anticiper, chercher, modéliser, etc.

Remarque

Le problème est simple à poser et à comprendre par de jeunes élèves mais le calcul du nombre total de grains de riz est hors de portée pour les plus jeunes élèves du primaire. Le calcul serait long pour un adulte, sauf s’il utilise un ordinateur et un logiciel adapté pour faire les calculs. D’où la question formulée sous la forme « Peut-on… ? » (question qui renvoie aux domaines du possible…)

CEPENDANT, sans effectuer tous les calculs, les élèves ont, collectivement au moins, les moyens intellectuels pour répondre correctement à la question. Plus encore, cette situation permet de faire travailler l’ensemble des élèves sur le même problème malgré leurs différences de compétence en numération ou en calcul.

Tout ceci fait que c’est une situation assez rare qui mérite d’être proposée aux élèves !

Autres intérêts de la situation

Le calcul du nombre de grains de riz correspond à un phénomène de type exponentiel, c’est un des autres intérêts de cette situation. En effet, ce type de situation se rencontre rarement dans la scolarité avant le lycée alors que les élèves peuvent finalement le rencontrer dès l’école primaire.

Mais ce problème permet bien d’autres choses :

Faire découvrir aux élèves un phénomène exponentiel, simple à comprendre, avec des calculs que des calculatrices ne peuvent pas calculer, sauf peut-être certaines au niveau du lycée. Même un tableur tel que LibreOffice Calc ne peut effectuer correctement tous les calculs nécessaires (voir les fichiers en bas de page). Et pourtant, les élèves vont pouvoir donner une réponse !
Faire rencontrer aux élèves des types de nombres que l’on ne rencontre pas tous les jours. La 64e case contient au sens strict des « milliards de milliards » de grains de riz. La somme totale de grains de riz elle aussi. Moments rares en numération dans les classes ! Et pourtant, ils pourront tout de même s’exercer à la lecture de plusieurs nombres plus ou moins grands adaptés à leur compétence.
Exercer la compétence des élèves à multiplier rapidement par 2 et à faire des additions de nombres à plusieurs chiffres, selon les niveaux, en lien avec la maîtrise des tables d’additions ou de multiplications par 2.

Ainsi, le même problème permet à tous les élèves de travailler leurs compétences en numération et en calcul.

Exemple de mise en oeuvre

Les élèves peuvent calculer les premières cases et les sommes assez facilement.
Arrive un moment où les calculs deviennent longs et où les élèves ne trouvent pas tous les mêmes résultats. Ce moment dépend en partie du niveau d’enseignement.
Les élèves vérifient par petits groupes, corrigent les erreurs puis la classe vérifie collectivement. La liste des cas traités et vérifiés s’allonge, les élèves tentent d’aller plus loin. Certains utilisent la calculatrice mais cette dernière montre vite ses limites.
Certains élèves finissent par abandonner devant l’ampleur et la difficulté de la tâche. Collectivement, il faut se rendre à l’évidence : il va être très long de calculer tous les nombres nécessaires.
Retour à la question posée : Alors, peut-on calculer le nombre total de grains de riz placés sur l’échiquier ?

La conclusion est : Oui, on pourrait calculer ce nombre mais ce serait très long et il serait facile de faire des erreurs à chaque étape. Certains élèves pourraient même conclure que ce ne serait pas très passionnant alors que d’autres seraient prêts à relever le défi.

L’enseignant peut alors montrer ou distribuer la liste des résultats (voir en bas de page le fichier resultats-probleme-echiquier-sissa).

Au cours de leurs recherches, les élèves peuvent faire différentes découvertes :

Déterminer une limite au-delà de laquelle ils ne peuvent pas ou ne veulent plus faire le calcul manuellement.
Déterminer une limite au-delà de laquelle ils ne peuvent pas faire le calcul avec une calculatrice car ils constatent que la calculatrice finit par donner des doubles ou des sommes carrément fausses ! En effet, les élèves peuvent constater et prouver les théorèmes suivants :
- À part pour la première case, les nombres de grains de riz se terminent obligatoirement par 2, 4, 8 et 6 (voir explication ci-dessous)
- les sommes partielles de grains (somme des grains de la première case jusqu’à la 2e, la 3e, etc.) se terminent obligatoirement par 1, 3, 5 et 7, ce qui est en lien avec le constat précédent.

Explication pour le chiffre des unités du nombre de grains de riz de chaque case :

Les premiers nombres se calculent facilement (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…).

Si le nombre se termine par un 2, le prochain se termine forcément par un 4
(car $2\times …2 = …4$).

Si le nombre se termine par un 4, le prochain se termine forcément par un 8
(car $2\times …4 = …8$).

Si le nombre se termine par un 8, le prochain se termine forcément par un 6
(car $2\times …8 = …6$).

Si le nombre se termine par un 6, le prochain se termine forcément par un 2
(car $2\times …6 = …2$). Et on retrouve le premier cas, un nombre qui se termine par un 2.

Explication pour les sommes partielles :

Les premières sommes partielles se calculent facilement (1, 3, 7, 15, 31, 63…).

Pour simplifier l’explication, examinons le cas de la case 6 : le nombre de grains de la case se termine par un 2 et la somme partielle de la ligne précédente se termine par un 1. Si on ajoute le nombre de grains de la case avec la somme partielle de la ligne précédente, on obtient donc un nombre qui se termine par $2 + 1$, c’est-à-dire par 3 ce qui est effectivement le cas puisque ce nombre est 63. On peut raisonner ainsi pour chaque ligne puisque l’on peut prédire par quel chiffre se termine le nombre de grains de chaque cas sans pour autant calculer ce nombre.

Avec un tableur ou un langage de programmation tel que Scratch, les élèves peuvent :

Déterminer une limite au-delà de laquelle ils ne peuvent pas faire le calcul avec un ordinateur, par exemple à l’aide des fichiers annexes disponibles en bas de page. Attention, le fichier de tableur LibreOffice ne donne pas toutes les valeurs exactes. Il n’est donné que pour illustrer une manière de modéliser le problème à l’aide d’un tableur.
Avec le tableur, les élèves peuvent constater que les nombres obtenus se terminent bizarrement par des « 0 » sans raison valable. De plus, les explications et les preuves précédentes montrent, elles aussi, que c’est impossible. On peut indiquer aux élèves qu’il est rarissime, mis à par dans les recherches mathématiques, d’avoir à calculer de manière exacte avec des nombres d’une telle taille. Ainsi, les logiciels de bureautique ne sont pas programmés pour effectuer correctement ce type de calculs, ils arrondissent les calculs.

Exploiter le tableau de l’ensemble des résultats ?

Avec le fichier resultats-probleme-echiquier-sissa :

Les élèves peuvent vérifier que le tableau est correct en commençant par vérifier quelques calculs, par exemple le passage de la case 45 à la case 46. Mais chaque élève pourrait choisir ce qu’il veut en fonction de sa capacité à calculer, par exemple passer de la case 6 à la case 7, ou bien de la case 15 à la case 16. Les élèves pourraient verbaliser les règles à suivre ou l’enseignant les leur donner.
- Pour le contenu de la case, il suffit de multiplier par 2 ou d’additionner deux fois le nombre de grains de la case précédente.
- Pour la somme, il suffit d’ajouter la somme à la case précédente avec nombre de grains de la case.
Les élèves peuvent se répartir et vérifier tous les cas.
Les élèves peuvent aussi effectuer des calculs approchés plutôt que des calculs exacts pour estimer la vraisemblance des résultats. Par exemple, pour passer de la case 21 à la case 22, on passe d’environ 1 million à 2 millions. C’est aussi un moyen de travailler la numération.

Note à propos des plus grands nombres du tableau : Pour vérifier la dernière ligne, un élève n’a que 2 fois 20 additions de nombres à un chiffre à effectuer. Tentant, non ?

Le fichier nombres-grains-par-case-echiquier-sissa.odt ne donnent que le nombre de grains par case, sans les sommes partielles. Cette simplification de présentation peut aider certains élèves à se repérer sur la feuille.

Autres exploitations possibles

Le problème initial part de la multiplication par 2 mais on peut poser le même problème en multipliant à chaque étape par 3, par 4, par 5, etc.
Le cas de la multiplication par 10 permet de faire le lien avec les unités de numération : unité, dizaine, centaine, millier, dizaine de milliers, etc.
La situation peut être utilisée pour tracer une représentation graphique de l’évolution du nombre de grains de riz en fonction du numéro de la case… avec le constat que la hauteur du graphique va être rapidement difficile à maîtriser ! Pour la 8e case, il faut représenter 512. Pour la 14e case, il faut représenter 8192. Quelle échelle faudrait-il choisir ? Et où vont se trouver les nombres suivants ?! C’est aussi l’intérêt de cette situation que de permettre changer de cadre, passer du cadre numérique au cadre graphique et mettre les deux en relation.
EDIT 09/01/2026 : La situation peut être éventuellement complétée avec l’exploitation (non détaillée ici) de l’album /Un million de points/ de Sven Völker (2023) aux éditions Helvetiq qui suit la même progression numérique (itération de multiplication par deux) pour dépasser le million, ou d’albums équivalents qui traitent de grands nombres.

Objectifs didactiques et pédagogiques

Cette situation peut être utilisée de différentes manières avec des enjeux différents selon les élèves ou les classes concernées.

L’objectif principal est que les élèves trouvent eux-mêmes une proposition de réponse, des explications et des preuves. À l’inverse, trouver le nombre total de grains de riz n’est ni un objectif ni même raisonnablement possible du fait de la taille des nombres impliqués au fur et à mesure des calculs.

Cependant, plusieurs objectifs méritent d’être travaillés :

Chercher, représenter et modéliser un problème (ici en utilisant des additions, des multiplications et différentes notations personnelles ou non).
Fréquenter des grands nombres qui se calculent à partir d’une règle très simple.
Fréquenter un phénomène exponentiel accessible à tous les niveaux de l’enseignement primaire et secondaire.
Calculer des doubles et des sommes, éventuellement sous forme de calculs approchés.

Mais aussi :

Échanger avec ses pairs.
Discuter la validité des propositions d’autres élèves, vérifier…
Tester les limites de ses connaissances mathématiques.
(Re)découvrir la limite et la puissance de certains outils ou écritures mathématiques dans le cas des grands nombres.
Utiliser une calculatrice ou un ordinateur pour effectuer des calculs avec des grands nombres, (re)découvrir leur puissance mais aussi leurs limites.
Découvrir l’histoire et les appellations des grands nombres (milliers, millions, milliards, billions, etc.), sans forcément chercher à toutes les maîtriser, et ainsi se rapprocher de… l’infini… Vertigineux en somme ! Quel plaisir pour les élèves, et tous peuvent en profiter !

Éléments mathématiques complémentaires

Sur un échiquier ($8 \times 8 = 64$ cases), le problème revient à calculer :

$$Nombre\thinspace total\thinspace de\thinspace grains\thinspace de\thinspace riz = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + \cdots$$

$$\cdots + 9 \thinspace 223 \thinspace 372 \thinspace 036 \thinspace 854 \thinspace 775 \thinspace 808 = 18 \thinspace 446 \thinspace 744 \thinspace 073 \thinspace 709 \thinspace 551 \thinspace 615$$

Ce qui, en utilisant la notation sous forme de puissances de 2 (non utilisées à l’école primaire), équivaut à :

$$Nombre\thinspace total\thinspace de\thinspace grains\thinspace de\thinspace riz = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + \cdots + 2^{63}$$

Les plus grands nombres impliqués sont de l’ordre de $10^{18}$ ou $10^{19}$, autrement dit de l’ordre du milliard de milliards (pas « de sabords »¹), c’est-à-dire largement hors de portée d’un calcul manuel standard.

Mais, comme dit plus haut, l’objectif premier n’est pas que les élèves trouvent eux-mêmes le nombre de grains de riz, surtout pas manuellement.

En effet, l’énoncé se termine volontairement par la question « Peut-on calculer le nombre total de grains de riz placés sur l’échiquier ? » et non pas la consigne plus traditionnelle « Calculer le nombre total de grains de riz placés sur l’échiquier ».

Épilogue

Indépendamment de cette page, il est possible de vérifier la validité de la somme totale et des calculs intermédiaires sur WolframAlpha en modifiant la formule sum(2^(k-1), k, 1 ,64), notamment le nombre 64 pour calculer les sommes partielles.

Explication : Le nombre de grains est multiplié par 2 à chaque fois. La première case correspond à $2^0$, la deuxième à $2^1$, la troisième à $2^2$… jusqu’à la 64e à $2^{63}$. La formule saisie correspond à la somme des nombres de grains de riz de la 1e case à la 64e.

Références

Problème de l’échiquier de Sissa (Wikipédia)

Dans les aventures de Tintin, le Capitaine Haddock emploie fréquemment l’expression « Mille milliards de mille sabords ! », parmi tant d’autres. Le nombre de sabords (ouverture dans un bateau pour tirer au canon) vaut donc ici $1000 \times 1 \thinspace 000 \thinspace 000 \thinspace 000 \times 1000 = 10^3 \times 10^9 \times 10^3 = 10^{15}$. C’est $1000$ à $10 \thinspace 000$ fois moins grands que les nombres en jeu dans le problème de l’échiquier. ↩︎

Travailler le calcul mental à l'école primaire

Sun, 28 Sep 2025 00:00:00 +0000

Objectifs de formation de ce diaporama

Exploiter de nouvelles ressources pour enseigner
Enrichir sa pratique au-delà du procédé « La Martinière »
S’affranchir « à peu de frais » d’une progression de manuel
Varier les modalités de travail des élèves
(Ré)organiser certaines modalités d’évaluation
Tenir compte de l’hétérogénéité des élèves
(Ré)organiser les traces des apprentissages

Contenu

Des éléments sur ce que les élèves peuvent/doivent travailler
Quelques critères d’analyse de situations d’enseignement-apprentissage
Des modalités variées de travail avec les élèves
Des outils d’évaluation individuelle, en groupes et en classe entière
Des références enrichissantes ;-)

Propositions de définitions

Calcul mental: Effectué mentalement avec ou sans recours à l'écrit selon les acceptions.
Calcul automatisé: Application d'un algorithme connu, ou rappel d'un résultat mémorisé.
Calcul réfléchi: Effectué avec recherche d'une stratégie de calcul.
Technique experte: (généralement) Algorithme usuel d'une des 4 opérations, s'oppose à technique personnelle ou qui change au cas par cas.
Calcul posé: Calcul écrit qui suit une technique experte.
Calcul instrumenté: Utilisant un instrument (calculatrice, tableur, table d'opérations).

Références (liste non exhaustive)

Ressource de formation Liste-competences-calcul-mental-ecole-primaire (PDF, ODT) liste des compétences pertinentes à travailler à l’école primaire.
Programmes et ressources d’accompagnement actuels sur Éduscol.
Une nouvelle dynamique pour les mathématiques. Place des mathématiques de l’école au lycée. (BOEN n° 2 du 12 janvier 2023)
Document Exemples de mise en œuvre pour l’enseignement du calcul mental du CP au CM2 dans le cadre des nouveaux programmes de mathématiques : recommandations (accessible depuis les ressources cycle 3 sur Eduscol, mais oublié dans celles du cycle 2…)

Archives de la Course aux nombres (courtes situations liées à la numération, aux mesures de grandeurs et au calcul mental)
Chapitre Calcul mental du document d’accompagnement des programmes de 2002-2007 pour une première liste de compétences utiles à travailler.
Calcul mental à l’école primaire, Mission départementale mathématiques de l’Académie de Nantes, mars 2008 (PDF, ODT) pour des situations permettant de travailler ces compétences.

Chaque ouvrage de la collection ERMEL Apprentissages numériques et résolution de problèmes + Les essentielles. Hatier. De multiples situations permettent de travailler le calcul mental bien qu’elles se soient pas toujours estampillées « calcul mental ».
Le calcul mental au quotidien, cycles 2 et 3, François Boule. Scérén et CNDP-CRDP de l’Académie de Dijon. 2012.
Le site Calcul@tice de l’académie de Lille propose différents exercices d’entraînement au calcul mental.

Premiers éléments sur les compétences actuelles des élèves en calcul mental

Dehaene, S., Potier-Watkins, C., Xi He, C. et Lubineau, M. (2022). Évaluer la compréhension des nombres décimaux et des fractions : Le test de la ligne numérique. Note du CSEN, 5, janvier 2022 (p. 5).

[à propos d’erreurs en début de sixième sur des additions et soustractions de nombres à deux chiffres avec retenue] La pratique plus régulière du calcul et des compléments à dix, tout au long du premier degré, devrait aider à corriger ces difficultés. […]

Le manque d’appréciation de la commutativité de la multiplication, évaluée par des problèmes tels que 8 x 15 – 15 x 8, entraîne également 55 % d’erreurs […], ce qui montre que les élèves n’ont pas compris le raccourci qu’elle permet. […] additionner 8 fois la valeur 15, et 15 fois la valeur 8, semblent deux opérations bien distinctes. […]

Enfin, comme les autres fractions que nous verrons plus loin, la division d’un nombre par lui-même est totalement incomprise (81 % d’erreurs ; exemples de réponses pour 3/3 : 0, 3, 6, 10 ou même 15 ou 20). (Dehaene et al., 2022, p. 5)

Une nouvelle dynamique pour les mathématiques.

Extraits de Une nouvelle dynamique pour les mathématiques. Place des mathématiques de l’école au lycée. BOEN n° 2 du 12 janvier 2023

La réussite des élèves en mathématiques suppose un enseignement méthodique et, dans le cadre des programmes, une progression conforme aux Repères et attendus annuels de progression, disponibles du CP à la classe de 3e, et qui constituent des jalons communs et impératifs. Si la notion de cycle conserve tout son sens, elle ne doit en effet pas conduire à reporter sur des années ultérieures la découverte ou le travail autour de notions qui doivent être enseignées précocement aux élèves.

Dans ce cadre, plusieurs pratiques pédagogiques sont à encourager :

le calcul mental est déterminant et fait l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes à l’école élémentaire ;

dans la continuité des apprentissages du cycle 2 relatifs au nombre, les fractions et décimaux, trop souvent mal maîtrisés par les élèves, sont enseignés dès la première période du cycle 3, enseignement qui sera continu tout au long du cycle ;

la résolution de problèmes à la complexité croissante doit être au cœur de l’activité mathématique des élèves tout au long de la scolarité obligatoire ;

les mesures et la représentation dans l’espace, à travers l’apprentissage de la géométrie.

Des activités traditionnelles à reconsidérer

Procédé « La Martinière »

Ce procédé d’entraînement d’inspiration militaire date du XIX$^\text{e}$ siècle. L’enseignant donne généralement un calcul à effectuer à toute la classe. Au signal, les élèves lèvent leur ardoise avec leur résultat.

Pas de différenciation selon les compétences des élèves
Pas de trace des progrès/difficultés durant la période/l’année
- ni pour l’enseignant
- ni pour l’élève
Rythme « anti-concentration », on s’arrête à chaque calcul.

Apprentissage des tables sans « problématisation »

Apprendre des tables, pourquoi faire ? Une problématisation minimale est souhaitable : des calculs reviennent très régulièrement, on peut les noter quelque part, les organiser. Certains sont déjà mémorisés, on cherche à en mémoriser d’autres qui seront très utiles et les réutiliser dans différentes situations : c’est l’approche des ouvrages ERMEL.
Pourquoi « apprendre » des calculs que l’on connait déjà ? Plutôt se concentrer sur les résultats inconnus ou mal connus.
Voir des propositions pour Apprendre ses tables de multiplication.

Progression des manuels et limites intrinsèques

Cohérence des progressions en calcul mental rarement explicitée
Pas de prise en compte du niveau global des élèves (un manuel est fait pour toutes les classes donc aucune)
Pas de différenciation selon les compétences au sein d’une classe

Que travailler en calcul mental et comment ?

Les propriétés générales des opérations
Des compétences spécifiques utiles pour la scolarité
Avec des modalités variées de travail et d’évaluation

Propriétés des opérations

Quelques calculs préablables à effectuer

$167 - 48$
$2 \times 198$
$12 \times 2,5$
Ordre de grandeur de 19,12% de 256,88
$46\,\mbox{millions} - 18\,\mbox{millions}$
$25 \times 16$

Qu’est-ce qui relève des programmes actuels, à quel niveau, et pourquoi ? (propriétés, faits numériques, etc.)

Extrait des repères cycle 2

« … les élèves sont conduits à développer des procédures de calcul en mobilisant des propriétés multiplicatives : $3 \times 5$, c’est pareil que $5 \times 3$, $3 \times 5 \times 2$, c’est pareil que $3 \times 10$ et sur des exemples très simples : $12 \times 5 = 10 \times 5 + 2 \times 5$ ».

Associativité ($+$, $\times$)

$(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c) = a \times b \times c$

Étant donné que $(2 + 3) + 7 =2 + (3 + 7)$, on décide de l’écrire $2+3+7$ (convention d’écriture)

Étant donné que $(3 \times 5) \times 2 =3 \times (5 \times 2)$, on décide de l’écrire $3 \times 5 \times 2$

À quoi peut servir la propriété d’associativité ?

… à associer les nombres et les multiplications comme on le souhaite.

Un exemple avec l’addition

$31 + 48 + 12 = 31 + (48 + 12) = 31 + 60 = (1 + 30) + 60 = 1 + 90 = 91$

Deux exemples avec la multiplication

$5 \times 20 = 5 \times (2 \times 10) = (5 \times 2) \times 10 = 10 \times 10 = 100$ (stratégie indispensable pour l’algorithme usuel de la multiplication posée)
$25 \times 16 = 25 \times (4 \times 4) = (25 \times 4) \times 4 = 100 \times 4 = 400$ (exemple déjà vu plus haut)

Commutativité ($+$, $\times$)

$a+b=b+b\;$ et $\;a\times b = b \times a$

Commutativité de l’addition

En fin de maternelle, il est plus facile de surcompter à partir de 5 qu’à partir de 1 : $1+5=5+1$.

Cela s’explique aux élèves par une simple inversion d’un dénombrement (commencer par 5 objets plutôt que par un objet isolé). Ajouter 1 à partir de 5, c’est juste prendre le mot-nombre ou le nombre qui suit.

Commutativité de la multiplication

On peut expliquer $2\times 3=3\times 2$ avec des représentations du type suivant :

En retournant de 90° une configuration de 2 colonnes de 3 points, on obtient 3 colonnes de 2 points et exactement le même nombre de points : 6.

« Puissance » de la commutativité de la multiplication

Les deux nombres « 2 » et « 3 » étaient choisis pour être faciles à représenter. Il faut aussi traiter des nombres plus grands, notamment des cas où la commutativité est utile, ce qui n’est pas toujours illustré dans les manuels scolaires.

Par exemple, au lieu de calculer « 127 fois 2 » avec $2 + 2 + \cdots + 2$, il est plus rapide de calculer $127 + 127$ ($2 \times 127$).

Une fois cela compris, il n’y a plus lieu de différencier $127 \times 2$ de $2 \times 127$. La multiplication devient une abstraction pratique pour résoudre des problèmes.

Commutativité et associativité

Illustration d’un calcul où commutativité et associativité sont utilisées :

$$ \begin{align} (6 + 3) + (4 + 7) & = 6+3+4+7\; \text{(associativité)}\\ & = 6+4+3+7\; \text{(commutativité)}\\ & = (6+4)+(3+7)\; \text{(associativité)}\\ & = 10+10 \end{align} $$

Ce type d’exemple tend à montrer aux élèves l’intérêt qu’il y a à connaître et utiliser ces propriétés.

La soustraction n’est ni commutative ni associative

Un contre-exemple suffit à le prouver :

$5-3 \neq 3-5\;\;$ (non commutative car $2\neq -2$)
Mais on peut écrire $15-2-3=15-3-2$. Dans un problème de transformation (Vergnaud), enlever 2 puis 3 équivaut à enlever 3 puis 2.
$(10-5)-2 \neq 10 - (5-2)\;\;$ (non associative car $3\neq 7$)

La division n’est ni commutative ni associative

$8\div 4 \neq 4\div 8 $ (car $2\neq 0,5$)
$(16\div 4)\div 2 \neq 16 \div (4\div 2)$ (car $2\neq 8$)

Distributivité de la multiplication sur l’addition (et la soustraction)

Distributivité de $\times$ sur $+$

$ k \times (a+b) = (k \times a) + (k \times b)$

$2 \times 198 = 2 \times (200 - 2) = (2\times 200) + (2\times 2) = 400 + 4 = 404$

$2 \times 25 = 2 \times (20 + 5) = (2\times 20) + (2\times 5) = 40 + 10 = 50$

En plus de simplifier certains calculs, quelle est l’utilité de cette propriété dans les apprentissages scolaires ?

Cette propriété est indispensable pour deux techniques usuelles suivantes de multiplication posée.

Ces deux techniques utilisent la distributivité. Dans le premier cas, on décompose $123\times{}5$ en $(1\text{c}+2\text{d}+3\text{u})\times 5$. Dans le deuxième cas, on décompose le produit en $(100+20+3)\times 5$.

Quelles compétences développer chez les élèves et pourquoi ?

Les propriétés déjà présentées se travaillent dans la durée avant de pouvoir être utilisées dans les algorithmes usuels d’addition, de soustraction, de multiplication, de division et dans d’autres contextes plus tard dans la scolarité.

Elles se travaillent aussi en enrichissant les compétences des élèves pour traiter différents types de calculs pouvant se traiter mentalement.

Ceci contribue à améliorer les connaissances et compétences des élèves sur les opérations, mais aussi sur des nombres qu’ils vont fréquenter durant leur scolarité. Par exemple, être à l’aise au collège avec la distributivité et reconnaître des diviseurs communs de 280 et 56 permet rapidement de factoriser $280 x + 56y$ ou simplifier $\frac{56}{280}$.

Le fichier Liste-competences-calcul-mental-ecole-primaire (PDF, ODT) liste des compétences pertinentes à travailler à l’école primaire. Des commentaires explicitent l’intérêt de ces compétences. Il s’inspire largement du document d’accompagnement des programmes de 2002-2007, ancien mais riche.

Seul ou en équipe, chaque enseignant peut se poser des questions telles que :

À quoi sert-il d’apprendre les tables, des « faits numériques » tels que $8\times 9$ ; $25 + 25 = 50$ ; $3\times 25 = 75$, etc.
À quoi sert-il de connaître les compléments des nombres inférieurs à 20 ? (pertinent pour la technique de la soustraction posée par compensation, non cité dans les ressources qui accompagnent les programmes 2025)
etc.

Les documents ci-dessus facilitent la recherche d’élément de réponse.

Quelle progression suivre ?

À ce jour et mis à part quelques grandes lignes plus ou moins évidentes à établir, personne ne le sait vraiment (à ma connaissance !).

Dans les manuels, les progressions sont très rarement justifiées ou même explicitées.

Le document 2025 le plus complet sur le calcul mental sur Eduscol s’intitule « Exemples de mise en œuvre pour l’enseignement du calcul mental du CP au CM2 dans le cadre des nouveaux programmes de mathématiques : recommandations », et non «  Exemples de progression… »

Comment faire alors ?

Tenir compte de l’hétérogénéité des compétences des élèves (voir notamment les outils d’évaluation présentés plus loin)
Saisir au bond les situations de classe qui permettent de travailler le calcul mental
Gagner en expertise en tant qu’enseignant :
- Organiser les compétences de la liste déjà présentée (par exemple en les découpant et en les organisant sur une feuille) et approfondir les liens qui les unissent
- Consulter les documents listés en références dans ce diaporama
- Lister les compétences et les modalités travaillées dans les manuels/fichiers, combler les manques
- Prendre des notes pour soi qui serviront à court, moyen ou long terme

Fonctions du calcul mental/réfléchi/automatisé

Connaissances des nombres et techniques personnelles/expertes (« intelligence du calcul »)
Calculs approchés (ordre de grandeur)
Apprentissage du sens des opérations
Impact sur la résolution de problèmes numériques (recherches de Butlen, Peltier, Pézard, Masselot)
Poursuite d’études (ex. fractions, résolution d’équations, repérage de régularités, conversions d’unités…)
Confiance en soi et intégration sociale au même titre que la maîtrise de la langue

Propositions de modalités générales de travail

Initié en maternelle : 1, 2, 3 pions. Si j’en ajoute 1 ? 4 (c’est après le 3 dans la comptine numérique). Si j’en enlève 1 ? 2 (c’est avant).
Travail quotidien dès le CP (15 min minimum mais aussi parfois 30 ou 45 min : entraînement vs problématisation)
Temps de réponse imposé $\pm$ long : construction des tables ou automatisation ? Découverte ou entraînement de techniques ?
Traces écrites de ce que doit savoir l’élève : tableau, cahier et affichage
Apprentissage des tables problématisé et organisé en classe
Commencer et finir avec des calculs accessibles à tous : échauffement et maintien de l’attention

Outils variés de co/auto/évaluation des compétences des élèves (voir plus loin)
Activités dirigées ou en autonomie, individuelles ou en groupes
Réinvestissements réguliers au sein d’une période ou d’une période à l’autre
Économie de préparation avec les défis entre et par les élèves en lien avec leur zone proximale de développement (ZPD)
Jeux tels ceux proposés par l’Académie de Nantes en 2008 (PDF, ODT), le groupe Jeux2Maths de l’IREM de Caen ou d’autres ressources
Des logiciels éducatifs peuvent être utilisés, mais ils sont souvent peu qualitatifs. La thèse d’Isabelle Ludier (2022) a, par exemple, montré que le logiciel Mathador n’a que peu d’effet, voire aucun, sur les compétences des élèves du cycle 3. On peut s’intéresser au site Calcul@tice de l’académie de Lille, toujours accompagné de séances structurées et de traces en classe.

Calculatrice et calcul mental

Du fait des résultats généraux des élèves français à différentes évaluations nationales et internationales, les programmes du cycle 2 qui entrent en vigueur à la rentrée 2025 mettent un accent fort sur le travail du calcul mental et précisent :

Afin de privilégier le développement d’habiletés et de compétences solides en calcul, tant mental que posé, les élèves ne seront pas amenés à utiliser de calculatrice au cycle 2. (p. 3)

mais aussi que :

La calculatrice n’est pas utilisée au cycle 2 en dehors d’un usage prescrit pour des élèves à besoins particuliers. (p. 5, 13 et 21)

Ceci étant, la calculatrice peut avoir différents usages pertinents dès le cycle 2 et pour tous les élèves :

découvrir de nouvelles opérations sans être bloqués par l’apprentissage d’une technique manuelle
faciliter les calculs et se concentrer sur le sens de problèmes numériques

Contre toute attente, la calculatrice permet aussi de travailler le calcul mental, la connaissance des nombres, des opérations et de leurs propriétés.

Apprentissage des tables

Sans modalités spécifiques, l’apprentissage des tables risque de s’effectuer sans tenir compte des acquis des élèves et de l’hétérogénéité de leurs connaissances.

De manière simple, il est possible d’organiser un enseignement qui développe l’autonomie et la coopération des élèves, et la gestion de l’hétérogénéité dans l’apprentissage des tables.

Manières de présenter les calculs aux élèves

À l’oral vs à l’écrit : les deux sont nécessaires (stratégies de calcul généralement différentes)
Formulations variées des calculs : la moitié de $12$, le quart de cent, $3 \times 5$, trois multiplié par cinq, trois fois cinq, $0,25+0,25$, $0,25 \times 2$, $\frac{1}{4} \times 2$…
Travailler le calcul approché sans s’attacher aux calculs exacts : Combien environ vaut $17 \times 21$ ? La réponse $20 \times 20 = 400$ et sa justification sont suffisantes à valider la réponse. Le calcul exact n’apporte généralement rien.
Encadrement et intercalation
- Trouver deux multiples de $20$ qui encadrent $1357$
- Trouver un multiple de $25$ entre $1200$ et $1500$

Travailler le sens des opérations
- proposer simultanément sommes et différences : $3+4=…$, $7=3+…$, $7=…+3$, $…+4=7$, $3+…=7$, $…-3=4$, $7-4=…$, $3$ pour aller à $7$, différence entre $3$ et $7$, une addition qui donne $7$ à partir de $3$, trois additions de deux nombres qui valent $7$, une addition de $3$ nombres qui vaut $7$, des sommes qui valent $7$, des différences qui donnent $7$ ?
- proposer simultanément produits et quotients
- varier les nombres d’un énoncé : Combien valent $3$ objets à $7$€ ? $7$ objets à $3$€ ? $5$ objets à $7$€ ?
- poser des problèmes mobilisant différentes opérations : Combien valent 3 objets à $7$€ ? Combien dépense Julien qui achète un objet à $7$€ et un objet à $4$€ ? Comment répartir équitablement $16$ fleurs dans $3$ vases ? Il y a $16$ fleurs et $3$ vases, combien y a-t-il de fleurs de plus que de vases ? (analogie de scénario, Sander)

Solliciter une recherche avec des suites de nombres ou des algorithmes : prolonger la suite $15$, $45$, $135$, $405$… Écrire la suite des nombres obtenus successivement en $\times 3$ à partir de $15$.
Travailler sur les résultats « dérivés » : on sait que $3 \times 7 = 21$ et $26 \times 35 = 910$, combien valent $3 \times 70$ ? $260 \times 3,5$ ?…
« Écart-tables » : Trouver la différence entre $3 \times 8$ et $3 \times 10$. Réponse : $3 \times 2$ car l’écart entre $10$ et $8$ vaut $2$.
Atteindre un nombre-cible avec des opérations et des nombres imposés. Astuce pour maîtriser les types de calculs travaillés par les élèves : l’enseignant écrit secrètement un calcul pour lui, il donne uniquement les nombres à utiliser et le résultat aux élèves. Différenciation : augmenter/diminuer contraintes pour certains élèves.
Reprendre l’idée des défis entre élèves avec ces différentes modalités.

Dispositifs d’évaluation

Des thermomètres

Chaque thermomètre représente le score d’un élève.
Affichage des thermomètres non-triés (en groupes ou classe entière) pour échanger sur les constats.
Le tri des thermomètres avec les élèves permet de former des groupes de besoin.
À chaque évaluation, les élèves récupèrent leur thermomètre pour constater en autonomie l’évolution de leurs compétences.

Tableaux et graphiques

La représentation de l’évolution des scores permet d’utiliser les tableaux et graphiques dans une situation « concrète » connue des élèves dès le cycle 2.

Autre exemple d’organisation et de représentation

Une liste de calculs et un temps de réalisation maximum sont donnés. On note puis on représente le nombre de calculs effectués et des calculs réussis pour chaque élève.

Évaluation : début (à gauche) et (à droite) fin de séquence.

Si chaque point correspond à l’évaluation d’un élève :

Quelle évolution globale des compétences dans la classe ?
Où sont les élèves qui « réussissent mieux » et pourquoi ?
Va-t-on former des groupes et pourquoi ?

Si les points correspondent aux évaluations d’un unique élève :

L’élève numérote ou relie chaque point dans l’ordre chronologique pour visualiser sa progression. Quel projet d’apprentissage ensuite ?

Variantes avec ce type de graphiques

Donner 20 calculs à effectuer et noter le temps d’exécution sur l’axe des absisses (le nombre de calculs réussis reste sur l’axe des ordonnées).
Comparer 2 graphiques d’élèves réels ou fictifs, puis échanger sur la différence entre « meilleurs résultats » ou « meilleure progression » ?

Les cibles (lien avec calcul posé)

Une partie est coloriée à chaque erreur. On ne compte plus au-delà 3 erreurs, c’est que la compétence n’est pas suffisamment maîtrisée.

Fichier ZIP de cibles vierges

Comment s’améliorer soi-même en calcul mental ?

En calculant soi-même mentalement
Calcul approché/exact du total de ses courses
Calcul approché/exact du rendu de monnaie
Calcul approché/exact des pourcentages (promotions, $10\% = 1/10^e$, $20\% = 2 \times 1/10^e$, $5\% = \text{la moitié de } 1/10^e$…)
etc.

Travailler le calcul mental à l'école primaire

Sun, 28 Sep 2025 00:00:00 +0000

Objectifs de formation de ce diaporama

Exploiter de nouvelles ressources pour enseigner
Enrichir sa pratique au-delà du procédé « La Martinière »
S’affranchir « à peu de frais » d’une progression de manuel
Varier les modalités de travail des élèves
(Ré)organiser certaines modalités d’évaluation
Tenir compte de l’hétérogénéité des élèves
(Ré)organiser les traces des apprentissages

Contenu

Des éléments sur ce que les élèves peuvent/doivent travailler
Quelques critères d’analyse de situations d’enseignement-apprentissage
Des modalités variées de travail avec les élèves
Des outils d’évaluation individuelle, en groupes et en classe entière
Des références enrichissantes ;-)

Propositions de définitions

Calcul mental: Effectué mentalement avec ou sans recours à l'écrit selon les acceptions.
Calcul automatisé: Application d'un algorithme connu, ou rappel d'un résultat mémorisé.
Calcul réfléchi: Effectué avec recherche d'une stratégie de calcul.
Technique experte: (généralement) Algorithme usuel d'une des 4 opérations, s'oppose à technique personnelle ou qui change au cas par cas.
Calcul posé: Calcul écrit qui suit une technique experte.
Calcul instrumenté: Utilisant un instrument (calculatrice, tableur, table d'opérations).

Références (liste non exhaustive)

Ressource de formation Liste-competences-calcul-mental-ecole-primaire (PDF, ODT) liste des compétences pertinentes à travailler à l’école primaire.
Programmes et ressources d’accompagnement actuels sur Éduscol.
Une nouvelle dynamique pour les mathématiques. Place des mathématiques de l’école au lycée. (BOEN n° 2 du 12 janvier 2023)
Document Exemples de mise en œuvre pour l’enseignement du calcul mental du CP au CM2 dans le cadre des nouveaux programmes de mathématiques : recommandations (accessible depuis les ressources cycle 3 sur Eduscol, mais oublié dans celles du cycle 2…)

Archives de la Course aux nombres (courtes situations liées à la numération, aux mesures de grandeurs et au calcul mental)
Chapitre Calcul mental du document d’accompagnement des programmes de 2002-2007 pour une première liste de compétences utiles à travailler.
Calcul mental à l’école primaire, Mission départementale mathématiques de l’Académie de Nantes, mars 2008 (PDF, ODT) pour des situations permettant de travailler ces compétences.

Chaque ouvrage de la collection ERMEL Apprentissages numériques et résolution de problèmes + Les essentielles. Hatier. De multiples situations permettent de travailler le calcul mental bien qu’elles se soient pas toujours estampillées « calcul mental ».
Le calcul mental au quotidien, cycles 2 et 3, François Boule. Scérén et CNDP-CRDP de l’Académie de Dijon. 2012.
Le site Calcul@tice de l’académie de Lille propose différents exercices d’entraînement au calcul mental.

Premiers éléments sur les compétences actuelles des élèves en calcul mental

Dehaene, S., Potier-Watkins, C., Xi He, C. et Lubineau, M. (2022). Évaluer la compréhension des nombres décimaux et des fractions : Le test de la ligne numérique. Note du CSEN, 5, janvier 2022 (p. 5).

[à propos d’erreurs en début de sixième sur des additions et soustractions de nombres à deux chiffres avec retenue] La pratique plus régulière du calcul et des compléments à dix, tout au long du premier degré, devrait aider à corriger ces difficultés. […]

Le manque d’appréciation de la commutativité de la multiplication, évaluée par des problèmes tels que 8 x 15 – 15 x 8, entraîne également 55 % d’erreurs […], ce qui montre que les élèves n’ont pas compris le raccourci qu’elle permet. […] additionner 8 fois la valeur 15, et 15 fois la valeur 8, semblent deux opérations bien distinctes. […]

Enfin, comme les autres fractions que nous verrons plus loin, la division d’un nombre par lui-même est totalement incomprise (81 % d’erreurs ; exemples de réponses pour 3/3 : 0, 3, 6, 10 ou même 15 ou 20). (Dehaene et al., 2022, p. 5)

Une nouvelle dynamique pour les mathématiques.

Extraits de Une nouvelle dynamique pour les mathématiques. Place des mathématiques de l’école au lycée. BOEN n° 2 du 12 janvier 2023

La réussite des élèves en mathématiques suppose un enseignement méthodique et, dans le cadre des programmes, une progression conforme aux Repères et attendus annuels de progression, disponibles du CP à la classe de 3e, et qui constituent des jalons communs et impératifs. Si la notion de cycle conserve tout son sens, elle ne doit en effet pas conduire à reporter sur des années ultérieures la découverte ou le travail autour de notions qui doivent être enseignées précocement aux élèves.

Dans ce cadre, plusieurs pratiques pédagogiques sont à encourager :

le calcul mental est déterminant et fait l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes à l’école élémentaire ;

dans la continuité des apprentissages du cycle 2 relatifs au nombre, les fractions et décimaux, trop souvent mal maîtrisés par les élèves, sont enseignés dès la première période du cycle 3, enseignement qui sera continu tout au long du cycle ;

la résolution de problèmes à la complexité croissante doit être au cœur de l’activité mathématique des élèves tout au long de la scolarité obligatoire ;

les mesures et la représentation dans l’espace, à travers l’apprentissage de la géométrie.

Des activités traditionnelles à reconsidérer

Procédé « La Martinière »

Pas de différenciation selon les compétences des élèves
Pas de trace des progrès/difficultés durant la période/l’année
- ni pour l’enseignant
- ni pour l’élève
Rythme « anti-concentration », on s’arrête à chaque calcul.

Apprentissage des tables sans « problématisation »

Apprendre des tables, pourquoi faire ? Une problématisation minimale est souhaitable : des calculs reviennent très régulièrement, on peut les noter quelque part, les organiser. Certains sont déjà mémorisés, on cherche à en mémoriser d’autres qui seront très utiles et les réutiliser dans différentes situations : c’est l’approche des ouvrages ERMEL.
Pourquoi « apprendre » des calculs que l’on connait déjà ? Plutôt se concentrer sur les résultats inconnus ou mal connus.
Voir des propositions pour Apprendre ses tables de multiplication.

Progression des manuels et limites intrinsèques

Cohérence des progressions en calcul mental rarement explicitée
Pas de prise en compte du niveau global des élèves (un manuel est fait pour toutes les classes donc aucune)
Pas de différenciation selon les compétences au sein d’une classe

Que travailler en calcul mental et comment ?

Les propriétés générales des opérations
Des compétences spécifiques utiles pour la scolarité
Avec des modalités variées de travail et d’évaluation

Propriétés des opérations

Quelques calculs préablables à effectuer

$167 - 48$
$2 \times 198$
$12 \times 2,5$
Ordre de grandeur de 19,12% de 256,88
$46\,\mbox{millions} - 18\,\mbox{millions}$
$25 \times 16$

Qu’est-ce qui relève des programmes actuels, à quel niveau, et pourquoi ? (propriétés, faits numériques, etc.)

Extrait des repères cycle 2

Associativité ($+$, $\times$)

$(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c) = a \times b \times c$

Étant donné que $(2 + 3) + 7 =2 + (3 + 7)$, on décide de l’écrire $2+3+7$ (convention d’écriture)

Étant donné que $(3 \times 5) \times 2 =3 \times (5 \times 2)$, on décide de l’écrire $3 \times 5 \times 2$

À quoi peut servir la propriété d’associativité ?

… à associer les nombres et les multiplications comme on le souhaite.

Un exemple avec l’addition

$31 + 48 + 12 = 31 + (48 + 12) = 31 + 60 = (1 + 30) + 60 = 1 + 90 = 91$

Deux exemples avec la multiplication

$5 \times 20 = 5 \times (2 \times 10) = (5 \times 2) \times 10 = 10 \times 10 = 100$ (stratégie indispensable pour l’algorithme usuel de la multiplication posée)
$25 \times 16 = 25 \times (4 \times 4) = (25 \times 4) \times 4 = 100 \times 4 = 400$ (exemple déjà vu plus haut)

Commutativité ($+$, $\times$)

$a+b=b+b\;$ et $\;a\times b = b \times a$

Commutativité de l’addition

En fin de maternelle, il est plus facile de surcompter à partir de 5 qu’à partir de 1 : $1+5=5+1$.

Commutativité de la multiplication

On peut expliquer $2\times 3=3\times 2$ avec des représentations du type suivant :

En retournant de 90° une configuration de 2 colonnes de 3 points, on obtient 3 colonnes de 2 points et exactement le même nombre de points : 6.

« Puissance » de la commutativité de la multiplication

Par exemple, au lieu de calculer « 127 fois 2 » avec $2 + 2 + \cdots + 2$, il est plus rapide de calculer $127 + 127$ ($2 \times 127$).

Une fois cela compris, il n’y a plus lieu de différencier $127 \times 2$ de $2 \times 127$. La multiplication devient une abstraction pratique pour résoudre des problèmes.

Commutativité et associativité

Illustration d’un calcul où commutativité et associativité sont utilisées :

$$ \begin{align} (6 + 3) + (4 + 7) & = 6+3+4+7\; \text{(associativité)}\\ & = 6+4+3+7\; \text{(commutativité)}\\ & = (6+4)+(3+7)\; \text{(associativité)}\\ & = 10+10 \end{align} $$

Ce type d’exemple tend à montrer aux élèves l’intérêt qu’il y a à connaître et utiliser ces propriétés.

La soustraction n’est ni commutative ni associative

Un contre-exemple suffit à le prouver :

$5-3 \neq 3-5\;\;$ (non commutative car $2\neq -2$)
Mais on peut écrire $15-2-3=15-3-2$. Dans un problème de transformation (Vergnaud), enlever 2 puis 3 équivaut à enlever 3 puis 2.
$(10-5)-2 \neq 10 - (5-2)\;\;$ (non associative car $3\neq 7$)

La division n’est ni commutative ni associative

$8\div 4 \neq 4\div 8 $ (car $2\neq 0,5$)
$(16\div 4)\div 2 \neq 16 \div (4\div 2)$ (car $2\neq 8$)

Distributivité de la multiplication sur l’addition (et la soustraction)

Distributivité de $\times$ sur $+$

$ k \times (a+b) = (k \times a) + (k \times b)$

$2 \times 198 = 2 \times (200 - 2) = (2\times 200) + (2\times 2) = 400 + 4 = 404$

$2 \times 25 = 2 \times (20 + 5) = (2\times 20) + (2\times 5) = 40 + 10 = 50$

En plus de simplifier certains calculs, quelle est l’utilité de cette propriété dans les apprentissages scolaires ?

Cette propriété est indispensable pour deux techniques usuelles suivantes de multiplication posée.

Quelles compétences développer chez les élèves et pourquoi ?

Elles se travaillent aussi en enrichissant les compétences des élèves pour traiter différents types de calculs pouvant se traiter mentalement.

Seul ou en équipe, chaque enseignant peut se poser des questions telles que :

À quoi sert-il d’apprendre les tables, des « faits numériques » tels que $8\times 9$ ; $25 + 25 = 50$ ; $3\times 25 = 75$, etc.
À quoi sert-il de connaître les compléments des nombres inférieurs à 20 ? (pertinent pour la technique de la soustraction posée par compensation, non cité dans les ressources qui accompagnent les programmes 2025)
etc.

Les documents ci-dessus facilitent la recherche d’élément de réponse.

Quelle progression suivre ?

À ce jour et mis à part quelques grandes lignes plus ou moins évidentes à établir, personne ne le sait vraiment (à ma connaissance !).

Dans les manuels, les progressions sont très rarement justifiées ou même explicitées.

Comment faire alors ?

Tenir compte de l’hétérogénéité des compétences des élèves (voir notamment les outils d’évaluation présentés plus loin)
Saisir au bond les situations de classe qui permettent de travailler le calcul mental
Gagner en expertise en tant qu’enseignant :
- Organiser les compétences de la liste déjà présentée (par exemple en les découpant et en les organisant sur une feuille) et approfondir les liens qui les unissent
- Consulter les documents listés en références dans ce diaporama
- Lister les compétences et les modalités travaillées dans les manuels/fichiers, combler les manques
- Prendre des notes pour soi qui serviront à court, moyen ou long terme

Fonctions du calcul mental/réfléchi/automatisé

Connaissances des nombres et techniques personnelles/expertes (« intelligence du calcul »)
Calculs approchés (ordre de grandeur)
Apprentissage du sens des opérations
Impact sur la résolution de problèmes numériques (recherches de Butlen, Peltier, Pézard, Masselot)
Poursuite d’études (ex. fractions, résolution d’équations, repérage de régularités, conversions d’unités…)
Confiance en soi et intégration sociale au même titre que la maîtrise de la langue

Propositions de modalités générales de travail

Initié en maternelle : 1, 2, 3 pions. Si j’en ajoute 1 ? 4 (c’est après le 3 dans la comptine numérique). Si j’en enlève 1 ? 2 (c’est avant).
Travail quotidien dès le CP (15 min minimum mais aussi parfois 30 ou 45 min : entraînement vs problématisation)
Temps de réponse imposé $\pm$ long : construction des tables ou automatisation ? Découverte ou entraînement de techniques ?
Traces écrites de ce que doit savoir l’élève : tableau, cahier et affichage
Apprentissage des tables problématisé et organisé en classe
Commencer et finir avec des calculs accessibles à tous : échauffement et maintien de l’attention

Outils variés de co/auto/évaluation des compétences des élèves (voir plus loin)
Activités dirigées ou en autonomie, individuelles ou en groupes
Réinvestissements réguliers au sein d’une période ou d’une période à l’autre
Économie de préparation avec les défis entre et par les élèves en lien avec leur zone proximale de développement (ZPD)
Jeux tels ceux proposés par l’Académie de Nantes en 2008 (PDF, ODT), le groupe Jeux2Maths de l’IREM de Caen ou d’autres ressources
Des logiciels éducatifs peuvent être utilisés, mais ils sont souvent peu qualitatifs. La thèse d’Isabelle Ludier (2022) a, par exemple, montré que le logiciel Mathador n’a que peu d’effet, voire aucun, sur les compétences des élèves du cycle 3. On peut s’intéresser au site Calcul@tice de l’académie de Lille, toujours accompagné de séances structurées et de traces en classe.

Calculatrice et calcul mental

Afin de privilégier le développement d’habiletés et de compétences solides en calcul, tant mental que posé, les élèves ne seront pas amenés à utiliser de calculatrice au cycle 2. (p. 3)

mais aussi que :

La calculatrice n’est pas utilisée au cycle 2 en dehors d’un usage prescrit pour des élèves à besoins particuliers. (p. 5, 13 et 21)

Ceci étant, la calculatrice peut avoir différents usages pertinents dès le cycle 2 et pour tous les élèves :

découvrir de nouvelles opérations sans être bloqués par l’apprentissage d’une technique manuelle
faciliter les calculs et se concentrer sur le sens de problèmes numériques

Contre toute attente, la calculatrice permet aussi de travailler le calcul mental, la connaissance des nombres, des opérations et de leurs propriétés.

Apprentissage des tables

Sans modalités spécifiques, l’apprentissage des tables risque de s’effectuer sans tenir compte des acquis des élèves et de l’hétérogénéité de leurs connaissances.

Manières de présenter les calculs aux élèves

À l’oral vs à l’écrit : les deux sont nécessaires (stratégies de calcul généralement différentes)
Formulations variées des calculs : la moitié de $12$, le quart de cent, $3 \times 5$, trois multiplié par cinq, trois fois cinq, $0,25+0,25$, $0,25 \times 2$, $\frac{1}{4} \times 2$…
Travailler le calcul approché sans s’attacher aux calculs exacts : Combien environ vaut $17 \times 21$ ? La réponse $20 \times 20 = 400$ et sa justification sont suffisantes à valider la réponse. Le calcul exact n’apporte généralement rien.
Encadrement et intercalation
- Trouver deux multiples de $20$ qui encadrent $1357$
- Trouver un multiple de $25$ entre $1200$ et $1500$

Travailler le sens des opérations
- proposer simultanément sommes et différences : $3+4=…$, $7=3+…$, $7=…+3$, $…+4=7$, $3+…=7$, $…-3=4$, $7-4=…$, $3$ pour aller à $7$, différence entre $3$ et $7$, une addition qui donne $7$ à partir de $3$, trois additions de deux nombres qui valent $7$, une addition de $3$ nombres qui vaut $7$, des sommes qui valent $7$, des différences qui donnent $7$ ?
- proposer simultanément produits et quotients
- varier les nombres d’un énoncé : Combien valent $3$ objets à $7$€ ? $7$ objets à $3$€ ? $5$ objets à $7$€ ?
- poser des problèmes mobilisant différentes opérations : Combien valent 3 objets à $7$€ ? Combien dépense Julien qui achète un objet à $7$€ et un objet à $4$€ ? Comment répartir équitablement $16$ fleurs dans $3$ vases ? Il y a $16$ fleurs et $3$ vases, combien y a-t-il de fleurs de plus que de vases ? (analogie de scénario, Sander)

Solliciter une recherche avec des suites de nombres ou des algorithmes : prolonger la suite $15$, $45$, $135$, $405$… Écrire la suite des nombres obtenus successivement en $\times 3$ à partir de $15$.
Travailler sur les résultats « dérivés » : on sait que $3 \times 7 = 21$ et $26 \times 35 = 910$, combien valent $3 \times 70$ ? $260 \times 3,5$ ?…
« Écart-tables » : Trouver la différence entre $3 \times 8$ et $3 \times 10$. Réponse : $3 \times 2$ car l’écart entre $10$ et $8$ vaut $2$.
Atteindre un nombre-cible avec des opérations et des nombres imposés. Astuce pour maîtriser les types de calculs travaillés par les élèves : l’enseignant écrit secrètement un calcul pour lui, il donne uniquement les nombres à utiliser et le résultat aux élèves. Différenciation : augmenter/diminuer contraintes pour certains élèves.
Reprendre l’idée des défis entre élèves avec ces différentes modalités.

Dispositifs d’évaluation

Des thermomètres

Chaque thermomètre représente le score d’un élève.
Affichage des thermomètres non-triés (en groupes ou classe entière) pour échanger sur les constats.
Le tri des thermomètres avec les élèves permet de former des groupes de besoin.
À chaque évaluation, les élèves récupèrent leur thermomètre pour constater en autonomie l’évolution de leurs compétences.

Tableaux et graphiques

La représentation de l’évolution des scores permet d’utiliser les tableaux et graphiques dans une situation « concrète » connue des élèves dès le cycle 2.

Autre exemple d’organisation et de représentation

Une liste de calculs et un temps de réalisation maximum sont donnés. On note puis on représente le nombre de calculs effectués et des calculs réussis pour chaque élève.

Évaluation : début (à gauche) et (à droite) fin de séquence.

Si chaque point correspond à l’évaluation d’un élève :

Quelle évolution globale des compétences dans la classe ?
Où sont les élèves qui « réussissent mieux » et pourquoi ?
Va-t-on former des groupes et pourquoi ?

Si les points correspondent aux évaluations d’un unique élève :

L’élève numérote ou relie chaque point dans l’ordre chronologique pour visualiser sa progression. Quel projet d’apprentissage ensuite ?

Variantes avec ce type de graphiques

Donner 20 calculs à effectuer et noter le temps d’exécution sur l’axe des absisses (le nombre de calculs réussis reste sur l’axe des ordonnées).
Comparer 2 graphiques d’élèves réels ou fictifs, puis échanger sur la différence entre « meilleurs résultats » ou « meilleure progression » ?

Les cibles (lien avec calcul posé)

Une partie est coloriée à chaque erreur. On ne compte plus au-delà 3 erreurs, c’est que la compétence n’est pas suffisamment maîtrisée.

Fichier ZIP de cibles vierges

Comment s’améliorer soi-même en calcul mental ?

En calculant soi-même mentalement
Calcul approché/exact du total de ses courses
Calcul approché/exact du rendu de monnaie
Calcul approché/exact des pourcentages (promotions, $10\% = 1/10^e$, $20\% = 2 \times 1/10^e$, $5\% = \text{la moitié de } 1/10^e$…)
etc.

Ressources et conseils utiles pour des recherches en didactique des mathématiques

Tue, 23 Sep 2025 00:00:00 +0000

Contenu

Des ressources en didactique des mathématiques
Des conseils pour la lecture rapide
Des conseils pour collecter des sources avant de les consulter de manière plus approfondie

Des ressources en didactique des mathématiques

Quelle typologie ? Pour qui ? Pour quoi faire ?

Littérature scientifique * * *
Littérature professionnelle * *
Littérature institutionnelle *

S’assurer du degré de proximité avec la recherche scientifique ?

Gagner soi-même en expertise (atteinte du niveau Master)
Vérifier certains critères, croiser les informations (voir aussi fin du diaporama)
- ligne éditoriale et référencement
- comité de rédaction
- comité de lecture
- comité scientifique
- processus éditorial (processus de révision)
- auteurs et teneur des articles
- …

Petit x * *

https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/petit-x/
Depuis 1983
Revue dite « d’interface » de l’IREM de Grenoble
Traite essentiellement du collège mais aborde aussi l’enseignement primaire et le Lycée

Grand N * *

https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/grand-n/
Depuis 1973
Revue dite « d’interface » de l’IREM de Grenoble
Similaire à Petit x mais orienté enseignement primaire et liens avec le collège

Repères-IREM * *

https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/reperes-irem/consultation-en-ligne/
Depuis 1996
Revue dite « d’interface » du réseau des IREM
Collège, lycée, lycée professionnel, université

Radix * *

https://imag.umontpellier.fr/~modeste/radix.html
Depuis 2023
Revue dite « d’interface » de l’IREM de Grenoble
Enseignement et apprentissage de l’informatique

Publimath * / * * / * * *

http://publimath.fr/
Base bibliographique sur l’enseignement des mathématiques
- IREM (Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques) et commissions thématiques inter-IREM
- APMEP (Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public)
- CFEM (Commission française pour l’enseignement des mathématiques), membre de l’ICMI (International commission on Mathematical Instruction) qui est une commission de l’IMU (International Mathematical Union)
- ARDM (Association pour la recherche en didactique des mathématiques)
- etc.

Pour un Dictionnaire de Didactique des mathématiques * * *

http://dico-ddm.blogspot.fr/
Corpus de définitions (publiées) des termes et expressions de la recherche en didactique des mathématiques
Maintenu par Nicolas Balacheff (CNRS, LIG Grenoble)
- Qui est-ce ?
- CNRS ? LIG Grenoble ?

Recherche en didactique des mathématiques (RDM) * * *

https://rdm.episciences.org/ (libre accès depuis 2024) et https://revue-rdm.com/ (ancien site toujours en activité)
Depuis 1980, soutenue par l’ARDM
Volume annuel de 3 numéros

Actes des écoles d’été de didactique des mathématiques * * *

https://revue-rdm.com/ecoles-dete/
Écoles de chercheurs organisées par l’ARDM
Synthèses scientifiques thématiques

Séminaire national de l’ARDM * * *

https://ardm.eu/manifestations/seminaire-ddm-ardm/
Publication des actes + vidéos
La recherche en train de se faire

Annales de didactique et de sciences cognitives * * * 

https://mathinfo.unistra.fr/irem/publications/adsc/volumes/
Depuis 1988

Éducation et didactique * * *

http://journals.openedition.org/educationdidactique/
Depuis 2007

Hyper archives en ligne + Archives ouvertes de la didactique des mathématiques * * *

Corfem * *

COmmission de Recherche sur la Formation des Enseignants de Mathématiques du second degré
Une commission inter-IREM
Actes des colloques
https://www.univ-irem.fr/spip.php?rubrique13

Revue française de pédagogie * * *

https://journals.openedition.org/rfp/
Depuis 1967

Édurevue (ex. Dossiers de veille) de l’Institut français de l’éducation (IFÉ) * / * *

http://veille-et-analyses.ens-lyon.fr/DA/ListeDossiers.php
Littérature dite « d’interface »

Publication du Ministère de l’Éducation nationale *

BOEN (Bulletin officiel de l’Éducation nationale)
Eduscol
Rapports et statistiques de l’Éducation nationale
CNESCO (Centre national d’étude des systèmes scolaires) * */* * *
CSEN (Conseil scientifique de l’éducation nationale) * */* * *
Sites mathématiques académiques

Conseils et points d’attention pour une lecture rapide d’un document

Actualité du document : date de publication, réédition ?
Titre : précision de la formulation ?
Éditeur ou collection : scientifique ? professionnelle ? institutionnelle ?
Résumé et quatrième de couverture
Sommaire
Nombre et nature des références : scientifiques ? nationales/internationales ?
Introduction/Conclusion du document ou des sous-parties
Mots/expressions qui semblent peu accessibles sans expertise ?

Document cité dans d’autres références ?
Lecture de début/fin de sous-parties ou de paragraphes
Légende des figures et tableaux
Auteurs
- Qualité et statut ?
- Appartenance à un organisme de recherche, site web/blog ?
- Auteurs cités dans d’autres références ?
- Associés à d’autres publications ou projets de recherche ? (nationaux, internationaux)

Collecter des sources avant de les consulter ?

Optimiser sa recherche documentaire en collectant des sources avant de les consulter de manière plus approfondie.

Au fur et à mesure d’une recherche de ressources documentaire :

Ouvrir un document de traitement de texte
Copier-coller la référence précise de chaque ressource qui paraît intéressante à consulter
Si disponible, copier-coller le résumé de la ressource
Noter quelques éléments qui ont attiré votre attention
Éventuellement, copier-coller quelques citations ou repérer des passages précis (noter la page ou la section précise du document)
Réitérer

Une fois que la collecte est considérée comme suffisante :

Hiérarchiser les ressources par ordre d’intérêt pour l’avancée de votre travail
Utiliser la lecture rapide pour décider si les ressources en haut de votre hiérarchie méritent selon vous d’être consultées
Consulter uniquement les ressources en haut de votre hiérarchie, au moins dans un premier temps

Ressources et conseils utiles pour des recherches en didactique des mathématiques

Tue, 23 Sep 2025 00:00:00 +0000

Contenu

Des ressources en didactique des mathématiques
Des conseils pour la lecture rapide
Des conseils pour collecter des sources avant de les consulter de manière plus approfondie

Des ressources en didactique des mathématiques

Quelle typologie ? Pour qui ? Pour quoi faire ?

Littérature scientifique * * *
Littérature professionnelle * *
Littérature institutionnelle *

S’assurer du degré de proximité avec la recherche scientifique ?

Gagner soi-même en expertise (atteinte du niveau Master)
Vérifier certains critères, croiser les informations (voir aussi fin du diaporama)
- ligne éditoriale et référencement
- comité de rédaction
- comité de lecture
- comité scientifique
- processus éditorial (processus de révision)
- auteurs et teneur des articles
- …

Petit x * *

https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/petit-x/
Depuis 1983
Revue dite « d’interface » de l’IREM de Grenoble
Traite essentiellement du collège mais aborde aussi l’enseignement primaire et le Lycée

Grand N * *

https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/grand-n/
Depuis 1973
Revue dite « d’interface » de l’IREM de Grenoble
Similaire à Petit x mais orienté enseignement primaire et liens avec le collège

Repères-IREM * *

https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/reperes-irem/consultation-en-ligne/
Depuis 1996
Revue dite « d’interface » du réseau des IREM
Collège, lycée, lycée professionnel, université

Radix * *

https://imag.umontpellier.fr/~modeste/radix.html
Depuis 2023
Revue dite « d’interface » de l’IREM de Grenoble
Enseignement et apprentissage de l’informatique

Publimath * / * * / * * *

http://publimath.fr/
Base bibliographique sur l’enseignement des mathématiques
- IREM (Institut de recherche sur l’enseignement des mathématiques) et commissions thématiques inter-IREM
- APMEP (Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public)
- CFEM (Commission française pour l’enseignement des mathématiques), membre de l’ICMI (International commission on Mathematical Instruction) qui est une commission de l’IMU (International Mathematical Union)
- ARDM (Association pour la recherche en didactique des mathématiques)
- etc.

Pour un Dictionnaire de Didactique des mathématiques * * *

http://dico-ddm.blogspot.fr/
Corpus de définitions (publiées) des termes et expressions de la recherche en didactique des mathématiques
Maintenu par Nicolas Balacheff (CNRS, LIG Grenoble)
- Qui est-ce ?
- CNRS ? LIG Grenoble ?

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Mise à jour du diaporama sur les ressources d’enseignement (partie 1)

Fri, 19 Sep 2025 00:00:00 +0000

Le diaporama portant sur les ressources d’enseignement (partie 1) a été mis à jour sur la page des diaporamas.

Ce support de cours s’adresse initialement à des étudiants en 1^re année de master MEEF, parcours second degré mais il est aussi adapté au parcours premier degré.

EC 122 Ressources d’enseignement (partie 1)

Mon, 15 Sep 2025 00:00:00 +0000

Thèmes abordés

Ressources pour l’enseignement et pour l’apprentissage
Analyse critique de ressources
Utilisation / production collective de ressources
Comparaison avec d’autres pays
Alimenter la réflexion pour l’UE 1 en particulier
Formation à l’enseignement
Préparation aux épreuves de recrutement

Modalités du cours

Un cours « dynamique » grâce à vous !
Des apports, des réflexions
Des échanges pendant le cours…
… de nature à se poursuivre en formation à l’Inspé et en stage
Liste des références en fin de diaporama

Pendant ce cours

Écrire/Mémoriser une question/remarque sur le cours
Cette question/remarque sera partagée en groupes
Celles retenues par le groupe seront partagées collectivement

Vous pouvez aussi intervenir pendant le cours.

Ressources d’enseignement : De quoi peut-on parler ?

Re-sourcer au sens de (Adler, J. (2000). Conceptualising resources as a theme for teacher education ? Journal of Mathematics Education, 3, 205-224).

Première cartographie d’un système de ressources

Un exemple de représentation schématique du système de ressources : Laura, professeur de physique au lycée (Ghislaine Gueudet & Trouche, 2021).

Votre système de ressources actuels

Quelles ressources pour enseigner pouvez-vous lister ?

Liste individuelle
Échanges intra-disciplinaires
Échanges inter-disciplinaires

Seconde cartographie d’un système de ressources

Cartographie des ressources de Valérie, professeur de mathématiques au lycée (Ghislaine Gueudet & Trouche, 2021).

Présent et futur de vos ressources

Enrichir vos représentations des ressources d’enseignement
Capitaliser pour enseigner : stocker des ressources récoltées durant le master
Votre portfolio : quelques intérêts et limites
Lien avec épreuves de recrutement

Une typologie de ressources

Matérielles (y compris numériques)

Manuels/fichiers pour les élèves
Ouvrages/Revues/Sites web professionnels
Documents/Sites web institutionnels (curriculum prescrit, accompagnement du changement)
Articles/ouvrages/revues/institutions scientifiques
Ressources personnelles des enseignants (gestion de l’information personnelle : portfolio & co)
Productions des élèves
Ressources personnelles des élèves
Autres matériels, didactiques ou non, salles de cours, CDI

Humaines

Formateurs/tuteurs/collègues/autres (Inspé/EN/autres)
Organisations professionnelles formelles et informelles
Hiérarchie institutionnelle

Immatérielles

Savoirs professionnels et scientifiques
Savoirs des élèves
Choix et usages d’établissement et d’équipes
Temps de travail

Au programme de ce cours

L’édition scolaire papier et numérique : un marché concurrentiel en évolution
Le rôle des supports pédagogiques dans les inégalités scolaires
Des apports sur les approches d’autres pays (Suisse, Japon)
Le travail collaboratif entre enseignants, les associations professionnelles
Le tutorat des candidats aux métiers de l’enseignement (étudiants, professeurs stagiaires)
L’ergonomie des ressources documentaires
Les apports d’un typographe
Un peu (mais pas trop) d’intelligence artificielle

Interactions enseignants-ressources

Parmi les difficultés pour trouver les informations pertinentes pour leur enseignement, les enseignants sont souvent confrontés au manque de temps, à l’abondance d’information et à un nécessaire développement de leurs compétences en « littératie numérique » (Perrault, 2007 ; William & Coles, 2007). Les études concernant la recherche et la gestion d’information par les enseignants sont peu nombreuses et les résultats ne sont pas toujours convergents (Diekema & Olsen, 2014). Il semblerait que la recherche d’information des enseignants dépende fortement du contexte d’enseignement : niveau de la classe, programme, ressources déjà existantes, taille de la classe, discipline… (Reverdy, 2014)

Interactions enseignants-ressources

Extraits de (Reverdy, 2024)

Les interactions entre enseignants et ressources [documentaires] peuvent être ainsi décrites par deux processus : les enseignants modèlent les ressources par l’usage qu’ils en font, les ressources modèlent les pratiques pédagogiques, contribuent au développement professionnel des enseignants. (Pepin, Gueudet & Trouche, 2013)

Changement et ressources

Selon Pepin, Gueudet et Trouche (2013), les enseignants adoptent de nouvelles ressources si elles ne perturbent pas leurs pratiques habituelles et si elles ne heurtent pas leurs convictions de la discipline. Le choix de ressources particulières se fait surtout via les collègues du même établissement.

Il existe d’après Remillard, Herbel-Eisenmann et Lloyd (2009) des relations fortes entre les croyances et conceptions des enseignants, leurs connaissances disciplinaires et l’usage qu’ils font des ressources institutionnelles

Souvent l’influence des collègues est décisive : si ce sont eux qui évoquent une ressource particulière qui leur a été utile, les enseignants seront plus enclins à l’adopter.

Enseignants débutants et ressources

Comme les enseignants débutants n’ont que peu de temps à consacrer à la création de nouvelles ressources dans leur quotidien, et que la recherche de ressources peut très vite se révéler fastidieuse, ils ont tendance à se reporter presqu’exclusivement aux ressources qu’ils ont à portée de main puis, au fur et à mesure que leur expérience grandit, leur ouverture sur les ressources grandit aussi. (p. 9)

Implication dans votre formation en Master

Capitalisation des apports ?
Implication personnelle ?

Manuel et édition scolaire

Manuel scolaire : « outil imprimé, intentionnellement structuré pour s’inscrire dans un processus d’apprentissage, en vue d’en améliorer l’efficacité » (Gerard et Roegiers, 2009, cité par Reverdy, 2014)

Pour Vargas (2006), il est avant tout utilisé et doit convenir d’abord aux enseignants, qui utilisent différents manuels destinés aux élèves et finalement assez peu les manuels de l’enseignant. C’est la même chose pour Araújo Oliveira et al. (2006), qui retiennent que le manuel est autant un outil d’accompagnement à l’apprentissage qu’à l’enseignement.

(Reverdy, op. cit.)

Conseil supérieur des programme et édition scolaire

Tribune de Souâd Ayada, présidente du CSP (Le Figaro, 12 novembre 2021)

Le rôle du Conseil supérieur des programmes est de proposer des projets de programmes au ministre chargé de l’Éducation nationale.

Son objectif est d’assurer la transmission des savoirs fondamentaux dans chaque discipline enseignée, de veiller à ce que les élèves accèdent à ce qui ne peut s’acquérir que par l’école et à l’école.

Là où je suis, j’essaie autant que faire se peut de protéger l’institution scolaire de toutes les modes en vogue dans la société et de la prémunir des idéologies de la “déconstruction”, postcoloniales ou identitaires.

Le Conseil supérieur des programmes n’a aucun pouvoir sur le contenu des manuels scolaires.

Leurs éditeurs sont les acteurs d’un marché où les modes ont de l’influence sur la production, comme dans tous les marchés régis par l’offre et la demande.

Le ministère est tenu d’informer les éditeurs lors du processus de fabrication de nouveaux programmes d’enseignement, mais les éditeurs scolaires, eux, ne sont tenus à rien, pas même de s’assurer de l’exactitude des contenus qu’ils diffusent ! Ils sont extrêmement attachés à leur liberté éditoriale et ils considèrent que c’est à eux de définir leur ligne pédagogique.

Autant dire que la discussion avec eux est limitée à des questions formelles et ne porte jamais sur des questions de fond.

Ils interprètent toute tentative pour envisager avec eux les contenus et les orientations des manuels scolaires comme une intrusion suspecte.

L’Académie des sciences leur a proposé un travail en commun sur les manuels scientifiques, notamment pour éviter des erreurs. Les éditeurs ont refusé.

Je reçois de nombreux courriels de protestation contre le contenu de certains manuels.

Il est très difficile de faire comprendre à mes interlocuteurs que les manuels scolaires ne sont pas les programmes scolaires et que je ne peux répondre que de ces derniers.

Mais il faut rappeler l’existence d’un tiers dans ce débat : les collectivités locales, qui financent l’achat des manuels. Elles dépensent beaucoup d’argent et elles pourraient utiliser ce levier pour se pencher sur leur contenu, mais elles ne le font pas.

Leur attitude est symptomatique de l’attitude du corps social en général : il ne s’intéresse aux manuels scolaires qu’à l’occasion de débats qui agitent la société et se montre le plus souvent indifférent à ce qu’ils contiennent. Y compris lorsqu’il s’agit d’erreurs qui ne participent en aucune manière à la formation intellectuelle des jeunes gens ou de représentations fausses, voire nocives, qui mettent en péril le discernement et la liberté de jugement que l’école est censée aiguiser.

Public de l’édition scolaire et marché à conquérir

À votre avis, dans le premier/second degré :

Combien d’enseignants ?
Combien d’élèves ?
Combien d’établissements ?

Public de l’édition scolaire

	1er degré	2nd degré	Total
Nombre d’enseignants	370 000	480 000	850 000
Nombre d’élèves	6 340 000	6 040 000	12 380 000
Nombre d’établissements	48 000	58 000	106 000

Enseignements public et privé cumulés, arrondis à la dizaine de milliers près. Source : Direction de l’évaluation, de prospective et de la performance, 2024 (Ministère de l’Éducation nationale, DEPP, 2024).

Marché de l’édition scolaire papier

L’édition scolaire papier représente 11,5 % du chiffre d’affaires de l’édition, pour 52+ millions d’exemplaires vendus.
Le secteur scolaire compte une petite trentaine de maisons d’édition, dont les deux tiers ne publient que sur des segments spécifiques […] tandis que le dernier tiers publie de la maternelle au Bac, dans la quasi-totalité des disciplines.
Le secteur, quoique très fluctuant d’une année à l’autre en fonction des renouvellements de programmes[…] est passé de 14 % de parts de marchés en 2000 à 11,5 % en 2015.
Il faut 9 mois environ pour créer un manuel scolaire […] envoyé en spécimen […] à des milliers d’enseignants.

Source : Rimaud, M. (2016). Le livre scolaire numérique : un marché qui attire les convoitises. La revue des médias. INA.

Acteurs de l’édition papier des manuels

Source : Gérard, FM., Roegiers, X. (2009). Des manuels scolaires pour apprendre. Concevoir, évaluer, utiliser. De Boeck supérieur.

Un marché concurrentiel

Grâce aux informations du Syndicat National de l’Edition, nous avons pu recenser quatorze éditeurs (nationaux) de manuels scolaires : Belin, Bertrand-Lacoste, Bordas, Bréal, Casteilla, Delagrave, Didier, Foucher, Hachette, Hatier, Magnard, Nathan, Retz, SED.

Une moitié de ces maisons d’édition est constituée d’entreprises indépendantes (Belin, Bertrand-Lacoste, Bréal, Casteilla, Delagrave, SED). Une autre moitié appartient à l’un des deux grands groupes (Hachette et Editis) qui dominent l’édition française (Bordas, Didier, Foucher, Hachette, Hatier, Nathan, Retz)

Source : Chanson, G. (2009). Un modèle ancien d’entreprise virtuelle : le secteur de l’édition scolaire. Vie & sciences de l’entreprise, 181, 41-55.

À travers une organisation en entreprise virtuelle, les maisons d’édition scolaire ne recherchent donc pas des coopérations avec des partenaires dispersés aux quatre coins de la planète sélectionnés pour leurs compétences de niveau mondial.

Elles recherchent des alliances dynamiques, c’est-à-dire qu’un éditeur se constitue un pool de partenaires, avec lesquels il va nouer des alliances autour d’un projet consistant à fournir collectivement un produit sur un marché. Ces alliances peuvent varier d’un projet à un autre, selon les compétences requises et pour insuffler de la créativité.

Source (Chanson, 2009) : Des informations à actualiser ?

Rôle des enseignants dans le marché de l’édition scolaire

À l’aulne des éléments précédents et en tant que futurs enseignants :

Quel peut être votre rôle dans le marché de l’édition scolaire ?
Quels liens avec votre formation à l’Inspé et en stage ?

Histoire d’un manuel scolaire

Quelques extraits de Peltier, ML. (1999). Histoire d’un manuel scolaire, du projet au produit fini : désirs et désillusions.Grand N, 63, 59-76.

Conformité des manuels scolaires en France

En France, l’édition scolaire fonctionne sous un mode entièrement libéral. Les manuels ne sont pas soumis à une commission d’agrément officielle, vérifiant leur conformité aux programmes par exemple. Ce sont à la fois les auteurs et les maisons d’édition qui garantissent leur conformité.

Les principales contraintes

Le manuscrit proposé à l’éditeur peut correspondre à une commande de ce dernier en raison de changement de programmes ou pour des raisons éditoriales, ou bien il peut être spontanément proposé par un groupe d’auteurs.

Lorsque le projet est accepté, la maison d’édition donne aux auteurs un certain nombre de contraintes dont les plus importantes concernent le délai et le nombre de pages.

Un travail collectif et rigoureux

Chez Hâtier, les éditeurs connaissent très bien, à la fois la discipline du livre qu’ils suivent et les théories actuelles relatives à l’apprentissage.

Notre éditeur effectue une lecture très attentive… fait les exercices […] repère les éventuelles erreurs ou imprécisions […] regarde la conformité aux programmes officiels prépare une liste de remarques […] qui seront débattues lors de plusieurs réunions […] jusqu’à finaliser le manuscrit.

Précision de l’auteur : finaliser le manuscrit signifie : « qui a de bonnes chances de tenir dans le nombre de pages prévu, qui donne satisfaction au niveau des progressions, des contenus, des consignes, de la quantité d’exercices. »

Parallèlement, le département « maquette » fait des propositions pour la mise en page à partir des différentes rubriques que les auteurs ont prévues de faire figurer.

Des références variées

Pour mener à bien notre projet, nous sommes une équipe de plusieurs auteurs : des professeurs de mathématiques et des professeurs d’écoles.

Nous relisons de nombreux ouvrages sur les différents thèmes au programme dans le cycle concerné, livres, thèses, articles sur les travaux de recherche en didactiques des mathématiques concernant les thèmes en question, publications de l’INRP [futur IFÉ] et de différents IREM (Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques), manuels scolaires des autres maisons d’édition […] Nous avons de nombreuses discussions très animées entre coauteurs.

Un manuel pour aucune classe

Très vite, nous nous heurtons à plusieurs « grosses » difficultés : le livre est destiné à toute classe, donc en fait à aucune. Il ne va pas être possible de prendre en compte tous les paramètres concernant une classe et un maître déterminés.

Les progressions vont devoir être établies à partir des expérimentations effectuées, mais celles-ci tiennent évidemment compte des réactions des élèves des classes concernées, qui ne seront peut-être pas les réactions des élèves d’une autre classe.

Un nombre de pages restreint

Notre imagination pour élaborer des situations apprentissages est grande, mais le nombre de notions à couvrir est bien grand lui aussi ! Nous accumulons donc tous les documents, les jeux, les situations que nous rencontrons, qui nous paraissent susceptibles de pouvoir être le point de départ d’un travail intéressant pour les élèves.

Le livre a un nombre fini de pages et ce nombre est imposé par l’éditeur en raison de contraintes techniques liées à l’impression : les feuilles imprimées correspondent en général à des cahiers de trente-deux pages ; le coût sera donc minimisé si le livre contient un multiple de trente-deux pages.

Des suppressions inévitables

Et bien sûr les auteurs ont déjà griffonné un nombre de pages largement supérieur au nombre imposé, d’où de nouvelles discussions pour faire des choix sur ce qu’il convient de supprimer.

Le matériel individuel d’accompagnement est cher à fabriquer, il faut restreindre ses ambitions ! Le manuel est alors le résultat d’une négociation pas à pas avec la maison d’édition.

La place disponible reste un problème du début à la fin du travail : on en vient par exemple dans les dernières épreuves à remplacer Alexandre par Ali pour éviter de passer à la ligne ! Les modifications que nous demandons ont un coût […] il faut négocier « pied à pied » chaque changement avec l’éditeur.

Le guide pour l’enseignant

Il reste alors à terminer le manuscrit du livre du maître dont l’élaboration s’est faite simultanément, mais pour lequel il va falloir affiner la rédaction pour faciliter au maximum la tâche des maîtres […]

Cette fois, les contraintes sont moins nombreuses […] et surtout le contenu doit être clair, bien organisé et bien rédigé [sic].

Remarque 1 : Le document principal utilisé par les enseignants du primaire n’est pas le guide qui accompagne les manuels de mathématiques selon Margolinas & Wozniak (2009).

Remarque 2 : Dans l’enseignement secondaire, les guides accompagnant le manuel ont tendance à disparaître.

Conclusion

Ainsi, comme on le voit par cette présentation rapide de notre projet initial, nous avons eu la volonté permanente de nous appuyer sur les travaux des didacticiens pour construire l’ensemble des outils pour les maîtres et leurs élèves.

Mais, pour « concrétiser » certains résultats de ces travaux dans un manuel, nous avons dû les rendre accessibles, les adapter, les simplifier, peut-être malheureusement les caricaturer, en tout cas faire des choix qui sont toujours difficiles et parfois même, déchirants. Mais ils nous semblent qu’ainsi nous contribuons, même modestement, dans les livres du maître, à un travail fondamental et nécessaire de transposition de savoirs de la didactique en savoirs « professionnels », c’est à dire transposés sous la forme de mises en oeuvre dans la classe.

Retour sur l’œuvre élaborée

Après l’écriture de l’ensemble des manuels et des livres du maître du CP au CM2 de la collection « Le nouvel Objectif Calcul », nous croyons pouvoir dire qu’en définitive, même si nous sommes conscients de l’imperfection de l’adéquation entre le projet initial et le produit fini, même si la quantité de travail est considérable, même si les moments de découragement alternent avec ceux de joies, l’aventure de l’édition scolaire vaut la peine d’être vécue.

Questions

La situation a-t-elle évoluée depuis 1999 ?
Vos observations en stage ?
Votre propre pratique d’enseignant novice ?
Vos cours en master ?

Vos questions et vos remarques ?

Échanges en petits groupes puis collectivement.

« Imperfections intrinsèques » des manuels scolaires

Vargas (2006) signale des tensions et contradictions qu’elle appelle imperfections :

Le manuel […] ne s’adresse pas seulement à un apprenant seul, mais à un enseignement « de classe »

il ne peut pas être le support de tous les différents types d’activités des élèves, comme dans la pédagogie active

a des imperfections contingentes, provenant de la conception même des manuels par les auteurs (conditions de production trop rapides, prolifération des images qui perdent le message didactique par exemple).

Source : Reverdy, 2014, op. cit.

Louchon évoque la photocopie et les manuels comme ressource de « l’enseignant-bricoleur » et comment moyen de rendre visible et de valoriser son travail, « alors que le fait de suivre un manuel donnerait une image minorée du travail enseignant aux parents et aux enfants »(p.162)

Il peut aussi être le reflet de la société (ex : stéréotypes ou lutte contre ces stéréotypes), des croyances de son auteur.

Source : Wagnon, S. (Ed.) (2019). Le manuel scolaire, objet d’étude et de recherche : enjeux et perspectives. Peter Lang.

Entre sollicitation institutionnelle et recherche scientifique

L’exemple du « Schéma en barres » et de la méthode de Singapour à l’école primaire

Les auteurs : C. Bolsius (Inspecteur de l'Éducation nationale), H. Smouts (Conseillère pédagogique). Édition 2022.

Vache, chèvre et chien

Une vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins qu’une vache. Ensemble, les animaux pèsent 410 kg. Combien pèse le chien ?

Consigne : Résoudre ce problème par un ou plusieurs moyens différents.

Une première représentation en barres

Une vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins qu’une vache. Ensemble, les animaux pèsent 410 kg. Combien pèse le chien ?

Cabassut, R. (septembre 2020). Les représentations en barres : « ni cet excès d’honneur, ni cette indignité ». Au fil des maths. APMEP. Chercheur et formateur de référents mathématiques de circonscription sur ce thème en 2019-2020.

Une seconde représentation en barres

Une vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins qu’une vache. Ensemble, les animaux pèsent 410 kg. Combien pèse le chien ?

$$ \begin{align} 3 \times \mbox{Poids du chien} + 150 + 20 & = 410 \\ 3 \times \mbox{Poids du chien} & = 410 - 170 \\ 3 \times \mbox{Poids du chien} & = 240 \\ \mbox{Poids du chien} & = 80 \end{align} $$

Une stratégie d’enseignement séduisante se dessine ?

Les références des auteurs

Chambris note que les représentations en barres sont présentes dans l’enseignement français dans les années 70 mais c’est certainement à Singapour, en 1983, que les représentations en barres ont connu un développement massif, puisqu’elles sont devenues les représentations à utiliser, dans le curriculum officiel de cet état, pour résoudre les problèmes arithmétiques élémentaires. [Kaur].

(Cabassut, 2020)

La commission Villani-Torossian met en valeur Singapour, qui d’ailleurs obtient de bons résultats à TIMSS et PISA, et considère que sa méthode est basée sur des pédagogies efficaces, parmi lesquelles l’utilisation des représentations en barres.

Neagoy a participé à cette commission et, comme directrice de collection, à la conception de la collection « Maths méthode de Singapour » de la Librairie des Écoles. Elle est également formatrice sur ce thème. D’ailleurs, plusieurs éditeurs scolaires français proposent des ouvrages se réclamant de la méthode de Singapour (la Librairie des Écoles, Larousse, Hachette, Bordas).

(Cabassut, 2020)

Enfin, un thème de formation des référents mathématiques de circonscription pour 2019-2020 concerne les représentations en barres dans la résolution de problèmes.

Nous sommes donc dans un contexte de développement de la diffusion des représentations en barres à l’école primaire française.

(Cabassut, 2020)

Éléments critiques

Associer les bons résultats d’un pays à PISA ou à TIMSS, comme c’est le cas pour Singapour, n’est pas une garantie de cette efficacité : l’académie de Rennes a des meilleurs résultats que l’académie de Créteil au baccalauréat alors que c’est la même organisation scolaire, les mêmes programmes, les mêmes manuels, et en théorie la même formation de professeurs. L’explication est essentiellement socio-culturelle et sociologique.

(Cabassut, 2020)

Une mauvaise réforme de la formation des maîtres et de leur recrutement peut avoir un impact plus redoutable sur les résultats à PISA et TIMSS que l’introduction d’une représentation en barres (dernière réforme peu concertée en France, recrutement difficile dans l’académie de Créteil) (Cabassut, 2020)

Depuis 1998, les professeurs de Singapour ont 100 h de formation continue par an (Chambris, 2017, p. 1).

(Cabassut, 2020)

Dans l’enquête PISA 2012 (OCDE, p. 4) sur la résolution de problèmes, la France était classée avant Singapour. On aurait pu alors, à l’époque, conseiller à Singapour d’abandonner les représentations en barres au profit des représentations utilisées en France pour la résolution de problèmes. (Cabassut, 2020) [d’autant qu’elles ont été introduites massivement à Singapour dans les années 80…]

Classement PISA 2012. Chambris, C. (novembre 2017). L’enseignement des maths à l’école et la méthode de Singapour. Bulletin de la CFEM, 44, p.14.

La méthode de Singapour à la mode de chez nous ?

En décembre 2023, le ministre de l’Éducation nationale, puis sa successeure, voulait généraliser la méthode Singapour à la rentrée 2024.

	Singapour¹	France²	Calvados³
Superficie (km2)	719	612 000	5535
Nb d’habitants	6 millions	68 millions	700 000
Densité (hab/km2)	8360	107	126
Nb d’écoles primaires	370	48 000	39

Arrondis pour les nombres supérieurs à 1000 pour faciliter les comparaisons. À Singapour, les écoles primaires sont fusionnées avec les établissements secondaires. ¹Système éducatif à Singapour (Wikipédia) et Singapour (Wikipédia). ²Ministère de l’Éducation nationale, 2024. ³INSÉÉ, 2022.

Ainsi, si les principaux éléments retenus par le ministère de l’Éducation sont présents dans le programme mathématique de Singapour, d’autres comme la flexibilité dans l’application des recommandations, la qualification des enseignants et l’installation de bonnes conditions d’exercices semblent absents.

Source : Mounier, E. & Sayac, N. (14 décembre 2023). Maths : la « méthode de Singapour », remède ou mirage ? The Conversation.

Parmi d’autres spécificités oubliées :

La recherche d’amélioration du système éducatif sur plusieurs années. Voir par exemple Ng, P.T. (2008). Educational reform in Singapore: from quantity to quality. Educational Research for Policy and Practice Article, 7, 5–15. https://doi-org.ezproxy.normandie-univ.fr/10.1007/s10671-007-9042-x
Le nombre d’enseignants dans certaines classes, la pression permanente sur les élèves et les parents (voir, par exemple, le reportage d’Immersion en 2024 Singapour : Ils sacrifient leur enfance pour l’école !)
La surveillance généralisée de la population (voir, par exemple, le reportage de France 2 New Delhi Singapour : paradis sécuritaire ?).

Risques d’une stratégie imposée

Risques liés à la transposition didactique : faire apparaître dans l’institution scolaire des tâches qui n’existent pas chez le mathématicien qui résout des problème et dont l’intérêt pour l’apprentissage des mathématiques est discutable.

Par exemple :

Mettre en place un passage obligé par la représentation en barres alors qu’un élève sait s’en dispenser.
Imposer la proportionnalité entre longueurs des barres et les mesures représentées, alors que le but est de suggérer une relation arithmétique entre mesures.

(Cabassut, 2020)

Utiliser une méthodologie dénuée de sens pour résoudre des problèmes, comme souligner dans l’énoncé les éléments utiles à la résolution du problème, alors que tant que le problème n’est pas résolu, il n’est pas toujours possible de savoir ce qui sera utile.
Découper en tâches isolées la résolution d’un problème, par exemple associer un énoncé à un type de schéma, ou associer des énoncés relevant d’un même modèle, ou associer un calcul à un schéma.
Il n’existe pas de recherches convaincantes qui montrent que les représentations en barres soient plus ou toujours plus efficaces que d’autres représentations.
Les problèmes sont parfois choisis pour faciliter les représentations.

(Cabassut, 2020)

Manuels, éducation inclusive et conception universelle des apprentissages (CUA)

En lien avec l’EC Commun « Inégalités et inclusion ».

Finalement, le contre-exemple d’un manuel destiné aux élèves…

… doublé d’une progression courante mais fort discutable

Manuels scolaire et actualité du ministre de l’Éducation nationale fin 2023

Pour « élever le niveau », [Gabriel Attal] maintient la labellisation des manuels car « les enseignants vont chercher des ressources qui ne sont pas les meilleures scientifiquement ». Il maintient aussi ses propos sur l’entrée en 6^e qui sera différenciée selon le niveau des élèves et sur les groupes de niveau au collège. « Ce n’est pas facile de faire ce constat je l’assume ». (extrait du Café Pédagogique, 19 octobre 2023)

Votre analyse en appui sur le cours ?

Souhait d’une professeure stagiaire

Un début de formation, le 23 septembre 2022.

Un souhait réaliste ?
Des tensions professionnelles ou personnelles à anticiper/gérer ?

Vos questions et vos remarques ?

Échanges en petits groupes puis collectivement.

Stéréotypes et biais cognitifs

Stéréotypes de genre : un exemple hors de France

Méthodologie

Étude d’une collection de manuels de 6 niveaux de l’école élémentaire obligatoire
Version panafricaine diffusée dans divers pays d’Afrique sub-saharienne francophones
Repérages des personnages dans les textes et images (1014 textes, 361 images dans toute la collection. 12 % ni garçon ni fille)

Source : Brugeilles, C., Sylvie Cromer, S. (2006). Les manuels scolaires de mathématiques ne sont pas neutres. Le système de genre d’une collection panafricaine de l’enseignement primaire. Autrepart, 39,147-164.

Les garçons apparaissent apparaît davantage (au moins 56 %), sauf en CP (57,6 % de personnages féminins).
Les femmes sont pratiquement interdites d’accès de la partie « cours » : 90,2 % prennent place dans les exercices, 9,8 % dans le cours.
Stéréotypes d’apparence (jupe, bijoux…) pour les jeunes filles dans les illustrations, qui disparaissent avec les représentations d’adultes mais…
… les adultes évoluent dans deux sphères distinctes.

Les femmes

Les femmes sont rattachées à la « sphère domestique » (10,8 % attachées à un statut professionnel) : mère, enseignante, vendeuse.
Elles possèdent quelques biens importants mais pas de moyens de transport ou de matériel de bricolage.
Elles n’ont aucun loisir.

Les hommes

Ils ne sont pas exclus de la sphère privée (11,9 % désignés par leur lien familial).
Des achats mais avec une somme d’argent importante (électro-ménager, moyen de transport, etc.)
Des activités valorisantes et généralement non quotidienne (sauf 2 cas).
Des activités professionnelles diversifiées.
Exclus d’aucune activité.

Stéréotypes de genre : retour en Europe !

Joublot-Ferré, S. (2019). Femmes/hommes : une comparaison France-Suisse pour des manuels de géographie. Reproduction ou mise en discussion d’un ordre masculin ? Dans S. Wagnon (Ed.), Le manuel scolaire, objet d’études et de recherche : enjeux et perspectives (pp. 239-257). Berne, Suisse: Peter Lang.

Ce que démontre notre étude, c’est la participation des ouvrages de géographie à une simplification du monde social sans remise en question des rapports de genre, voire la perpétuation d’un ordre social masculin. Il n’y a ainsi pas de mise en discussion, les images s’imposent et imposent les clichés sans aucune mise en débat (p. 255).

Les stéréotypes dans vos disciplines

Échanges intra puis inter-disciplinaires

Des stéréotypes de genre ou d’autre type existent-ils dans votre discipline ? Évoqués en cours ? Problématiques F/G → Genres
Lien avec effets Pygmalion (prophétie positive autoréalisatrice) et Golem (prophétie négative autoréalisatrice) ?
Lien avec biais cognitifs (voir aussi l’article wikipedia)
- Biais de confirmation : favoriser les informations qui appuient son hypothèse
- Biais de réification : nommer une chose fait croire qu’elle existe
- Biais chambre à écho : tout le monde semble être de mon avis, donc je dois forcément avoir raison.
En stage : vos constats dans les manuels et dans les pratiques ?

Références

Adler, J. (2000). Conceptualising resources as a theme for teacher education ? Journal of Mathematics Education, 3, 205-224.
Ayada, S. (12 novembre 2021). Nous n’avons aucun pouvoir sur le contenu des manuels scolaires. FigaroVox, Le Figaro.
Brugeilles, C., Sylvie Cromer, S.(2006). Les manuels scolaires de mathématiques ne sont pas neutres. Le système de genre d’une collection panafricaine de l’enseignement primaire. Autrepart, 39,147-164.
Cabassut, R. (septembre 2020). Les représentations en barres : « ni cet excès d’honneur, ni cette indignité ». Au fil des maths. APMEP.
Chambris, C. (novembre 2017). L’enseignement des maths à l’école et la méthode de Singapour. Bulletin de la CFEM, 44.

Chanson, G. (2009). Un modèle ancien d’entreprise virtuelle : le secteur de l’édition scolaire. Vie & sciences de l’entreprise, 181, 41-55.
Gérard, FM., Roegiers, X. (2009). Des manuels scolaires pour apprendre. Concevoir, évaluer, utiliser. De Boeck supérieur.
Gueudet, G., Trouche, L. (2021). Étudier les interactions professeurs-ressources : questions de méthode. Éducation & didactique, 15, 141-158.
Joublot-Ferré, S. (2019). Femmes/hommes : une comparaison France-Suisse pour des manuels de géographie. Reproduction ou mise en discussion d’un ordre masculin ? Dans S. Wagnon (Ed.), Le manuel scolaire, objet d’études et de recherche : enjeux et perspectives (pp. 239-257). Berne, Suisse: Peter Lang.
Margolinas, C. & Wozniak, F. (2009). Usage des manuels dans le travail de l’enseignant : l’enseignement des mathématiques à l’école primaire. Revue des sciences de l’éducation, 352, 59–82.

Mounier, E. & Sayac, N. (14 décembre 2023). Maths : la « méthode de Singapour », remède ou mirage ? The Conversation.
Peltier, ML. (1999). Histoire d’un manuel scolaire, du projet au produit fini : désirs et désillusions.Grand N, 63, 59-76.
Pepin, B., Gueudet, G. & Trouche, L. (2013). Re-sourcing teachers’ work and interactions: A collective perspective on resources, their use and transformation. ZDM, The International Journal of Mathematics Education, 45(7), 929-943.
Reverdy, C. (2014). Du programme vers la classe : des ressources pour enseigner. Dossier de veille de l’IFÉ, 96.
Rimaud, M. (5 septembre 2016). Le livre scolaire numérique : un marché qui attire les convoitises. La revue des médias. INA.
Wagnon, S. (Ed.) (2019). Le manuel scolaire, objet d’étude et de recherche : enjeux et perspectives. Peter Lang.

EC 122 Ressources d’enseignement (partie 1)

Mon, 15 Sep 2025 00:00:00 +0000

Thèmes abordés

Ressources pour l’enseignement et pour l’apprentissage
Analyse critique de ressources
Utilisation / production collective de ressources
Comparaison avec d’autres pays
Alimenter la réflexion pour l’UE 1 en particulier
Formation à l’enseignement
Préparation aux épreuves de recrutement

Modalités du cours

Un cours « dynamique » grâce à vous !
Des apports, des réflexions
Des échanges pendant le cours…
… de nature à se poursuivre en formation à l’Inspé et en stage
Liste des références en fin de diaporama

Pendant ce cours

Écrire/Mémoriser une question/remarque sur le cours
Cette question/remarque sera partagée en groupes
Celles retenues par le groupe seront partagées collectivement

Vous pouvez aussi intervenir pendant le cours.

Ressources d’enseignement : De quoi peut-on parler ?

Re-sourcer au sens de (Adler, J. (2000). Conceptualising resources as a theme for teacher education ? Journal of Mathematics Education, 3, 205-224).

Première cartographie d’un système de ressources

Un exemple de représentation schématique du système de ressources : Laura, professeur de physique au lycée (Ghislaine Gueudet & Trouche, 2021).

Votre système de ressources actuels

Quelles ressources pour enseigner pouvez-vous lister ?

Liste individuelle
Échanges intra-disciplinaires
Échanges inter-disciplinaires

Seconde cartographie d’un système de ressources

Cartographie des ressources de Valérie, professeur de mathématiques au lycée (Ghislaine Gueudet & Trouche, 2021).

Présent et futur de vos ressources

Enrichir vos représentations des ressources d’enseignement
Capitaliser pour enseigner : stocker des ressources récoltées durant le master
Votre portfolio : quelques intérêts et limites
Lien avec épreuves de recrutement

Une typologie de ressources

Matérielles (y compris numériques)

Manuels/fichiers pour les élèves
Ouvrages/Revues/Sites web professionnels
Documents/Sites web institutionnels (curriculum prescrit, accompagnement du changement)
Articles/ouvrages/revues/institutions scientifiques
Ressources personnelles des enseignants (gestion de l’information personnelle : portfolio & co)
Productions des élèves
Ressources personnelles des élèves
Autres matériels, didactiques ou non, salles de cours, CDI

Humaines

Formateurs/tuteurs/collègues/autres (Inspé/EN/autres)
Organisations professionnelles formelles et informelles
Hiérarchie institutionnelle

Immatérielles

Savoirs professionnels et scientifiques
Savoirs des élèves
Choix et usages d’établissement et d’équipes
Temps de travail

Au programme de ce cours

L’édition scolaire papier et numérique : un marché concurrentiel en évolution
Le rôle des supports pédagogiques dans les inégalités scolaires
Des apports sur les approches d’autres pays (Suisse, Japon)
Le travail collaboratif entre enseignants, les associations professionnelles
Le tutorat des candidats aux métiers de l’enseignement (étudiants, professeurs stagiaires)
L’ergonomie des ressources documentaires
Les apports d’un typographe
Un peu (mais pas trop) d’intelligence artificielle

Interactions enseignants-ressources

Parmi les difficultés pour trouver les informations pertinentes pour leur enseignement, les enseignants sont souvent confrontés au manque de temps, à l’abondance d’information et à un nécessaire développement de leurs compétences en « littératie numérique » (Perrault, 2007 ; William & Coles, 2007). Les études concernant la recherche et la gestion d’information par les enseignants sont peu nombreuses et les résultats ne sont pas toujours convergents (Diekema & Olsen, 2014). Il semblerait que la recherche d’information des enseignants dépende fortement du contexte d’enseignement : niveau de la classe, programme, ressources déjà existantes, taille de la classe, discipline… (Reverdy, 2014)

Interactions enseignants-ressources

Extraits de (Reverdy, 2024)

Les interactions entre enseignants et ressources [documentaires] peuvent être ainsi décrites par deux processus : les enseignants modèlent les ressources par l’usage qu’ils en font, les ressources modèlent les pratiques pédagogiques, contribuent au développement professionnel des enseignants. (Pepin, Gueudet & Trouche, 2013)

Changement et ressources

Selon Pepin, Gueudet et Trouche (2013), les enseignants adoptent de nouvelles ressources si elles ne perturbent pas leurs pratiques habituelles et si elles ne heurtent pas leurs convictions de la discipline. Le choix de ressources particulières se fait surtout via les collègues du même établissement.

Il existe d’après Remillard, Herbel-Eisenmann et Lloyd (2009) des relations fortes entre les croyances et conceptions des enseignants, leurs connaissances disciplinaires et l’usage qu’ils font des ressources institutionnelles

Souvent l’influence des collègues est décisive : si ce sont eux qui évoquent une ressource particulière qui leur a été utile, les enseignants seront plus enclins à l’adopter.

Enseignants débutants et ressources

Comme les enseignants débutants n’ont que peu de temps à consacrer à la création de nouvelles ressources dans leur quotidien, et que la recherche de ressources peut très vite se révéler fastidieuse, ils ont tendance à se reporter presqu’exclusivement aux ressources qu’ils ont à portée de main puis, au fur et à mesure que leur expérience grandit, leur ouverture sur les ressources grandit aussi. (p. 9)

Implication dans votre formation en Master

Capitalisation des apports ?
Implication personnelle ?

Manuel et édition scolaire

(Reverdy, op. cit.)

Conseil supérieur des programme et édition scolaire

Tribune de Souâd Ayada, présidente du CSP (Le Figaro, 12 novembre 2021)

Le rôle du Conseil supérieur des programmes est de proposer des projets de programmes au ministre chargé de l’Éducation nationale.

Son objectif est d’assurer la transmission des savoirs fondamentaux dans chaque discipline enseignée, de veiller à ce que les élèves accèdent à ce qui ne peut s’acquérir que par l’école et à l’école.

Là où je suis, j’essaie autant que faire se peut de protéger l’institution scolaire de toutes les modes en vogue dans la société et de la prémunir des idéologies de la “déconstruction”, postcoloniales ou identitaires.

Le Conseil supérieur des programmes n’a aucun pouvoir sur le contenu des manuels scolaires.

Leurs éditeurs sont les acteurs d’un marché où les modes ont de l’influence sur la production, comme dans tous les marchés régis par l’offre et la demande.

Le ministère est tenu d’informer les éditeurs lors du processus de fabrication de nouveaux programmes d’enseignement, mais les éditeurs scolaires, eux, ne sont tenus à rien, pas même de s’assurer de l’exactitude des contenus qu’ils diffusent ! Ils sont extrêmement attachés à leur liberté éditoriale et ils considèrent que c’est à eux de définir leur ligne pédagogique.

Autant dire que la discussion avec eux est limitée à des questions formelles et ne porte jamais sur des questions de fond.

Ils interprètent toute tentative pour envisager avec eux les contenus et les orientations des manuels scolaires comme une intrusion suspecte.

L’Académie des sciences leur a proposé un travail en commun sur les manuels scientifiques, notamment pour éviter des erreurs. Les éditeurs ont refusé.

Je reçois de nombreux courriels de protestation contre le contenu de certains manuels.

Il est très difficile de faire comprendre à mes interlocuteurs que les manuels scolaires ne sont pas les programmes scolaires et que je ne peux répondre que de ces derniers.

Mais il faut rappeler l’existence d’un tiers dans ce débat : les collectivités locales, qui financent l’achat des manuels. Elles dépensent beaucoup d’argent et elles pourraient utiliser ce levier pour se pencher sur leur contenu, mais elles ne le font pas.

Leur attitude est symptomatique de l’attitude du corps social en général : il ne s’intéresse aux manuels scolaires qu’à l’occasion de débats qui agitent la société et se montre le plus souvent indifférent à ce qu’ils contiennent. Y compris lorsqu’il s’agit d’erreurs qui ne participent en aucune manière à la formation intellectuelle des jeunes gens ou de représentations fausses, voire nocives, qui mettent en péril le discernement et la liberté de jugement que l’école est censée aiguiser.

Public de l’édition scolaire et marché à conquérir

À votre avis, dans le premier/second degré :

Combien d’enseignants ?
Combien d’élèves ?
Combien d’établissements ?

Public de l’édition scolaire

	1er degré	2nd degré	Total
Nombre d’enseignants	370 000	480 000	850 000
Nombre d’élèves	6 340 000	6 040 000	12 380 000
Nombre d’établissements	48 000	58 000	106 000

Marché de l’édition scolaire papier

L’édition scolaire papier représente 11,5 % du chiffre d’affaires de l’édition, pour 52+ millions d’exemplaires vendus.
Le secteur scolaire compte une petite trentaine de maisons d’édition, dont les deux tiers ne publient que sur des segments spécifiques […] tandis que le dernier tiers publie de la maternelle au Bac, dans la quasi-totalité des disciplines.
Le secteur, quoique très fluctuant d’une année à l’autre en fonction des renouvellements de programmes[…] est passé de 14 % de parts de marchés en 2000 à 11,5 % en 2015.
Il faut 9 mois environ pour créer un manuel scolaire […] envoyé en spécimen […] à des milliers d’enseignants.

Source : Rimaud, M. (2016). Le livre scolaire numérique : un marché qui attire les convoitises. La revue des médias. INA.

Acteurs de l’édition papier des manuels

Source : Gérard, FM., Roegiers, X. (2009). Des manuels scolaires pour apprendre. Concevoir, évaluer, utiliser. De Boeck supérieur.

Un marché concurrentiel

Grâce aux informations du Syndicat National de l’Edition, nous avons pu recenser quatorze éditeurs (nationaux) de manuels scolaires : Belin, Bertrand-Lacoste, Bordas, Bréal, Casteilla, Delagrave, Didier, Foucher, Hachette, Hatier, Magnard, Nathan, Retz, SED.

Une moitié de ces maisons d’édition est constituée d’entreprises indépendantes (Belin, Bertrand-Lacoste, Bréal, Casteilla, Delagrave, SED). Une autre moitié appartient à l’un des deux grands groupes (Hachette et Editis) qui dominent l’édition française (Bordas, Didier, Foucher, Hachette, Hatier, Nathan, Retz)

Source : Chanson, G. (2009). Un modèle ancien d’entreprise virtuelle : le secteur de l’édition scolaire. Vie & sciences de l’entreprise, 181, 41-55.

À travers une organisation en entreprise virtuelle, les maisons d’édition scolaire ne recherchent donc pas des coopérations avec des partenaires dispersés aux quatre coins de la planète sélectionnés pour leurs compétences de niveau mondial.

Elles recherchent des alliances dynamiques, c’est-à-dire qu’un éditeur se constitue un pool de partenaires, avec lesquels il va nouer des alliances autour d’un projet consistant à fournir collectivement un produit sur un marché. Ces alliances peuvent varier d’un projet à un autre, selon les compétences requises et pour insuffler de la créativité.

Source (Chanson, 2009) : Des informations à actualiser ?

Rôle des enseignants dans le marché de l’édition scolaire

À l’aulne des éléments précédents et en tant que futurs enseignants :

Quel peut être votre rôle dans le marché de l’édition scolaire ?
Quels liens avec votre formation à l’Inspé et en stage ?

Histoire d’un manuel scolaire

Quelques extraits de Peltier, ML. (1999). Histoire d’un manuel scolaire, du projet au produit fini : désirs et désillusions.Grand N, 63, 59-76.

Conformité des manuels scolaires en France

En France, l’édition scolaire fonctionne sous un mode entièrement libéral. Les manuels ne sont pas soumis à une commission d’agrément officielle, vérifiant leur conformité aux programmes par exemple. Ce sont à la fois les auteurs et les maisons d’édition qui garantissent leur conformité.

Les principales contraintes

Le manuscrit proposé à l’éditeur peut correspondre à une commande de ce dernier en raison de changement de programmes ou pour des raisons éditoriales, ou bien il peut être spontanément proposé par un groupe d’auteurs.

Lorsque le projet est accepté, la maison d’édition donne aux auteurs un certain nombre de contraintes dont les plus importantes concernent le délai et le nombre de pages.

Un travail collectif et rigoureux

Chez Hâtier, les éditeurs connaissent très bien, à la fois la discipline du livre qu’ils suivent et les théories actuelles relatives à l’apprentissage.

Notre éditeur effectue une lecture très attentive… fait les exercices […] repère les éventuelles erreurs ou imprécisions […] regarde la conformité aux programmes officiels prépare une liste de remarques […] qui seront débattues lors de plusieurs réunions […] jusqu’à finaliser le manuscrit.

Parallèlement, le département « maquette » fait des propositions pour la mise en page à partir des différentes rubriques que les auteurs ont prévues de faire figurer.

Des références variées

Pour mener à bien notre projet, nous sommes une équipe de plusieurs auteurs : des professeurs de mathématiques et des professeurs d’écoles.

Nous relisons de nombreux ouvrages sur les différents thèmes au programme dans le cycle concerné, livres, thèses, articles sur les travaux de recherche en didactiques des mathématiques concernant les thèmes en question, publications de l’INRP [futur IFÉ] et de différents IREM (Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques), manuels scolaires des autres maisons d’édition […] Nous avons de nombreuses discussions très animées entre coauteurs.

Un manuel pour aucune classe

Très vite, nous nous heurtons à plusieurs « grosses » difficultés : le livre est destiné à toute classe, donc en fait à aucune. Il ne va pas être possible de prendre en compte tous les paramètres concernant une classe et un maître déterminés.

Les progressions vont devoir être établies à partir des expérimentations effectuées, mais celles-ci tiennent évidemment compte des réactions des élèves des classes concernées, qui ne seront peut-être pas les réactions des élèves d’une autre classe.

Un nombre de pages restreint

Notre imagination pour élaborer des situations apprentissages est grande, mais le nombre de notions à couvrir est bien grand lui aussi ! Nous accumulons donc tous les documents, les jeux, les situations que nous rencontrons, qui nous paraissent susceptibles de pouvoir être le point de départ d’un travail intéressant pour les élèves.

Le livre a un nombre fini de pages et ce nombre est imposé par l’éditeur en raison de contraintes techniques liées à l’impression : les feuilles imprimées correspondent en général à des cahiers de trente-deux pages ; le coût sera donc minimisé si le livre contient un multiple de trente-deux pages.

Des suppressions inévitables

Et bien sûr les auteurs ont déjà griffonné un nombre de pages largement supérieur au nombre imposé, d’où de nouvelles discussions pour faire des choix sur ce qu’il convient de supprimer.

Le matériel individuel d’accompagnement est cher à fabriquer, il faut restreindre ses ambitions ! Le manuel est alors le résultat d’une négociation pas à pas avec la maison d’édition.

La place disponible reste un problème du début à la fin du travail : on en vient par exemple dans les dernières épreuves à remplacer Alexandre par Ali pour éviter de passer à la ligne ! Les modifications que nous demandons ont un coût […] il faut négocier « pied à pied » chaque changement avec l’éditeur.

Le guide pour l’enseignant

Il reste alors à terminer le manuscrit du livre du maître dont l’élaboration s’est faite simultanément, mais pour lequel il va falloir affiner la rédaction pour faciliter au maximum la tâche des maîtres […]

Cette fois, les contraintes sont moins nombreuses […] et surtout le contenu doit être clair, bien organisé et bien rédigé [sic].

Remarque 1 : Le document principal utilisé par les enseignants du primaire n’est pas le guide qui accompagne les manuels de mathématiques selon Margolinas & Wozniak (2009).

Remarque 2 : Dans l’enseignement secondaire, les guides accompagnant le manuel ont tendance à disparaître.

Conclusion

Ainsi, comme on le voit par cette présentation rapide de notre projet initial, nous avons eu la volonté permanente de nous appuyer sur les travaux des didacticiens pour construire l’ensemble des outils pour les maîtres et leurs élèves.

Mais, pour « concrétiser » certains résultats de ces travaux dans un manuel, nous avons dû les rendre accessibles, les adapter, les simplifier, peut-être malheureusement les caricaturer, en tout cas faire des choix qui sont toujours difficiles et parfois même, déchirants. Mais ils nous semblent qu’ainsi nous contribuons, même modestement, dans les livres du maître, à un travail fondamental et nécessaire de transposition de savoirs de la didactique en savoirs « professionnels », c’est à dire transposés sous la forme de mises en oeuvre dans la classe.

Retour sur l’œuvre élaborée

Après l’écriture de l’ensemble des manuels et des livres du maître du CP au CM2 de la collection « Le nouvel Objectif Calcul », nous croyons pouvoir dire qu’en définitive, même si nous sommes conscients de l’imperfection de l’adéquation entre le projet initial et le produit fini, même si la quantité de travail est considérable, même si les moments de découragement alternent avec ceux de joies, l’aventure de l’édition scolaire vaut la peine d’être vécue.

Questions

La situation a-t-elle évoluée depuis 1999 ?
Vos observations en stage ?
Votre propre pratique d’enseignant novice ?
Vos cours en master ?

Vos questions et vos remarques ?

Échanges en petits groupes puis collectivement.

« Imperfections intrinsèques » des manuels scolaires

Vargas (2006) signale des tensions et contradictions qu’elle appelle imperfections :

Le manuel […] ne s’adresse pas seulement à un apprenant seul, mais à un enseignement « de classe »

il ne peut pas être le support de tous les différents types d’activités des élèves, comme dans la pédagogie active

a des imperfections contingentes, provenant de la conception même des manuels par les auteurs (conditions de production trop rapides, prolifération des images qui perdent le message didactique par exemple).

Source : Reverdy, 2014, op. cit.

Louchon évoque la photocopie et les manuels comme ressource de « l’enseignant-bricoleur » et comment moyen de rendre visible et de valoriser son travail, « alors que le fait de suivre un manuel donnerait une image minorée du travail enseignant aux parents et aux enfants »(p.162)

Il peut aussi être le reflet de la société (ex : stéréotypes ou lutte contre ces stéréotypes), des croyances de son auteur.

Source : Wagnon, S. (Ed.) (2019). Le manuel scolaire, objet d’étude et de recherche : enjeux et perspectives. Peter Lang.

Entre sollicitation institutionnelle et recherche scientifique

L’exemple du « Schéma en barres » et de la méthode de Singapour à l’école primaire

Les auteurs : C. Bolsius (Inspecteur de l'Éducation nationale), H. Smouts (Conseillère pédagogique). Édition 2022.

Vache, chèvre et chien

Une vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins qu’une vache. Ensemble, les animaux pèsent 410 kg. Combien pèse le chien ?

Consigne : Résoudre ce problème par un ou plusieurs moyens différents.

Une première représentation en barres

Une vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins qu’une vache. Ensemble, les animaux pèsent 410 kg. Combien pèse le chien ?

Une seconde représentation en barres

Une vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins qu’une vache. Ensemble, les animaux pèsent 410 kg. Combien pèse le chien ?

Une stratégie d’enseignement séduisante se dessine ?

Les références des auteurs

Chambris note que les représentations en barres sont présentes dans l’enseignement français dans les années 70 mais c’est certainement à Singapour, en 1983, que les représentations en barres ont connu un développement massif, puisqu’elles sont devenues les représentations à utiliser, dans le curriculum officiel de cet état, pour résoudre les problèmes arithmétiques élémentaires. [Kaur].

(Cabassut, 2020)

La commission Villani-Torossian met en valeur Singapour, qui d’ailleurs obtient de bons résultats à TIMSS et PISA, et considère que sa méthode est basée sur des pédagogies efficaces, parmi lesquelles l’utilisation des représentations en barres.

Neagoy a participé à cette commission et, comme directrice de collection, à la conception de la collection « Maths méthode de Singapour » de la Librairie des Écoles. Elle est également formatrice sur ce thème. D’ailleurs, plusieurs éditeurs scolaires français proposent des ouvrages se réclamant de la méthode de Singapour (la Librairie des Écoles, Larousse, Hachette, Bordas).

(Cabassut, 2020)

Enfin, un thème de formation des référents mathématiques de circonscription pour 2019-2020 concerne les représentations en barres dans la résolution de problèmes.

Nous sommes donc dans un contexte de développement de la diffusion des représentations en barres à l’école primaire française.

(Cabassut, 2020)

Éléments critiques

Associer les bons résultats d’un pays à PISA ou à TIMSS, comme c’est le cas pour Singapour, n’est pas une garantie de cette efficacité : l’académie de Rennes a des meilleurs résultats que l’académie de Créteil au baccalauréat alors que c’est la même organisation scolaire, les mêmes programmes, les mêmes manuels, et en théorie la même formation de professeurs. L’explication est essentiellement socio-culturelle et sociologique.

(Cabassut, 2020)

Une mauvaise réforme de la formation des maîtres et de leur recrutement peut avoir un impact plus redoutable sur les résultats à PISA et TIMSS que l’introduction d’une représentation en barres (dernière réforme peu concertée en France, recrutement difficile dans l’académie de Créteil) (Cabassut, 2020)

Depuis 1998, les professeurs de Singapour ont 100 h de formation continue par an (Chambris, 2017, p. 1).

(Cabassut, 2020)

Classement PISA 2012. Chambris, C. (novembre 2017). L’enseignement des maths à l’école et la méthode de Singapour. Bulletin de la CFEM, 44, p.14.

La méthode de Singapour à la mode de chez nous ?

En décembre 2023, le ministre de l’Éducation nationale, puis sa successeure, voulait généraliser la méthode Singapour à la rentrée 2024.

	Singapour¹	France²	Calvados³
Superficie (km2)	719	612 000	5535
Nb d’habitants	6 millions	68 millions	700 000
Densité (hab/km2)	8360	107	126
Nb d’écoles primaires	370	48 000	39

Ainsi, si les principaux éléments retenus par le ministère de l’Éducation sont présents dans le programme mathématique de Singapour, d’autres comme la flexibilité dans l’application des recommandations, la qualification des enseignants et l’installation de bonnes conditions d’exercices semblent absents.

Source : Mounier, E. & Sayac, N. (14 décembre 2023). Maths : la « méthode de Singapour », remède ou mirage ? The Conversation.

Parmi d’autres spécificités oubliées :

La recherche d’amélioration du système éducatif sur plusieurs années. Voir par exemple Ng, P.T. (2008). Educational reform in Singapore: from quantity to quality. Educational Research for Policy and Practice Article, 7, 5–15. https://doi-org.ezproxy.normandie-univ.fr/10.1007/s10671-007-9042-x
Le nombre d’enseignants dans certaines classes, la pression permanente sur les élèves et les parents (voir, par exemple, le reportage d’Immersion en 2024 Singapour : Ils sacrifient leur enfance pour l’école !)
La surveillance généralisée de la population (voir, par exemple, le reportage de France 2 New Delhi Singapour : paradis sécuritaire ?).

Risques d’une stratégie imposée

Par exemple :

Mettre en place un passage obligé par la représentation en barres alors qu’un élève sait s’en dispenser.
Imposer la proportionnalité entre longueurs des barres et les mesures représentées, alors que le but est de suggérer une relation arithmétique entre mesures.

(Cabassut, 2020)

Utiliser une méthodologie dénuée de sens pour résoudre des problèmes, comme souligner dans l’énoncé les éléments utiles à la résolution du problème, alors que tant que le problème n’est pas résolu, il n’est pas toujours possible de savoir ce qui sera utile.
Découper en tâches isolées la résolution d’un problème, par exemple associer un énoncé à un type de schéma, ou associer des énoncés relevant d’un même modèle, ou associer un calcul à un schéma.
Il n’existe pas de recherches convaincantes qui montrent que les représentations en barres soient plus ou toujours plus efficaces que d’autres représentations.
Les problèmes sont parfois choisis pour faciliter les représentations.

(Cabassut, 2020)

Manuels, éducation inclusive et conception universelle des apprentissages (CUA)

En lien avec l’EC Commun « Inégalités et inclusion ».

Finalement, le contre-exemple d’un manuel destiné aux élèves…

… doublé d’une progression courante mais fort discutable

Manuels scolaire et actualité du ministre de l’Éducation nationale fin 2023

Pour « élever le niveau », [Gabriel Attal] maintient la labellisation des manuels car « les enseignants vont chercher des ressources qui ne sont pas les meilleures scientifiquement ». Il maintient aussi ses propos sur l’entrée en 6^e qui sera différenciée selon le niveau des élèves et sur les groupes de niveau au collège. « Ce n’est pas facile de faire ce constat je l’assume ». (extrait du Café Pédagogique, 19 octobre 2023)

Votre analyse en appui sur le cours ?

Souhait d’une professeure stagiaire

Un début de formation, le 23 septembre 2022.

Un souhait réaliste ?
Des tensions professionnelles ou personnelles à anticiper/gérer ?

Vos questions et vos remarques ?

Échanges en petits groupes puis collectivement.

Stéréotypes et biais cognitifs

Stéréotypes de genre : un exemple hors de France

Méthodologie

Étude d’une collection de manuels de 6 niveaux de l’école élémentaire obligatoire
Version panafricaine diffusée dans divers pays d’Afrique sub-saharienne francophones
Repérages des personnages dans les textes et images (1014 textes, 361 images dans toute la collection. 12 % ni garçon ni fille)

Les garçons apparaissent apparaît davantage (au moins 56 %), sauf en CP (57,6 % de personnages féminins).
Les femmes sont pratiquement interdites d’accès de la partie « cours » : 90,2 % prennent place dans les exercices, 9,8 % dans le cours.
Stéréotypes d’apparence (jupe, bijoux…) pour les jeunes filles dans les illustrations, qui disparaissent avec les représentations d’adultes mais…
… les adultes évoluent dans deux sphères distinctes.

Les femmes

Les femmes sont rattachées à la « sphère domestique » (10,8 % attachées à un statut professionnel) : mère, enseignante, vendeuse.
Elles possèdent quelques biens importants mais pas de moyens de transport ou de matériel de bricolage.
Elles n’ont aucun loisir.

Les hommes

Ils ne sont pas exclus de la sphère privée (11,9 % désignés par leur lien familial).
Des achats mais avec une somme d’argent importante (électro-ménager, moyen de transport, etc.)
Des activités valorisantes et généralement non quotidienne (sauf 2 cas).
Des activités professionnelles diversifiées.
Exclus d’aucune activité.

Stéréotypes de genre : retour en Europe !

Ce que démontre notre étude, c’est la participation des ouvrages de géographie à une simplification du monde social sans remise en question des rapports de genre, voire la perpétuation d’un ordre social masculin. Il n’y a ainsi pas de mise en discussion, les images s’imposent et imposent les clichés sans aucune mise en débat (p. 255).

Les stéréotypes dans vos disciplines

Échanges intra puis inter-disciplinaires

Des stéréotypes de genre ou d’autre type existent-ils dans votre discipline ? Évoqués en cours ? Problématiques F/G → Genres
Lien avec effets Pygmalion (prophétie positive autoréalisatrice) et Golem (prophétie négative autoréalisatrice) ?
Lien avec biais cognitifs (voir aussi l’article wikipedia)
- Biais de confirmation : favoriser les informations qui appuient son hypothèse
- Biais de réification : nommer une chose fait croire qu’elle existe
- Biais chambre à écho : tout le monde semble être de mon avis, donc je dois forcément avoir raison.
En stage : vos constats dans les manuels et dans les pratiques ?

Références

Adler, J. (2000). Conceptualising resources as a theme for teacher education ? Journal of Mathematics Education, 3, 205-224.
Ayada, S. (12 novembre 2021). Nous n’avons aucun pouvoir sur le contenu des manuels scolaires. FigaroVox, Le Figaro.
Brugeilles, C., Sylvie Cromer, S.(2006). Les manuels scolaires de mathématiques ne sont pas neutres. Le système de genre d’une collection panafricaine de l’enseignement primaire. Autrepart, 39,147-164.
Cabassut, R. (septembre 2020). Les représentations en barres : « ni cet excès d’honneur, ni cette indignité ». Au fil des maths. APMEP.
Chambris, C. (novembre 2017). L’enseignement des maths à l’école et la méthode de Singapour. Bulletin de la CFEM, 44.

Chanson, G. (2009). Un modèle ancien d’entreprise virtuelle : le secteur de l’édition scolaire. Vie & sciences de l’entreprise, 181, 41-55.
Gérard, FM., Roegiers, X. (2009). Des manuels scolaires pour apprendre. Concevoir, évaluer, utiliser. De Boeck supérieur.
Gueudet, G., Trouche, L. (2021). Étudier les interactions professeurs-ressources : questions de méthode. Éducation & didactique, 15, 141-158.
Joublot-Ferré, S. (2019). Femmes/hommes : une comparaison France-Suisse pour des manuels de géographie. Reproduction ou mise en discussion d’un ordre masculin ? Dans S. Wagnon (Ed.), Le manuel scolaire, objet d’études et de recherche : enjeux et perspectives (pp. 239-257). Berne, Suisse: Peter Lang.
Margolinas, C. & Wozniak, F. (2009). Usage des manuels dans le travail de l’enseignant : l’enseignement des mathématiques à l’école primaire. Revue des sciences de l’éducation, 352, 59–82.

Mounier, E. & Sayac, N. (14 décembre 2023). Maths : la « méthode de Singapour », remède ou mirage ? The Conversation.
Peltier, ML. (1999). Histoire d’un manuel scolaire, du projet au produit fini : désirs et désillusions.Grand N, 63, 59-76.
Pepin, B., Gueudet, G. & Trouche, L. (2013). Re-sourcing teachers’ work and interactions: A collective perspective on resources, their use and transformation. ZDM, The International Journal of Mathematics Education, 45(7), 929-943.
Reverdy, C. (2014). Du programme vers la classe : des ressources pour enseigner. Dossier de veille de l’IFÉ, 96.
Rimaud, M. (5 septembre 2016). Le livre scolaire numérique : un marché qui attire les convoitises. La revue des médias. INA.
Wagnon, S. (Ed.) (2019). Le manuel scolaire, objet d’étude et de recherche : enjeux et perspectives. Peter Lang.

Travail en groupes en mathématiques

Fri, 05 Sep 2025 00:00:00 +0000

Sommaire

Introduction

Lors de la mise en œuvre d’une situation de recherche et de preuve entre pairs (RPP), le travail en groupes des élèves est généralement nécessaire. C’est aussi parfois le cas dans d’autres situations d’enseignement.

Ce document présente :

les principaux intérêts du travail en groupes pour les élèves et pour l’enseignant ;
des pistes pour mettre en place un travail de groupes en classe ;
les principaux problèmes et questionnements rencontrés dans la gestion du travail en groupes et des pistes de réponses.

Note 1 : Des précédentes versions de ce document ont été diffusées dans le cadre de formations à l’Inspé Normandie Caen entre 2016 et 2025.

Note 2 : Ce document est en grande partie lié aux Débats et interaction entre pairs en mathématiques.

Pourquoi mettre en place un travail en groupes ?

Lors d’un travail mené en groupes, plusieurs interactions langagières se déroulent simultanément. À l’inverse, lors d’un travail mené avec l’ensemble de la classe sans formation de groupes d’élèves, les interactions sont plus réduites.

Quelques calculs élémentaires laissent imaginer les effets possibles sur le développement des compétences de communication orale des élèves à l’échelle d’une année si aucun travail en groupes n’est jamais ou rarement mené.

Combien de temps parle un enseignant durant une séance d’une heure ?
Combien de temps parle les élèves pris dans leur ensemble durant ce même temps ?
Combien de temps, en moyenne, parle alors chaque élève individuellement durant ce même temps ?

À chaque enseignant de s’enregistrer durant une séance et de faire ces calculs simples !

[1] Cours dialogué : l’enseignant interagit avec les élèves un par un en contrôlant les questions, les temps de parole, etc. Il ne favorise pas ou peu les échanges entre pairs, c’est-à-dire entre les élèves.

Pour un groupe-classe de 24 élèves, en 1 heure, il y a 2,5 min de parole par élève dans une répartition équitable. Si les élèves sont en groupes de 4, ils vont avoir 15 min de parole possible chacun. Le vécu socio-affectif de ces deux situations accroît encore cet effet : un élève peu sûr de lui redoute moins de s’exprimer dans un petit groupe de camarades qu’en classe entière devant l’enseignant. On peut amener chaque élève à s’exprimer au sein des groupes, par exemple en imposant un temps minimum de parole pour chaque élève, des tours de parole obligatoire, etc.

Les différentes instructions officielles de l’Éducation nationale reviennent régulièrement sur la nécessité d’organiser des échanges entre les élèves et des travaux en groupes, en mathématiques et dans d’autres disciplines.

Pour autant, la tâche de l’enseignant n’est pas simple, surtout en début d’année dans certains contextes d’enseignement où les élèves ne travaillent jamais ou rarement en groupes, sous des prétextes divers. Or, le travail en groupes est possible à mettre en place dans toutes les disciplines scolaires et dans quasiment tous les contextes d’enseignement (ZEP, REP, cycle 1, cycle 2, cycle 3, en milieu rural ou urbain, avec des élèves en réussite ou en difficultés chroniques, etc.)

La maîtrise du travail en groupes par les élèves se travaille sur un temps long et dès le plus jeune âge.

Un travail en groupes est-il nécessaire pour une situation donnée ?

En premier lieu, il semble raisonnable d’éviter de proposer aux élèves d’effectuer en groupes une activité qu’ils peuvent accomplir aussi bien, sinon mieux, individuellement.

Quelques questions sont utiles pour évaluer l’intérêt d’un travail en groupes :

Qu’apporte-t-il dans une situation donnée ?
Que veut-on faire apprendre aux élèves en les mettant en groupes ?
Les élèves vont-ils vraiment se rendre compte que le travail en groupes apporte quelque chose à la résolution de la tâche donnée par l’enseignant ou leurs propres apprentissages ? (voir compléments avec le document Débats et interaction entre pairs en mathématiques)

Questions qui méritent d’être posées en amont d’un travail en groupes

Généralement, les consignes décontextualisés auprès des élèves du type « Le travail de groupes, c’est bien car… » ou « Pendant le travail en groupes, il faut… » sont à éviter juste avant un travail en groupes : 

C’est coûteux en temps.
Les élèves ne s’y intéressent généralement pas.
Cela ne correspond pas forcément à des situations déjà vécues par les élèves.

À l’inverse, lors de la conclusion d’une séance comprenant du travail en groupes, il peut être pertinent de :

Revenir sur certains dysfonctionnements (élèves qui dirigent trop le travail du groupe, élèves qui n’osent pas donner leur avis, etc.)
Écrire ces conclusions sur une affiche de la classe.
Rappeler le contenu de cette affiche lors d’un prochain travail en groupes.

Favoriser la dévolution d’un travail en groupes

Pour favoriser la dévolution d’un travail en groupes, sa compréhension et son acceptation par les élèves, voici quatre grandes options que l’on peut parfois cumuler selon les situations.

Jouer sur la durée de la recherche individuelle
Tous les élèves ne trouvent pas les mêmes solutions
Tous les élèves trouvent les mêmes solutions mais l’enseignant sait qu’elles sont incomplètes ou erronées
Tous les élèves résolvent le problème mais la preuve ne satisfait pas l’enseignant.

Ces options sont détaillées ci-dessous.

Option 1. Jouer sur la durée de la recherche individuelle

1. Laisser chercher les élèves individuellement un temps suffisamment long mais pas trop pour éviter que presque tous trouvent la solution individuellement. 2. Faire constater qu'ils n'ont « toujours pas fini après *n* minutes de recherche », que « ça a l'air de leur prendre trop de temps », et lancer une sorte de défi amical à la classe. 3. L'enseignant stoppe tout le monde et annonce que les élèves vont se mettre par groupes pour : - faire ce qu'il faut pour « accélérer la poursuite de la résolution du problème » - se préparer à présenter ce qu’ils pensent intéressant de partager avec le reste de la classe, c’est-à-dire ce qu’ils pensent avoir trouvé (des solutions, des pistes invalides, des pistes abandonnées, des résultats partiels, etc.)

Chaque élève et chaque groupe aura ainsi un minimum d’éléments à partager et à discuter avec le reste de la classe, même s’ils n’ont pas résolu le problème posé.

Option 2. Tous les élèves ne trouvent pas les mêmes solutions

1. Lors d’une mise en commun rapide et pas forcément exhaustive, les élèves constatent qu’ils ne trouvent pas tous la même solution. 2. Le travail en groupes est alors légitimé par le fait que les élèves vont devoir tenter de se mettre d’accord sur les solutions acceptables.

Cette option, comme pour la précédente, nécessite de ne pas laisser les élèves chercher « trop longtemps » individuellement, au risque sinon qu’ils trouvent tous la même solution.

Si les élèves ne réussissent pas à se mettre d’accord, ils devront expliquer pourquoi.

Option 3. Tous les élèves trouvent les mêmes solutions mais l’enseignant sait qu’elles sont incomplètes ou erronées

Les élèves constatent qu’ils trouvent tous les mêmes solutions mais l’enseignant sait que certaines sont erronées ou qu’il en manque.
Selon le cas, l’enseignant montre qu’une des solutions est erronée ou exhibe une nouvelle solution.
Un cas suffit pour expliquer que les élèves doivent approfondir leur travail, ils doivent pouvoir justifier qu’ils ont trouvé toutes les solutions et être relativement sûrs d’eux.
La poursuite de la recherche en groupes est légitimé par le fait que les élèves, en autonomie, vont approfondir leurs premières recherches et s’assurer en commun des solutions qu’ils exposeront.

Option 4. Tous les élèves résolvent le problème mais la preuve ne satisfait pas l’enseignant.

Un travail en groupes a peu de chances de pouvoir fonctionner, sauf dans le cas d’une classe habituée aux débats mathématiques. La situation ou sa gestion n’était peut-être pas adaptée pour mettre en évidence une stratégie plus efficace.

Si la stratégie des élèves est valide mais n’est pas optimale, l’enseignant peut, pourquoi pas, présenter une autre stratégie.

Intérêts parfois oubliés du travail en groupes

Favorise les premières formulations des élèves et les premiers débats de validation entre pairs (conflits socio-cognitifs).
Favorise davantage l’élimination de solutions inadaptées et la mise au point de procédures plus élaborées.
Facilite la mise en commun collective ou l’analyse des productions par l’enseignant, car il y a potentiellement moins de propositions à traiter et elles sont de meilleure qualité. Cette mise en commun n’a d’ailleurs pas de caractère obligatoire. Il faut se poser la question de son apport à l’avancée des connaissances des élèves. La validation groupe par groupe de l’enseignant ou des fiches auto-correctives peuvent parfois suffire.
Permet aux élèves d’améliorer leur autonomie, il les aide à accéder aux savoirs et au savoir travailler. Les compétences mathématiques sont plus souvent développées par les élèves lors des travaux en groupes lorsqu’ils fonctionnent bien.
Limite les risques de découragement des élèves.
Développe la socialisation et les compétences à communiquer des élèves : formuler ses idées/démarches, écouter les autres, argumenter, etc.

Comment constituer les groupes d’élèves ?

De multiples options sont envisageables, certaines rarement utilisées alors qu’elles peuvent se révéler pertinentes, parfois juste par effet de « nouveauté » pour les élèves.

Selon les objectifs poursuivis et les situations, le choix peut se porter vers différents types de groupes :

Groupes homogènes

Des groupes homogènes du point de vue de certaines compétences ou bien du point de vue des productions individuelles des élèves. L'objectif est de permettre à chaque élève d'avancer avec leurs pairs à partir de procédures de résolution identiques, de travailler avec des élèves ayant suivi le même raisonnement.

Groupes hétérogènes

L'objectif est de permettre l'émergence de conflits socio-cognitifs avec des solutions ou des procédures différentes. Attention alors aux « effets de leader ». En effet, l'enseignant doit demeurer vigilant à la place et au temps de parole de tous les élèves dans chacun des groupes.

Groupes de tutorat

Des binômes de « tutorat ». L'objectif est de permettre aux élèves les plus en difficulté d'avancer dans la résolution de la situation RPP. Les consignes données par l'enseignant doivent être claires afin d'éviter qu'un des élèves ne soit plus en position de recherche mais seulement dans la réception de la solution de l'autre. Cela pose la question pour l'enseignant de la formation des élèves à cette pratique et donc à l'obligation d’avoir des temps institutionnalisés de méthodologie de ce qu'est un tutorat réussi.

Groupes par affinités

En début d'année, quand les élèves commencent à se connaître, on peut leur poser la question « Avec qui souhaiteriez-vous travailler ? Avec qui ne souhaiteriez-vous pas travailler ? » (sociogramme)

Au moins dans un premier temps, éviter de mettre ensemble des élèves qui ne souhaitent pas travailler ensemble.

Cependant, si on laisse les élèves se placer uniquement par affinités, certains risquent de constituer un groupe de « rejetés par les autres », ce qui n’est pas souhaitable. De plus, les élèves doivent aussi apprendre à travailler avec les élèves avec qui ils s’entendent moins.

Groupes aléatoires

Des groupes aléatoires, ce qui change souvent radicalement des habitudes de classe et contribue à ne pas laisser la constitution des groupes dans la seule main de l’enseignant.

Groupes par proximité géographique

Des groupes par proximité géographique ou non dans la classe.

Groupes de différentes tailles

Des binômes ne sont pas toujours l’option la plus efficace. Les élèves peuvent avoir plus d’idées à échanger à 3 ou bien 4. On peut aussi organiser une phase en binômes puis une phase de réunion de binômes par groupes de 4.

Il semble important de varier les modalités de formation des groupes au cours de l’année pour :

enrichir son potentiel de gestion d’une classe
choisir un type optimal en fonction de la situation
éviter ou limiter la lassitude les élèves.

Rôle de l’enseignant dans le travail en groupes

Définir et expliciter le « produit fini » attendu des élèves à l’issue du travail en groupes.
Définir les modalités précises de formation des groupes.
Préparer des consignes de travail pour les élèves et s’assure qu’elles sont comprises.
Assurer le suivi du travail en groupes.
Choisir la forme et les modalités de la mise en commun.
Préparer les moyens matériels (lieu, temps, matériel nécessaire).
Expliciter le rôle qu’il va lui-même jouer pendant le travail en groupes.
Fixer des objectifs d’observation ou d’évaluation des groupes et désigner qui s’en chargera (lui ou un élève). Une modalité de travail possible est de donner, pendant un temps court, un rôle « d’espion amical » à un des membres de chacun des groupes. Chaque « espion amical » a le droit d’aller observer/retenir/rapporter l’état des recherches des autres groupes.

Les principales difficultés rencontrées

Les élèves ne savent pas travailler en groupes ou ne sont pas suffisamment matures

Si l'enseignant attend que les élèves soient suffisamment matures pour travailler en groupes de 4, il peut attendre longtemps, car c'est justement à lui de les y entraîner. Comment les élèves pourraient apprendre à travailler en groupes de 2, 3 ou 4 élèves, voire plus, si l'enseignant ne les place jamais dans ce type de situations ni ne fait expliciter et construire les conditions de la réussite ?

Parfois les élèves n’ont pas l’habitude de travailler en groupes ou alors pas comme l’enseignant le souhaiterait. Il est tentant de rappeler les caractéristiques du travail en groupes (s’écouter, échanger, argumenter, etc.)

Ce type de rappels est classique mais généralement inefficace aux yeux des autres élèves s’ils n’ont pas déjà vécu ce type de situations.

Dans un premier temps, l’enseignant peut se limiter à leur rappeler (même si, là aussi, le résultat n’est pas garanti) qu’il faut que leur groupe soit sûr d’avoir trouvé et qu’il puisse convaincre les autres élèves. Ceci peut constituer un challenge pour les élèves du groupe : il s’agit « d’assurer » devant leurs pairs.

Pour les groupes qui n’auront pas fini ou qui n’auront pas abouti, il sera intéressant de leur faire verbaliser sur ce qui leur a fait défaut, ce à quoi ils sont tout de même arrivés, les pistes qu’ils ont écartées et pourquoi, car il s’agit bien ici aussi de recherche et de preuve mathématiques.

Plus tard, l’enseignant pourra s’appuyer sur les moments et les groupes qui n’ont pas bien fonctionné pour insister sur quelques caractéristiques et intérêts du travail en groupes. En quelque sorte, l’enseignant « sacrifie » un peu les premières séances de travail en groupes pour optimiser les suivantes. Les situations de type « Problèmes pour apprendre à chercher » sont justement des situations privilégiées pour ce faire dès les premiers jours de classe à la rentrée.

On co-construit donc la méthodologie du travail en groupes en faisant pratiquer les élèves. Ce temps de méthodologie peut être l’apprentissage du jour si la tâche à réaliser n’est pas terminée.

Rôles et implication des membres du groupe

Il y a un risque à systématiser les rôles de secrétaire/rapporteur/... De facto, certains élèves du groupe cherchent moins dans ce genre d’organisation.

Une autre proposition est la suivante :

L’enseignant laisse les élèves chercher.
5 minutes avant la mise en commun, il arrête la recherche et demande le silence.
Il annonce que les élèves doivent maintenant se préparer à présenter leur travail.
À l’issue du travail en groupes, chaque élève est considéré comme un rapporteur potentiel du groupe. Ainsi, l’enseignant garde la possibilité de donner la parole à n’importe quel élève en fonction de ses objectifs.

L’enseignant peut même choisir les élèves rapporteurs (avec un dé par exemple), ce qui a généralement pour effet de motiver les élèves à bien comprendre ce qui est fait dans le groupe et à y participer.

Bouger les tables engendre du bruit et perturbe la recherche.

Bouger les tables ne « perturbe » pas la recherche de manière inopportune en général. Ce peut même être un moyen de rythmer la séance et de marquer qu'on passe d'une phase à une autre.

Proposition :

L’enseignant donne une consigne avant de bouger les tables, cette consigne a pour caractéristique de justifier le passage à une phase de travail en groupes.
Les élèves forment les groupes (éventuellement en temps limité) selon les modalités données par l’enseignant.
L’enseignant demande le silence et reformule la consigne.
Les élèves travaillent en groupes.

Certaines tables sont lourdes.

Même des élèves de CP peuvent bouger les vieux bureaux à deux places.

Sans bouger les tables, des travaux en groupes restent possibles.

Nombre d'élèves par groupe

L'impact de l'effectif des groupes sur l'activité des élèves peut différer suivant l'habitude de l'enseignant, l'habitude des élèves à vivre des situations de recherche en groupes mais... Si les élèves sont peu nombreux par groupe (groupes de 2 élèves par exemple), les échanges sont *a priori* moins nombreux, moins riches en termes d'idées et de qualité de formulation. Le travail en groupes risque d’être peu efficace et laissera un sentiment d’inutilité aux élèves ou à l’enseignant.

Il peut également arriver dans le cas de binôme que chacun des élèves aient deux avis radicalement opposés et qu’il soit nécessaire de faire intervenir un autre élève pour les départager. L’enseignant doit gérer davantage de productions d’élèves et les débats peuvent a priori être plus difficiles à gérer (à moins que les élèves arrivent à regrouper facilement les multiples productions).

À l’inverse, si les élèves sont trop nombreux (par exemple 5 ou 6 élèves par groupe), certains d’entre eux pourront difficilement s’impliquer, ce qui n’est pas souhaitable et qui peut avoir un effet négatif sur les débats à venir. Le nombre de productions est plus réduit et les débats entre groupes a priori plus restreints.

Généralement, il est donc préférable pour des recherches en mathématiques de regrouper les élèves par 3 ou 4.

Gérer et optimiser une mise en commun, favoriser les débats

Le document Débats et interactions entre pairs en classe de mathématiques présente plusieurs éléments susceptibles d’aider à gérer et optimiser les débats entre élèves lors d’une mise en commun de productions.

Pour faciliter les débats, l’enseignant peut numéroter les groupes et les productions des élèves.

Des groupes risquent de présenter les mêmes éléments que des groupes précédents. L’enseignant peut poser différentes questions :

« Qui a fait pareil ? » (les élèves s’expriment mais ne redonnent pas une proposition déjà présentée)
« Qui a fait presque pareil ? » (les élèves présentent seulement les différences).

Ceci permet de gagner du temps et présente l’avantage de mobiliser l’attention des élèves pendant chaque présentation de leurs pars, se prononcer sur la validité des productions. Ils peuvent aussi se questionner la validité et l’efficacité de leur propre production.

Il est aussi parfois intéressant de faire, très tôt dans la séance et sans attendre que les élèves aient fini, une première mise en commun « partielle » avec quelques productions (par exemple une seule production mais erronée). Cela permet en effet de (re)motiver le travail de groupe, de mieux préparer les élèves à la prochaine mise en commun, d’approfondir la consigne,… en insistant sur le fait que « Ici, ça n’a pas encore l’air de marcher ! Vous êtes en groupes pour vous assurer que vous êtes sûrs, pour convaincre les autres. Préparez-vous à montrer aux autres que vous avez trouvé quelque chose d’intéressant même si vous n’avez pas tout trouvé ».

Plutôt que demander à un groupe d’élèves de présenter « comment ils ont fait », il est généralement préférable de leur demander de convaincre les autres élèves. Ceci a plusieurs avantages :

mettre de fait l’enseignant à part des débats – ce n’est pas à lui qu’on doit s’adresser
préciser ce que les élèves ont à faire quand ils préparent la mise en commun collective
préciser ce que les élèves ont à faire pendant la mise en commun.

Ordre de présentation des productions pour une mise en commun

Il ne faut pas toujours faire passer en premier les groupes qui ont résolu le problème posé. Les élèves risquent de s’habituer à ne pas écouter les premières présentations. On peut aussi commencer en initiant un véritable débat : « Alors qu'avez-vous trouvé ? »

Si ceux qui parlent en premier ont résolu le problème, il n’est pas sûr qu’ils soient suffisamment assez convaincants pour autant. S’ils le sont, tant que l’enseignant n’a rien validé, celui-ci peut entretenir le doute facilement, car les élèves attendent généralement son verdict final. Dans tous les cas, rien n’empêche de faire ensuite présenter d’autres groupes car les élèves peuvent avoir trouvé par d’autres moyens ou il peut être intéressant d’analyser collectivement ce qui est invalide et pourquoi.

Autre option : utiliser un dé pour décider de l’ordre de passage. L’enseignant ne peut alors être soupçonné de retenir un ordre qui « l’arrange ». Toutes les productions sont sur un pied d’égalité, le débat n’est pas biaisé par l’enseignant.

Certains élèves résolvent rapidement le problème posé

Si les élèves ont réellement résolu le problème, l’enseignant peut exiger une explication plus aboutie, orale ou écrite (travail de maîtrise de la langue et de l’argumentation en mathématiques) afin de « convaincre » leurs pairs.

L’enseignant peut aussi demander d’observer et d’évaluer un groupe en train de travailler (en gardant ou non ce rôle secret pour ne pas influencer les élèves observés, il suffit par exemple de dire aux autres élèves qu’une mission particulière a été confiée aux élèves en question). Les élèves désignés doivent, par exemple, dire après la phase de recherche :

si tous les membres du groupe ont pu s’exprimer dans le groupe ;
si certains membres du groupe ont monopolisé la parole au détriment d’autres membres ;
comment se sont prises les décisions ;
si des pistes de recherche sont restées non discutées.

Enfin, il n’est pas toujours sûr que les élèves aient vraiment résolu le problème ou alors pas en utilisant une stratégie valide. À partir d’explications partielles, l’enseignant peut parfois croire que les élèves ont compris et une mise en commun peut révéler que ce n’est pas le cas.

Certains groupes « dysfonctionnent »

Cela arrive régulièrement et les raisons peuvent en être nombreuses (manque d'habitude, manque de motivation, fatigue, moment de la recherche inopportun, situation inadéquate, consignes inadéquates, etc.)

L’enseignant peut alors passer dans chaque groupe réguler le fonctionnement, encourager certains élèves à ne pas se laisser faire, demander par exemple à l’un d’eux de dire ce que lui a trouvé et ensuite s’il l’a dit aux autres, s’ils en ont tenu compte, etc. Lors de la phase de conclusion, il est possible de demander aux groupes d’analyser leur dysfonctionnement pour en faire des règles de fonctionnement.

Ainsi, l’enseignant peut travailler dès le début de l’année à favoriser des travaux de groupe efficaces et donner des habitudes aux élèves sans un grand discours décontextualisé sur les vertus du travail de groupe.

Une trace écrite commune

L'enseignant doit décider quelle trace écrite commune, individuelle ou collective, sera conservée par l'ensemble des élèves de la classe suite au travail de groupe mené. Selon les situations et le contexte, les procédures proposées, les débats ayant eu lieu, il pourra être intéressant de garder l'ensemble des chemins de raisonnements (en proposant une photocopie des raisonnements aux élèves) ou alors de ne conserver que la solution finale pour institutionaliser un savoir spécifique.

Références

Arsac G., Mante M. (2007). Les pratiques du problème ouvert, CRDP Lyon.

Barlow M. (1993) Le travail en groupe des élèves, Bordas.

Ferret C., Georget JP. Débats et interactions en mathématiques.

Meirieu P. (1991) Outils pour apprendre en groupe : apprendre en groupe ?, (Tome 1) 1991, Lyon, Chronique sociale.

Peeters L. (2009). Méthodes pour enseigner et apprendre en groupe. De Boeck.

Ajout d’un document sur les débats et interactions en mathématiques

Thu, 04 Sep 2025 00:00:00 +0000

Ce document liste différentes notes et suggestions relatives aux débats et aux interactions entre des élèves en mathématiques, que ce soit sur des temps courts, sur une ou plusieurs séances dédiées à une situation de recherche et de preuve entre pairs (situations RPP) tels qu’un problème ouvert, une situation-problème, un problème pour apprendre à chercher, etc.

Il est disponible sur cette page.

Un document similaire portant sur le travail en groupes en classe de mathématiques sera bientôt disponible sur ce site.

Débats et interactions entre pairs en classe de mathématiques

Thu, 04 Sep 2025 00:00:00 +0000

Sommaire

Préambule

Ces notes et suggestions ont été récoltées au fil des années lors d’expérimentations dans des cadres de recherche et lors de simples observations en classe. Je les mets à disposition en ligne car plusieurs collègues didacticiens des mathématiques, formateurs ou enseignants les ont trouvées intéressantes et inspirantes. J’espère que ce sera le cas aussi pour vous !

Les références qui pouvaient être indiquées au fil du texte ont été retirées pour faciliter la lecture.

N’hésitez pas à me contacter pour des corrections ou des compléments : jean-philippe.georget@unicaen.fr.

Nécessité d’un contrat didactique adéquat

Les moments de débats et d’interactions mathématiques sont constitutifs de l’activité mathématique. En classe, ce sont aussi des moments d’évaluation formative informelle puisqu’ils donnent des indications sur l’état et l’évolution des connaissances des élèves pris individuellement ou collectivement. Il est donc pertinent d’accorder une attention particulière à la préparation de ces moments, d’autant que les élèves et les enseignants y sont peu formés.

De multiples facteurs influent sur le déroulement d’une séance d’enseignement en classe, en particulier en classe de mathématiques en France (pas uniquement). Je ne chercherai pas à tous les lister, en supposant que ce soit possible, car ce serait trèèès long ! Je me limiterai donc à ne citer que quelques facteurs au fil du propos.

La présente ressource n’aborde que des actions spécifiques et relativement faciles à mettre en œuvre, mais qui peuvent rester inefficaces sans une vision plus globale des conditions d’enseignement et d’apprentissage. Par exemple, si l’enseignant de la classe s’appuie fortement sur un ou des manuels scolaires ou si les élèves n’ont jamais ou rarement vécu des véritables situations de recherche et de preuve entre pairs (RPP), il est normal que les débats peinent à s’instaurer à la première mise en œuvre d’une telle situation.

De même, les élèves croient souvent que ce qu’ils disent va être rapidement et facilement compris par les autres élèves. Il est important qu’ils constatent que ce n’est pas forcément le cas. L’enseignant peut donc, surtout dans les séances du début d’année, laisser s’installer des incompréhensions entre élèves puis laisser l’occasion aux élèves d’améliorer leurs argumentations sans immédiatement reformuler ce qu’ils disent. La charge de bien communiquer et de prouver est alors clairement dévolue aux élèves et non à l’enseignant. Le contrat didactique ayant été éclairci pour ce type de moments de classe, l’anticipation et le regard critique des élèves n’en seront que meilleurs par la suite.

Ces premières raisons montrent qu’il est pertinent, autant que possible, d’instaurer un contrat didactique adéquat dès le début de l’année scolaire. Il est possible, par exemple, de proposer au moins une situation RPP dès les premiers jours de classe. A priori, un problème pour apprendre à chercher est à privilégier par rapport à une situation problème. En effet, une séance de problème pour apprendre à chercher qui ne fonctionne pas de façon optimale n’est pas susceptible de remettre en cause la programmation des enseignements. Elle sera justement l’occasion de mieux préciser le contrat didactique général pour la classe de mathématiques. Les situations problèmes qui suivront auront alors plus de chance de se dérouler de manière optimale.

Gestion des débats mathématiques entre élèves

La gestion des débats mathématiques entre élèves est une question complexe – facteurs explicatifs nombreux et interdépendants – et un domaine difficile à maîtriser, comme en témoignent les constats récurrents des chercheurs, des formateurs et des inspecteurs depuis au moins les années 80.

Cette section contient une liste non exhaustive de difficultés régulièrement rencontrées et de conseils pour tenter d’y remédier. Elle prétend être suffisamment riche pour progresser dans ce domaine.

Pour commencer, il semble important de noter que le modèle suivant fonctionne rarement en classe :

Présentation et reformulation du problème

Recherche individuelle

Recherche en groupes

Mise en commun

Conclusion et institutionnalisation.

Le modèle suivant a plus de chances de fonctionner :

Présentation et reformulation du problème

Recherche individuelle

Courte mise en commun pour vérifier que les élèves cherchent le bon problème

Poursuite de la recherche individuelle

Consigne qui justifie objectivement l’intérêt d’une recherche en groupes aux yeux des élèves

Recherche en groupes

Phase de préparation par chaque groupe de sa communication au reste de la classe

Mise en commun

Conclusion et institutionnalisation.

Ce dernier modèle reste un peu trop simpliste et est formulé de façon extrêmement synthétique mais il peut tout de même servir de guide.

Tard dans la séance, des élèves n’ont pas bien compris ce qu’il fallait ou ce qu’il était possible de tenter (dévolution incomplète)

C’est régulièrement le cas lorsque la découverte du problème et sa dévolution reposent « trop » sur la lecture d’un énoncé écrit. En effet, l’écrit bloque couramment les élèves en mathématiques. Les énoncés sont très synthétiques et chaque mot « compte ».

S’ils ont mal compris l’énoncé ou s’ils finissent par oublier certaines de ses contraintes, les élèves ne mènent alors pas une recherche individuelle suffisante sur le problème correct. Les travaux de groupes ou les échanges qui suivent ne peuvent donc pas se dérouler de façon optimale (travaux de groupes peu efficaces, interactions réduites entre les élèves, etc.)

Si une mise en commun montre que des élèves n’ont pas bien compris le problème, il faut l’expliquer ou le faire expliquer à nouveau, c’est évident, mais il faut aussi généralement lancer une nouvelle recherche individuelle, même courte, pour que le travail en groupes et les phases suivantes soient plus riches et plus faciles à gérer.

Les échanges entre élèves sont absents ou largement minoritaires

Les débats restent alors fréquemment sous la direction relativement stricte de l’enseignant.

Ces séances sont des « cours dialogués » où les questions de l’enseignant sont plutôt fermées et attendent des réponses courtes et faciles d’accès. Ainsi, les élèves ne peuvent se saisir que de ces questions fermées et ponctuelles, ils n’apprennent pas à communiquer entre eux et à gérer collectivement la résolution du problème posé par l’enseignant.

Les effets Topaze sont nombreux à ces occasions. Dans ces cas, l’enseignant peut plutôt poser des questions plus ouvertes pour permettre l’existence de débats et de preuves entre pairs. Parfois, il est préférable de remettre une phase de débat et les phases suivantes à un autre moment. En effet, la recherche et le travail en groupes peuvent fatiguer suffisamment les élèves pour qu’ils n’aient plus ensuite l’énergie ou l’envie de débattre.

Les échanges entre élèves n’ont lieu que juste après des sollicitations de l’enseignant

C’est le signe que les élèves n’ont pas l’habitude d’intervenir dans le débat sans l’autorisation de l’enseignant. Il faut proposer régulièrement des situations RPP, même sur des temps courts, pour modifier le contrat didactique de la classe.

Des élèves s’arrêtent assez vite de chercher ou de débattre

Ce peut être le signe que l’enseignant utilise principalement un fichier ou un manuel « traditionnel » pour gérer son enseignement : les élèves ont plutôt l’habitude de pratiquer des exercices d’application, certes plus ou moins complexes mais ils n’ont pas l’habitude de chercher de véritables problèmes. Le contrat didactique n’est pas adéquat. Ils attendent souvent que l’enseignant valide leurs propositions, ce qu’il doit éviter de faire trop vite pour favoriser l’autonomie des élèves (voir plus bas).

Les consignes de l’enseignant lors des mises en commun des productions orales ou écrites des élèves n’ont pas de spécificité vis-à-vis des mathématiques

Les consignes risquent de ne pas être adaptées pour favoriser des débats mathématiques.

Ce sont principalement des consignes du type :

Écoutez, cela pourrait vous donner des idées !
On doit s’écouter !
Racontez comment vous avez fait
Montrez/Expliquez-moi (permet difficilement de dévoluer un débat aux élèves).

D’autres consignes sont des effets Topaze prononcées avec une intonation, ou une mimique, suggérant quelle est la bonne réponse :

Vous êtes sûrs ?
Écoutez bien, je crois que untel a trouvé quelque chose d’intéressant !

Les consignes pourraient être plus souvent du type :

Viens/Venez expliquer aux autres
Viens/Venez convaincre les autres que vous pensez avoir trouvé ou compris quelque chose
Les autres, écoutez et dites si vous êtes d’accord ou non, si vous êtes convaincus ou non et expliquez pourquoi.

L’enseignant pourrait (devrait ?) se poser davantage comme animateur du débat et ne devrait pas prendre position, au moins pas avant que de véritables débats entre élèves n’aient lieu.

Si un consensus s’installe autour d’une idée fausse, il suffit généralement d’exhiber un contre-exemple pour défaire ce consensus et relancer le débat… dans la même séance si les élèves ont encore de l’énergie pour faire vivre ce débat ou sinon lors d’une autre séance.

Les mises en commun de productions des élèves et les débats semblent interminables

Plusieurs facteurs explicatifs probables peuvent être envisagés.

Potentiel de débat insuffisant

Il est possible qu’il n’y ait objectivement pas d’objet qui vaille le coût d’être débattu, par exemple si les élèves sont tous d’accord et que la solution est correcte. Il vaut mieux passer à autre chose et choisir une situation plus pertinente pour une autre fois.

Enjeux, suspens et dévolution des débats

Il faut fixer de véritables enjeux pour les débats entre élèves, notamment sur la validité de ce qui est avancé, ménager un certain suspens, et demander aux élèves de prendre position et de s’engager pour défendre telle ou telle position.

Avant de demander des explications aux élèves qui exposent, l’enseignant devrait laisser la parole aux autres élèves en premier, ne serait-ce que pour qu’ils puissent dire eux-mêmes s’ils ont compris ou non l’exposé de leurs pairs. Sinon, l’enseignant donne alors le signe que c’est lui qui va dire, implicitement ou non, si telle ou telle production est recevable/intéressante ou non. Le débat et la charge de la preuve ne sont pas dévolués aux élèves, le rôle des élèves est alors réduit à celui d’observateur.

Miser sur le travail en groupes

Pour mieux gérer le temps de parole des élèves durant la séance et favoriser de meilleures formulations de leur part. Étant donné que le temps de parole est limité, l’appui sur des moments de travail en groupes est souvent indispensable pour les situations RPP. Par exemple, l’enseignant a plus de productions à gérer avec des groupes de 2 élèves qu’avec des groupes de 4.

Temps spécifique de préparation des élèves pour présenter solutions et arguments

Couramment, la mise en commun suit immédiatement une recherche en groupes. Avant une mise en commun ou un débat, il vaudrait souvent mieux (1) arrêter la recherche et (2) demander aux élèves, même sur un temps court, de préparer leur intervention avec les moyens qu’ils jugent pertinents (affiche ou non, schéma ou non, l’ensemble des calculs ou non, etc.) Cette organisation favorise l’émergence d’explications et de débats de meilleure qualité, tant sur le fond que sur la forme.

Limiter le temps d’intervention des élèves qui exposent

Il peut être judicieux de fixer une limite de temps aux interventions. Si l’explication donnée ne se révèle pas convaincante dans le temps imparti, l’enseignant peut renvoyer les élèves à la consigne de présenter clairement sur ce temps limité.

Si 2 ou 3 élèves/groupes qui viennent de présenter ont été trop lents pour fournir une explication claire et convaincante, il peut même lancer, dans la même séance ou dans une séance à suivre, un nouveau travail en groupes en rappelant les exigences : être clair, concis et convaincant. Ceci concerne tout autant des pistes de solution qui paraissent valides aux yeux élèves que des pistes qui leur semblent invalides. Ainsi, davantage d’élèves travailler la compétence communiquer.

Fatigue des élèves

Les élèves ont cherché le bon problème mais ils sont fatigués. Il vaut mieux reporter la mise en commun des productions et les débats. La séance suivante peut, par exemple, commencer par un travail en groupes de 10-15 min visant à bien se mettre d’accord sur la façon de convaincre rapidement et efficacement les autres élèves de la classe.

Seuls certains élèves/groupes interviennent

L’enseignant peut (devrait ?) interroger tous les élèves/groupes quelles que soient leurs compétences en mathématiques. Ceci contribue aussi à assurer un certain suspens car l’enseignant ne montre pas qu’il choisit certains pour leurs compétences particulières. On peut par exemple :

alterner entre un élève qui lève la main et un autre qui ne lève pas la main
interroger aléatoirement les élèves/groupes (par exemple en utilisant un dé numéroté, ou en choisissant mentalement à l’avance la première lettre du prénom ou du nom de l’élève qu’il va interroger, ou utiliser un tableur)
interroger des élèves restés plus ou moins à l’écart du travail de groupe pour constater qu’il a dysfonctionné. On peut alors rappeler le fait que chacun doit être capable d’expliquer le travail de son groupe et relancer le travail en groupes en temps limité de toute la classe pour faire respecter les règles élémentaires qui auront été précisées.

Ces différentes options réservent d’ailleurs différentes surprises… Le travail en groupes n’a peut-être pas bien fonctionné, des élèves plus ou moins isolés ont été des leaders de groupe sans partager la parole, d’autres avaient une idée qu’ils n’ont pu exprimer dans leur groupe, etc.

Les élèves n’utilisent pas le vocabulaire pertinent

L’exigence d’utiliser le bon vocabulaire peut être parfois malvenue à ce moment. C’est le cas, par exemple, lorsque cela interrompt les échanges entre élèves ou lorsqu’on oblige les élèves à un effort et une attention supplémentaire qui n’apportent pas forcément un gain évident à leurs yeux. L’enseignant doit faire des choix et parfois réserver ce travail sur la pertinence du vocabulaire à un autre moment.

L’enseignant n’arrive pas à comprendre la production ou la solution d’un ou plusieurs élèves

Il peut simplement dire qu’il n’arrive pas à comprendre et qu’il va prendre le temps, plus tard, de l’étudier. De plus, il peut demander aux élèves d’essayer de préparer une présentation de leur travail peut-être plus accessible. Certaines solutions d’élèves peuvent aussi être réellement ardues à comprendre ! L’enseignant peut demander l’aide d’un collègue, d’un conseiller pédagogique, d’un enseignant de mathématiques, d’un formateur ou d’un chercheur.

Les débats arrivent rapidement à la recherche de la « meilleure solution »…

…sans que les élèves aient véritablement mené un premier débat sur la validité des productions, alors même que l’enjeu de la situation n’a jamais été de trouver la meilleure solution mais plutôt de chercher une solution valide et de prouver sa validité par des arguments mathématiques.

Les méthodes par « essais-erreurs » sont parfois écartées à tort des « meilleures méthodes » ou mêmes des méthodes valides alors qu’elles sont valides et parfois plus rapides que d’autres. C’est à l’enseignant d’expliciter les objectifs de tel ou tel moment de la séance. La compétence *chercher *doit être travaillée.

Par ailleurs, il peut être pertinent d’organiser une séance spécifique sur l’analyse des avantages/inconvénients des solutions envisagées. Les élèves sont parfois trop fatigués pour poursuivre le travail ou n’ont pas eu le temps de s’approprier les solutions. Cette séance peut être plus courte que la précédente.

La phase de travail en groupes n’a pas été motivée par une raison spécifique

Les élèves ne comprennent alors pas toujours l’enjeu de cette phase.

En mathématiques, une phase de recherche en groupes est généralement déclenchée :

parce que plusieurs élèves ne trouvent pas la même solution – il va donc falloir tenter de se mettre d’accord
parce que l’enseignant annonce qu’il faut aller plus vite – laissant supposer aux élèves que la recherche en groupes doit permettre d’arriver plus vite et de manière plus sûre à la solution.

Pour user de ces deux options, il ne faut donc pas laisser la recherche individuelle durer trop longtemps, au risque que tous les élèves trouvent une solution valide ou qu’ils trouvent tous les mêmes solutions.

Les mises en commun suivent trop souvent la même succession

Ayant fait le tour des productions des élèves, l’enseignant traite les productions erronées en premier et les meilleures à la fin. Les élèves savent donc qu’il n’est pas pertinent d’écouter ou de débattre des premières contributions, même si l’enseignant insiste pour qu’ils le fassent.

Autres options possibles :

inverser l’ordre de succession des interventions, par exemple en commençant par l’intervention d’un élève ayant des facilités en mathématiques (penser à instaurer un temps limité pour convaincre les autres élèves, sinon le rôle des autres élèves et l’intérêt de la séance risquent d’être limités)
tirer au sort le groupe et/ou l’élève qui va s’exprimer en premier, ce qui fait que l’enseignant ne peut pas être soupçonné de « manipuler » le débat.

L’enseignant a déjà validé les productions de certains élèves

Avant le débat, l’enseignant a pu valider certaines productions implicitement ou non, volontairement ou non.

Ce peut être par un geste, une parole, un regard, une attitude, etc.

Les élèves dont les productions ont déjà été validées en amont du débat :

ont un intérêt moindre à suivre et participer aux débats
ont un intérêt moindre à valider ou à invalider le travail de leurs pairs
ont un intérêt moindre à convaincre leurs pairs de la validité de leur travail.

Il est donc généralement préférable que l’enseignant s’abstienne de tout commentaire avant les phases de débats, mis à part peut-être pour encourager certains élèves.

Références principales

Balacheff, N. (n.d.). pour un Dictionnaire de Didactique des mathématiques. URL http://dico-ddm.blogspot.fr/

Brousseau, G. (1998). Théorie* des situations didactiques*. Grenoble : La pensée sauvage.

Ressource Travail en groupes. (à venir…)

Georget JP. (2009). Activités de recherche et de preuve entre pairs à l’école élémentaire : perspectives ouvertes par les communautés de pratique d’enseignants. Thèse de doctorat. Paris : IREM de Paris 7. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00426603

Note : De multiples autres références ont été utilisées dans mon travail de thèse et ont largement contribué à son élaboration et à ma réflexion, elles ne sont pas reprises ici.

Enseignement des fractions et des nombres décimaux

Tue, 14 Jan 2025 00:00:00 +0000

Que retenir de ce diaporama ?

L’enseignement des fractions et des décimaux est un sujet de recherche qui fait encore débat depuis au moins les années 70, autant en France qu’à l’étranger, autant parmi les chercheurs qu’au niveau des institutions chargées d’établir des programmes ou des recommandations (voir par exemple la thèse de Martinez, 2018).
Rappels mathématiques
Attendu des programmes
Erreurs et difficultés traditionnelles des élèves
Approches traditionnelles des manuels scolaires
Approche ERMEL
Opérations avec les nombres décimaux

Références scientifiques

ERMEL (2012). Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM1, p. 300-321 (nombres rationnels, fractions et décimaux) et p. 390-402 (situations originales basées sur les aires : déterminer l’unité d’aire qui a permis de mesure l’aire d’un polygone, cette mesure étant connue).
ERMEL (2015). Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM2. Sous-chap. Décimaux, fractions p. 363-382 et p. 444-445 (activité classique fractions d’aires).
Coulange, L., Train, G. (2024). Fraction à l’école primaire en France : un « objet » à (re)questionner ?, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 29. DOI.
Hirsch & Roditi (2022). Neurosciences cognitives et apprentissage des nombres rationnels : un point de vue didactique. Petit x, 116, 51-114.

Martinez (2018). Transposition didactique externe et acquisition du concept de fraction : une comparaison internationale entre onze participants aux évaluations TIMSS. Thèse de doctorat. Université Sorbonne Paris Cité.
Martinez, S. & Roditi, E. (2017). Programmes scolaires et apprentissage de la notion de fraction à l’école élémentaire. Quelques enseignements tirés de TIMSS. Education & Formations, 94, 23-40.

Conclusion de l’analyse de l’étude TIMMS 2015, niveau CM1, par Martinez & Roditi (2017, p. 35-36)

la moitié des items portent sur la conception “partie-tout” sous la forme d’un dessin (ex. partages de tartes, voir détails p. 27)
la réussite à un item n’est pas corrélée à la durée de son enseignement, et pas au fait de commencer plus tôt un apprentissage (ex. du Québec, Singapour et Hong Kong, p29)
la réussite d’un pays est corrélée avec le fait que les items évalués sont présents dans les programmes d’enseignement du pays
la réussite à un item portant sur une conception n’est pas corrélée à un item portant sur une autre conception

la réussite aux items portant sur les fractions est corrélée avec les performances globales en mathématiques
la variabilité des performances aux différents items n’est pas la même d’un pays à l’autre
d’autres études sont nécessaires : nature des situations effectivement travaillées dans les classes, durée de l’enseignement comme celle du travail personnel des élèves, formation des enseignants et moyens dont ils disposent pour prévenir et lutter contre la difficulté scolaire.

Références institutionnelles

Programmes actuels de l’école primaire et les documents ressources qui les accompagnent dont Fractions et nombres décimaux au cycle 3 (Ressources d’accompagnement du programme du cycle 3) (réglettes Cuisenaire : appui sur la recherche ?)
Dehaene, S., Potier-Watkins, C., Xi He, C. et Lubineau, M. (2022). Évaluer la compréhension des nombres décimaux et des fractions : Le test de la ligne numérique. Note du CSEN, 5, janvier 2022.

Sander, E., Neagoy, M., Rivier, C,, Scheibling-Sève, C. , Sensevy, G. et Thevenot, C. (2022). De la multiplication aux fractions : réconcilier intuition et sens mathématiques. Synthèse de la recherche et recommandations. CSEN, juin 2022. [Note : un seul chercheur en sciences de l’éducation, Gérard Sensevy, spécialiste en didactique des mathématiques, a participé à sa rédaction]
Neagoy, M. (2025). Enseigner les fractions avec sens… et plaisir ! Le Passeur. La lettre du CSEN, 15, janvier 2025.
Boule, F. (2003). Fractions et décimaux, Approches pédagogiques, 4 p. (toujours présent sur Eduscol, mais quasiment inaccessible au 14/01/2025 sans ce lien direct ) (PDF local)

Fichier joint

Documents pour mettre en oeuvre la progression ERMEL en classe (fichier ZIP)

Définitions

Fraction : Écriture désignant un nombre rationnel
Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction d’un entier sur un autre entier. Les nombres rationnels ont une infinité d’écritures, fractionnaires ou non (ex. $2=\frac{100}{50}$)
Fraction unitaire : Fraction dont le numérateur est 1 (ex. $\frac{1}{5}$)
Fraction décimale : $\frac{\mbox{nombre entier}}{10^n}= \frac{\mbox{nombre entier}}{2^p\times 5^q}$

Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (ex. $1{,}5=\frac{15}{10}$ ; $0{,}3\overline{9}=\frac{4}{10}=0{,}4$).
Écriture décimale et écriture à virgule : Écriture du développement décimal, c’est-à-dire selon les puissances de 10. Il s’agit d’une façon d’écrire un nombre, sans rien dire de sa nature. Par ex. $1{,}33…=\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel alors que $0{,}5$ est un nombre décimal (qui est aussi un nombre rationnel).

Cinq conceptions de la notion fraction

Typologie de Behr, Lesh et Alii (1983, reprise dans Martinez & Roditi, 2017, p. 26)

La fraction « partie-tout » ou « partition » quantifie la relation entre un tout (une unité ou, respectivement, une collection d’unités) et le nombre de parties égales qui le composent. Cette conception est mobilisée dans les propositions « les trois quarts de la tarte ont été mangés » ou « dans cette classe, les trois cinquièmes des élèves sont des filles »
La fraction « rapport » met en relation la mesure de deux parties, sans référence à celle du tout, comme dans la phrase « L’équipe de direction comporte trois femmes pour deux hommes ».

La fraction « opérateur » ne représente pas une quantité mais une transformation. Ainsi, la multiplication du prix affiché par la fraction 4/5 permet de calculer le prix à payer lors d’une remise de 20 %. [c’est aussi le cas avec le puzzle de Brousseau quand 4 cm devient 7 cm, multiplication par 7/4]
La fraction « quotient » correspond au nombre que représente une fraction, elle ne quantifie pas de lien entre un numérateur et un dénominateur ; c’est le cas de la fraction 1/2 quand elle signifie seulement le nombre 0,5.
Une unité étant fixée, une fraction « mesure » est une fraction utilisée pour exprimer la mesure d’une grandeur : par exemple, la longueur d’une corde est 5/4 lorsque la corde tendue coïncide avec cinq reports d’un quart de l’unité.

Note : Les auteurs du CSEN (Sander et al., 2022, p. 21) font référence à une autre catégorisation en indiquant qu’il s’agit des choix de l’approche dite de Singapour.

Erreurs et difficultés récurrentes depuis au moins les années 90

Écriture décimale perçue comme juxtaposition de 2 entiers
et autres difficultés

Quelques illustrations…

Écriture décimale perçue comme juxtaposition de 2 entiers

$3{,}6 \neq 3{,}60$
$3{,}16$ est le successeur de $3{,}15$
$3{,}4 < 3{,}02$ du fait du nombre de chiffres
(fonctionne parfois : $3{,}4 < 3{,}52$)
$3{,}4 <3{,}15$ car $4 < 15$
(fonctionne parfois)
$3{,}4 + 2{,}9 = 5{,}13$ ou encore $7{,}8 \times 2 = 14{,}16$
$3{,}5 \times 100 = 30{,}50$ ou $3{,}500$ ou…

Erreurs renforcées par les formulations du type « 2 virgule 31 » et les écritures $3{,}51$ m = $3$ m $51$ cm = $351$ cm.

Infinité de nombres entre deux décimaux

La représentation ci-dessous des nombres décimaux a un certain intérêt mais ne suffit pas toujours pour que les élèves comprennent que la notion de « successeur » qui existe pour les nombres entiers n’existe pas, ou alors pas de la même manière, pour les nombres décimaux.

Autres difficultés

Difficultés avec les fractions > 1 (num. > dénom.)
Confusion de termes ou de rangs : dixièmes/dizaines, centièmes/centaines (1 ou 4 est le chiffre des dixièmes dans 12,34)
Mémorisation limitée de demi, tiers, quarts (malgré lien possible avec demi/quart d’heure)
Manque d’aisance générale avec les écritures fractionnaires et les écritures décimales

Test de la ligne numérique (Dehaene et al., 2022)

78 % des élèves en début de sixième n’ont pas su placer correctement la fraction $1 \over 2$ au milieu de l’intervalle $[0,1]$. L’analyse des erreurs montre que les élèves confondent souvent une fraction, soit avec l’une de ses composantes entières (1⁄2 $\rightarrow$ 1 ou 2), soit avec le nombre décimal (1,2). La littérature montre que la bonne compréhension de la ligne numérique est fortement prédictive de la réussite ultérieure en mathématiques, et qu’un entrainement dans ce domaine, accompagné d’une pédagogie adaptée, a des effets positifs. (Dehaene et al., 2022, p. 1)

Note : Même forte, une corrélation n’implique pas une causalité : une même cause, comme le manque de sens général donné aux activités mathématiques en classe, peut impacter à la fois la compréhension de la droite numérique, celle des fractions et des décimaux, etc.

Les auteurs précisent d’ailleurs :

Cependant, l’impact du simple fait de jouer à placer des fractions sur la ligne numérique est débattu : les données suggèrent que le jeu lui-même ne suffit pas, et qu’il faut l’accompagner d’un enseignement explicite de ce que sont les fractions et de la manière dont elles se comportent. (p. 7)

Hirsch & Roditi (2022) font une analyse très critique, détaillée et référencée des conclusions du CSEN et plus généralement de l’approche de l’enseignement par la neuroéducation.

Conclusion du CSEN en 2022 :

Un point est fondamental : il faut penser aux fractions comme des multiplications d’un nombre (le numérateur) par une nouvelle unité (qui vaut 1/n, où n est le dénominateur). Par exemple, 2/9, c’est deux fois « un neuvième » : tout se passe comme si on avait changé d’unité, et qu’on comptait à présent en neuvièmes. Il devient alors très facile de comprendre que 2/9 + 1/9, c’est 3/9. Et de même qu’on ne peut pas additionner des mètres et des pieds, on ne peut pas additionner deux fractions, par exemple 1/2 et 1/3, sans commencer par les « réduire au même dénominateur », c’est-à-dire les mesurer avec la même unité. (p. 7)

Note : Une autre note du CSEN (Sander et al., 2022, p. 44, premier paragraphe des Propositions pédagogiques) parle de « recommandation la plus importante ».

Si les nombres décimaux n’entrainent que 9 % d’erreurs, souvent proches de la bonne réponse, les principes du système décimal sont source de grande confusion. L’erreur principale consiste à ne pas savoir ajouter un décimal et un entier, particulièrement dans cet ordre (31 % d’erreurs). Ainsi, au problème 0,2+1, la réponse est souvent 0,3 ou 3 : l’élève ne tient pas bien compte de la virgule, ce qui indique une méconnaissance du sens de ces quantités. […]

Les calculs avec des décimaux entrainent entre 40 % et 90 % d’erreurs. C’est la retenue qui pose à nouveau des difficultés, dans des problèmes comme $0{,}9 + 3{,}7$ ou $3{,}1 – 1{,}3$. […]

Beaucoup d’élèves n’ont pas compris qu’une fraction représente une seule quantité, un seul nombre, et ils choisissent. (Dehaene et al, 2022, p. 6)

Dans ces conditions, il n’est guère surprenant que les calculs avec des fractions, même les plus élémentaires, entrainent entre 75 % et 90 % d’erreurs. Les problèmes n’incluaient pourtant que des questions simples si l’on a compris ce que signifient les grandeurs en jeu (Dehaene et al, 2022, p. 6)

Et enfin, les auteurs indiquent (p. 7) :

La division d’un segment facilite le raisonnement avec des fractions, bien plus que la classique division d’une pizza ou d’une tarte.

Faire pratiquer les constructions géométriques. Leur division ou leur pliage permettent de comprendre la division des longueurs et des surfaces par deux, par trois, par quatre…

De nombreux systèmes scolaires privilégient l’introduction des fractions à l’école élémentaire selon l’interprétation de la partie rapportée au tout. Au cours des dernières décennies, de nombreux travaux ont montré les limites de cette approche et son impact délétère sur une compréhension approfondie des nombres rationnels et des opérations pouvant être réalisées sur ces nombres (Cramer, Behr, Post, & Lesh, 2009). Il y a un enjeu éducatif important à ce que les fractions soient abordées précocement dans les programmes de l’école élémentaire afin que soient données aux élèves l’opportunité de développer une familiarité avec les fractions et une compréhension intuitive des notions fondamentales pour un travail plus avancé lors des cycles 3 et 4. (Sander et al., 2022, p. 21)

L’analyse des résultats de TIMSS 2015 par Martinez & Roditi (2017) conclut de la même façon.

Limite des manuels traditionnels

Vision limitée et peu opérationnelle des fractions et des nombres décimaux

Quadrillages et pizzas : unité pas toujours précisée quand le numérateur est supérieur au dénominateur :
Nombres décimaux introduits comme mesures : 3,51 m = 3 m 51 cm = 351 cm
Maximum de trois chiffres après la virgule et peu d’utilisation de formulations équivalentes : 2 unités et 31 centièmes, 2 unités 3 dixièmes 1 centième , 231 centièmes, 23 dixièmes et 1 centième…

Que faire dans l’état actuel des recherches scientifiques ?

s’assurer de la variété des situations proposées et des conceptions de la fraction travaillées
privilégier l’approche ERMEL au cycle 3 pour ce qui concerne la conception « mesure » des fractions ($3/4=3 \times \frac{1}{4}$ dans un contexte de longueur)

Illustration à partir de quadrillages

Extraits de la thèse de Martinez, 2018, p. 40-44. Pour chaque cas, il s’agit d’évaluer la fraction représentée par la partie grisée.

Item « libéré » de TIMSS 2015 portant sur les fractions (Mullis et al., cité par Coulange & Train, 2024).

À noter, l’absence des traits de partage alors qu’ils sont couramment présents dans les manuels français.

Les programmes

Précisions données dans les programmes des cycles 2 et 3, et le doc. Eduscol Fractions et nombres décimaux au cycle 3 (2016, p. 6 et suiv.)

Introduction des fractions « partie-tout» dès le CE1
Introduction des fractions « mesure » dès le CM1 (période 1 d’après BOEN, 12/01/23)
Introduction de l’écriture à virgule en CM1, à partir des fractions décimales et en co-existence avec elles
Travailler le fait que chaque rang de l’écriture décimale est un multiple de 10 du rang inférieur

Les ruptures et continuités énoncées [dans le paragraphe précédent] expliquent le choix indiqué dans les programmes, de construire les décimaux à partir des fractions décimales, dès le début du cycle 3.

pour leur donner du sens

pour donner du sens aux calculs et aux comparaisons de nombres (écritures fractionnaires et à virgule)

pour distinguer le nombre et ses différentes écritures

pour résoudre des problèmes

(Source : Doc. Eduscol Fractions et nombres décimaux, 2016, p. 7)

Introduction de fractions simples puis écriture sous forme fractionnaire
- pour résoudre des problèmes avec fractionnement de l’unité (ex. d’un morceau de ficelle comme unité pour mesurer les longueurs dans la classe, p. 8)
- la fraction de l’unité (ex. 1/4) devient la nouvelle unité de comptage (7/4 = 1/4 + 1/4…)
- travail avec des fractions inférieures ET supérieures à 1 dès le CM1
Introduction des fractions décimales (comparer, ranger, encadrer, intercaler, calculer)
Introduction de l’écriture à virgule

La fraction comme quotient n’intervient qu’en sixième.

(Source : Doc. Eduscol Fractions et nombres décimaux, 2016, p. 7-14)

Synthèse de l’approche ERMEL

Introduction des fractions simples : nouveaux nombres pour résoudre un problème de mesure de segments à l’aide d’une bande-unité, là où les entiers sont inefficaces. Assurer une certaine familiarité avec des fractions usuelles et les fractions décimales ($\frac{…}{2}$, $\frac{…}{4}$, $\frac{…}{8}$, $\frac{…}{3}$), écritures équivalentes, droites graduées
Introduction des fractions décimales : reprise d’activités déjà réalisées avec les fractions simples ($\frac{…}{10}$, $\frac{…}{100}$, $\frac{…}{1000}$)
Introduction de l’écriture décimale avec un tableau de numération ($\frac{35}{10}=3+\frac{5}{10}$ s’écrit $3{,}5$)
Prendre les $\frac{p}{q}$ d’un nombre (ex. $\frac{3}{4}$ de $40$)

Séance 1 : 1 bande unité et 3 feuilles !

Feuille segment personnel (feuille 1)

Feuille message (feuille 2)

Feuille des segments (feuille 3)

Les élèves reçoivent :

une bande unité (la même pour tous)
une feuille segment personnel (trois longueurs différentes au sein de la classe)
une feuille message

Le message doit décrire leur segment personnel en utilisant la bande unité afin que le destinataire le retrouve sur la feuille des segments.

Consigne

Écrire un message sur la feuille message.

Ce message devra permettre à celui qui le lira de retrouver, sur la feuille des segments, le segment qui a la même longueur que votre segment personnel.

Vous ne pouvez pas utiliser votre double-décimètre, mais vous pouvez utiliser la bande unité (et la plier si nécessaire).

Échanger les messages entre élèves
Distribution des feuilles des segments
Sur la feuille des segments, identifier le segment qui correspond au message

Récupérer sa feuille message
Vérifier si le récepteur de son message a identifié le bon segment sur la feuille des segments
Compléter la feuille message

Exemples de productions d’élèves (ERMEL CM1, 2012, p. 408-409)

Exploitation des productions

Recensement des messages pour $AB =2u+\frac{1}{2}u=\frac{5}{2}u$ (segment 2)
- Introduction des fractions $\frac{…}{2}$ et du mot demi
- Vérification collective et individuelle avec le matériel
- Discussion des productions qui ont utilisé la largeur de la bande
Idem avec $CD =\frac{7}{4}u=1u+\frac{3}{4}u=\frac{3}{2}u+\frac{1}{4}u$ (segment 5)
Idem avec $EF =2u+\frac{1}{8}u$ (segment 6)
Éventuellement des écritures soustractives
Affichage collectif explicatif pour 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$

Exemple d’affichage de synthèse

Conseils pratiques pour la séance 1

Préparer avec attention les différentes consignes orales
Imprimer les feuilles sur la même imprimante ou le même photocopieur
Distribuer le matériel aux élèves dans des enveloppes individuelles (plus pratique et rapide à distribuer)
Gestion de l’hétérogénéité : Certains segments se découpent en $\frac{1}{2}$ (plutôt pour les élèves les moins à l’aise en mathématiques), d’autres en $\frac{1}{4}$ ou en $\frac{1}{8}$ (plutôt pour les élèves les plus à l’aise en mathématiques)
Ne pas attendre que tous les élèves aient fini pour échanger les messages : la situation sert essentiellement à problématiser et faire émerger les premières stratégies.

Séances suivantes

Mesure et vérification collective de chaque segment de la feuille des segments (variation des écritures)
Construction de segments de longueur donnée (ex. $OA=1u + \frac{5}{4}u$ ou encore $OC=\frac{5}{2}+\frac{1}{8}u$)
Comparaison de longueur sans matériel, placement sur droite graduée
$OA=1u+\frac{5}{2}u$, $OB=\frac{7}{2}u$, $OC=2u+\frac{2}{2}u+\frac{1}{4}u$, $OD=\frac{10}{4}u$, $OD=1u+\frac{15}{8}u$
Comparaison d’écritures fractionnaires puis production de plusieurs écritures pour une longueur donnée ($\frac{18}{8}$, $3+\frac{1}{4}$...)

Exercices sur droites graduées en $\frac{1}{3}$, en $\frac{1}{5}$, en $\frac{1}{10}$ : lire une abscisse, placer un point, calculer la distance
Construction de l’unité à partir du $\frac{1}{100}$ de l’unité

Introduction de l’écriture à virgule en plaçant des nombres fractionnaires dans un tableau de numération

$\frac{120}{10}=12$ $\rightarrow$ On sait placer ce nombre.

$\frac{35}{10}=3+\frac{5}{10}$ $\rightarrow$ Ajout d’une colonne pour les dixièmes.

$35$ dixièmes = $3$ unités $5$ dixièmes

En l’absence de tableau, il faudra écrire $3{,}5$ avec une virgule pour différencier $35$ ($35$ unités) et $3{,}5$ ($35$ dixièmes).

$\frac{273}{100}=2+\frac{7}{10}+\frac{3}{100}=2{,}73$ $\rightarrow$ Ajout d’une colonne pour les centièmes.

On peut continuer de compléter le tableau avec les millièmes, dix-millièmes, etc.

Programmation ERMEL CM1

Périodes	Objectifs
2	Utiliser des fractions simples (bande unité)
3	Utiliser des fractions simples (droite graduée), écriture à virgule
4	Comparaison de nombres décimaux (procédures personnelles), jeux du portrait, intercalation
5	Nombres décimaux, addition et soustraction, droite graduée et distances entre deux points, quadrillages et aires (p. 390)

Programmation ERMEL CM2

Périodes	Objectifs
1-2	Situations similaires au CM1
3	Mesures, écritures décimales (1,5 m) et complexes (1 m 50 cm), $\times 10, 100...$, règles pour comparer des décimaux
4	Décimaux et changement d'unité, multiplier un décimal par un entier
5	$\times 10, 100...$ dans un contexte de monnaie, calculer $\frac{p}{q}$ d'une quantité (par exemple $\frac{7}{8}$ de $32$)

ERMEL et le calcul avec les fractions et les nombres décimaux

Dès le début de la séquence, les élèves apprennent à additionner des fractions simples et à trouver des fractions équivalentes (sans recourir à la technique de mise au même dénominateur telle qu’ils la verront au collège).

Ces techniques sont ensuite étendues au cas des fractions décimales.

Les élèves peuvent découvrir des techniques de calcul avec les nombres décimaux en se reportant à leur décomposition en sommes de fractions décimales.

Exemple

Soit l’addition $3{,}51 + 1{,}9$, les élèves savent que

$3{,}51 = 3 + \frac{5}{10} + \frac{1}{100}$
$1{,}9 = 1 + \frac{9}{10}$

Ayant déjà calculé avec des fractions décimales, ils peuvent en déduire

$$3{,}51 + 1{,}9 = (3 + \frac{5}{10} + \frac{1}{100}) + (1+\frac{9}{10})$$

Puis

$$3{,}51 + 1{,}9 = 4 + \frac{14}{10} + \frac{1}{100}= 4 + 1 + \frac{4}{10} + \frac{1}{100} = 5{,}41$$

Ainsi, les élèves découvrent différentes opérations :

Addition nombre décimal + nombre entier/décimal : méthode personnelle puis conventionnelle
Soustraction : idem
Multiplication/Division d’un nombre décimal par un nombre entier : idem
Multiplication/Division d’un nombre décimal par 10, 100… : même explication que pour les entiers

La division d’un nombre décimal par un entier peut se traiter ainsi :

$$3{,}4 : 2 = 34 \textrm{ dixièmes} : 2 = 17 \text{ dixièmes} = 1{,}7$$

Cette technique permet de comprendre la technique usuelle basée sur la division euclidienne en potence.

Note : La multiplication et la division de deux nombres décimaux relèvent généralement du programme du collège.

Division décimale en potence

Elle peut se travailler dès que l’écriture décimale a été introduite et travaillée :

poser la division en potence comme pour une division euclidienne
considérer le reste (par exemple 3 unités)
l’écrire en dixièmes (30 dixièmes)
poursuivre la division et trouver des dixièmes au quotient
réitérer avec les centièmes, millièmes, etc. centièmes… au quotient.

Note : Pour l’introduction de la division en potence avec la situation de partage des billets, voir Ermel CM2.

Multiplication de deux nombres décimaux

Il n’y a plus d’addition réitérée possible, le mot « fois » n’est plus pertinent : $$13{,}25 \times{} 7{,}6 \neq 13{,}25 \mbox{ fois } 7{,}6$$

En toute rigueur, il faut employer la formule « multiplié par ».

Multiplication de deux nombres décimaux

Soit la multiplication $13{,}25 \times{} 7{,}6$.

Les deux méthodes nécessitent que les élèves aient travaillé la multiplication et la division par 10, 100, 1000… en calcul mental.

Méthode 1

$7{,}6 \times{} 10 = 76$ permet de se ramener à $13{,}25 \times{} 76 = 1007$, c’est à dire une multiplication déjà connue d’un nombre décimal par un nombre entier.

Il faut ensuite diviser le produit $1007$ par $10$ pour « annuler » l’effet du $\times{} 10$.

Ce qui donne le produit recherché : $1007 : 10 = 100{,}7$.

Méthode 2 (plus proche de la technique usuelle)

$(13{,}25 \times{} 100) \times{} (7{,}6 \times{} 10) = 1325 \times{} 76 = 100{,}700$

Puisqu’on a multiplié le produit initial par $10 \times{} 100=1000$, il faut ensuite le diviser par 1000.

Cette méthode explique et justifie la stratégie de comptage usuelle des chiffres après la virgule.

Situations de numération et de calcul mental

Il est souvent possible d’adapter des situations déjà recontrées avec les nombres entiers :

Rouleau des nombres : de $\frac{1}{10}$^e en $\frac{1}{10}$^e, de $\frac{1}{100}$^e en $\frac{1}{100}$^e
Portrait de nombres : un nombre qui a 15 dixièmes et 2 unités ($1{,}5+2=3{,}5$)
Calcul mental
- avec $0{,}25\quad 0{,}5\quad 0{,}75\quad 1$
- avec $2{,}5\quad 5\quad 7{,}5 \quad 10$
- avec $\times{} 10, 100, 1000$...
etc.

Enseignement des fractions et des nombres décimaux

Tue, 14 Jan 2025 00:00:00 +0000

Que retenir de ce diaporama ?

L’enseignement des fractions et des décimaux est un sujet de recherche qui fait encore débat depuis au moins les années 70, autant en France qu’à l’étranger, autant parmi les chercheurs qu’au niveau des institutions chargées d’établir des programmes ou des recommandations (voir par exemple la thèse de Martinez, 2018).
Rappels mathématiques
Attendu des programmes
Erreurs et difficultés traditionnelles des élèves
Approches traditionnelles des manuels scolaires
Approche ERMEL
Opérations avec les nombres décimaux

Références scientifiques

ERMEL (2012). Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM1, p. 300-321 (nombres rationnels, fractions et décimaux) et p. 390-402 (situations originales basées sur les aires : déterminer l’unité d’aire qui a permis de mesure l’aire d’un polygone, cette mesure étant connue).
ERMEL (2015). Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM2. Sous-chap. Décimaux, fractions p. 363-382 et p. 444-445 (activité classique fractions d’aires).
Coulange, L., Train, G. (2024). Fraction à l’école primaire en France : un « objet » à (re)questionner ?, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 29. DOI.
Hirsch & Roditi (2022). Neurosciences cognitives et apprentissage des nombres rationnels : un point de vue didactique. Petit x, 116, 51-114.

Martinez (2018). Transposition didactique externe et acquisition du concept de fraction : une comparaison internationale entre onze participants aux évaluations TIMSS. Thèse de doctorat. Université Sorbonne Paris Cité.
Martinez, S. & Roditi, E. (2017). Programmes scolaires et apprentissage de la notion de fraction à l’école élémentaire. Quelques enseignements tirés de TIMSS. Education & Formations, 94, 23-40.

Conclusion de l’analyse de l’étude TIMMS 2015, niveau CM1, par Martinez & Roditi (2017, p. 35-36)

la moitié des items portent sur la conception “partie-tout” sous la forme d’un dessin (ex. partages de tartes, voir détails p. 27)
la réussite à un item n’est pas corrélée à la durée de son enseignement, et pas au fait de commencer plus tôt un apprentissage (ex. du Québec, Singapour et Hong Kong, p29)
la réussite d’un pays est corrélée avec le fait que les items évalués sont présents dans les programmes d’enseignement du pays
la réussite à un item portant sur une conception n’est pas corrélée à un item portant sur une autre conception

la réussite aux items portant sur les fractions est corrélée avec les performances globales en mathématiques
la variabilité des performances aux différents items n’est pas la même d’un pays à l’autre
d’autres études sont nécessaires : nature des situations effectivement travaillées dans les classes, durée de l’enseignement comme celle du travail personnel des élèves, formation des enseignants et moyens dont ils disposent pour prévenir et lutter contre la difficulté scolaire.

Références institutionnelles

Programmes actuels de l’école primaire et les documents ressources qui les accompagnent dont Fractions et nombres décimaux au cycle 3 (Ressources d’accompagnement du programme du cycle 3) (réglettes Cuisenaire : appui sur la recherche ?)
Dehaene, S., Potier-Watkins, C., Xi He, C. et Lubineau, M. (2022). Évaluer la compréhension des nombres décimaux et des fractions : Le test de la ligne numérique. Note du CSEN, 5, janvier 2022.

Sander, E., Neagoy, M., Rivier, C,, Scheibling-Sève, C. , Sensevy, G. et Thevenot, C. (2022). De la multiplication aux fractions : réconcilier intuition et sens mathématiques. Synthèse de la recherche et recommandations. CSEN, juin 2022. [Note : un seul chercheur en sciences de l’éducation, Gérard Sensevy, spécialiste en didactique des mathématiques, a participé à sa rédaction]
Neagoy, M. (2025). Enseigner les fractions avec sens… et plaisir ! Le Passeur. La lettre du CSEN, 15, janvier 2025.
Boule, F. (2003). Fractions et décimaux, Approches pédagogiques, 4 p. (toujours présent sur Eduscol, mais quasiment inaccessible au 14/01/2025 sans ce lien direct ) (PDF local)

Fichier joint

Documents pour mettre en oeuvre la progression ERMEL en classe (fichier ZIP)

Définitions

Fraction : Écriture désignant un nombre rationnel
Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction d’un entier sur un autre entier. Les nombres rationnels ont une infinité d’écritures, fractionnaires ou non (ex. $2=\frac{100}{50}$)
Fraction unitaire : Fraction dont le numérateur est 1 (ex. $\frac{1}{5}$)
Fraction décimale : $\frac{\mbox{nombre entier}}{10^n}= \frac{\mbox{nombre entier}}{2^p\times 5^q}$

Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (ex. $1{,}5=\frac{15}{10}$ ; $0{,}3\overline{9}=\frac{4}{10}=0{,}4$).
Écriture décimale et écriture à virgule : Écriture du développement décimal, c’est-à-dire selon les puissances de 10. Il s’agit d’une façon d’écrire un nombre, sans rien dire de sa nature. Par ex. $1{,}33…=\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel alors que $0{,}5$ est un nombre décimal (qui est aussi un nombre rationnel).

Cinq conceptions de la notion fraction

Typologie de Behr, Lesh et Alii (1983, reprise dans Martinez & Roditi, 2017, p. 26)

La fraction « partie-tout » ou « partition » quantifie la relation entre un tout (une unité ou, respectivement, une collection d’unités) et le nombre de parties égales qui le composent. Cette conception est mobilisée dans les propositions « les trois quarts de la tarte ont été mangés » ou « dans cette classe, les trois cinquièmes des élèves sont des filles »
La fraction « rapport » met en relation la mesure de deux parties, sans référence à celle du tout, comme dans la phrase « L’équipe de direction comporte trois femmes pour deux hommes ».

La fraction « opérateur » ne représente pas une quantité mais une transformation. Ainsi, la multiplication du prix affiché par la fraction 4/5 permet de calculer le prix à payer lors d’une remise de 20 %. [c’est aussi le cas avec le puzzle de Brousseau quand 4 cm devient 7 cm, multiplication par 7/4]
La fraction « quotient » correspond au nombre que représente une fraction, elle ne quantifie pas de lien entre un numérateur et un dénominateur ; c’est le cas de la fraction 1/2 quand elle signifie seulement le nombre 0,5.
Une unité étant fixée, une fraction « mesure » est une fraction utilisée pour exprimer la mesure d’une grandeur : par exemple, la longueur d’une corde est 5/4 lorsque la corde tendue coïncide avec cinq reports d’un quart de l’unité.

Note : Les auteurs du CSEN (Sander et al., 2022, p. 21) font référence à une autre catégorisation en indiquant qu’il s’agit des choix de l’approche dite de Singapour.

Erreurs et difficultés récurrentes depuis au moins les années 90

Écriture décimale perçue comme juxtaposition de 2 entiers
et autres difficultés

Quelques illustrations…

Écriture décimale perçue comme juxtaposition de 2 entiers

$3{,}6 \neq 3{,}60$
$3{,}16$ est le successeur de $3{,}15$
$3{,}4 < 3{,}02$ du fait du nombre de chiffres
(fonctionne parfois : $3{,}4 < 3{,}52$)
$3{,}4 <3{,}15$ car $4 < 15$
(fonctionne parfois)
$3{,}4 + 2{,}9 = 5{,}13$ ou encore $7{,}8 \times 2 = 14{,}16$
$3{,}5 \times 100 = 30{,}50$ ou $3{,}500$ ou…

Erreurs renforcées par les formulations du type « 2 virgule 31 » et les écritures $3{,}51$ m = $3$ m $51$ cm = $351$ cm.

Infinité de nombres entre deux décimaux

Autres difficultés

Difficultés avec les fractions > 1 (num. > dénom.)
Confusion de termes ou de rangs : dixièmes/dizaines, centièmes/centaines (1 ou 4 est le chiffre des dixièmes dans 12,34)
Mémorisation limitée de demi, tiers, quarts (malgré lien possible avec demi/quart d’heure)
Manque d’aisance générale avec les écritures fractionnaires et les écritures décimales

Test de la ligne numérique (Dehaene et al., 2022)

78 % des élèves en début de sixième n’ont pas su placer correctement la fraction $1 \over 2$ au milieu de l’intervalle $[0,1]$. L’analyse des erreurs montre que les élèves confondent souvent une fraction, soit avec l’une de ses composantes entières (1⁄2 $\rightarrow$ 1 ou 2), soit avec le nombre décimal (1,2). La littérature montre que la bonne compréhension de la ligne numérique est fortement prédictive de la réussite ultérieure en mathématiques, et qu’un entrainement dans ce domaine, accompagné d’une pédagogie adaptée, a des effets positifs. (Dehaene et al., 2022, p. 1)

Les auteurs précisent d’ailleurs :

Cependant, l’impact du simple fait de jouer à placer des fractions sur la ligne numérique est débattu : les données suggèrent que le jeu lui-même ne suffit pas, et qu’il faut l’accompagner d’un enseignement explicite de ce que sont les fractions et de la manière dont elles se comportent. (p. 7)

Hirsch & Roditi (2022) font une analyse très critique, détaillée et référencée des conclusions du CSEN et plus généralement de l’approche de l’enseignement par la neuroéducation.

Conclusion du CSEN en 2022 :

Un point est fondamental : il faut penser aux fractions comme des multiplications d’un nombre (le numérateur) par une nouvelle unité (qui vaut 1/n, où n est le dénominateur). Par exemple, 2/9, c’est deux fois « un neuvième » : tout se passe comme si on avait changé d’unité, et qu’on comptait à présent en neuvièmes. Il devient alors très facile de comprendre que 2/9 + 1/9, c’est 3/9. Et de même qu’on ne peut pas additionner des mètres et des pieds, on ne peut pas additionner deux fractions, par exemple 1/2 et 1/3, sans commencer par les « réduire au même dénominateur », c’est-à-dire les mesurer avec la même unité. (p. 7)

Note : Une autre note du CSEN (Sander et al., 2022, p. 44, premier paragraphe des Propositions pédagogiques) parle de « recommandation la plus importante ».

Si les nombres décimaux n’entrainent que 9 % d’erreurs, souvent proches de la bonne réponse, les principes du système décimal sont source de grande confusion. L’erreur principale consiste à ne pas savoir ajouter un décimal et un entier, particulièrement dans cet ordre (31 % d’erreurs). Ainsi, au problème 0,2+1, la réponse est souvent 0,3 ou 3 : l’élève ne tient pas bien compte de la virgule, ce qui indique une méconnaissance du sens de ces quantités. […]

Les calculs avec des décimaux entrainent entre 40 % et 90 % d’erreurs. C’est la retenue qui pose à nouveau des difficultés, dans des problèmes comme $0{,}9 + 3{,}7$ ou $3{,}1 – 1{,}3$. […]

Beaucoup d’élèves n’ont pas compris qu’une fraction représente une seule quantité, un seul nombre, et ils choisissent. (Dehaene et al, 2022, p. 6)

Dans ces conditions, il n’est guère surprenant que les calculs avec des fractions, même les plus élémentaires, entrainent entre 75 % et 90 % d’erreurs. Les problèmes n’incluaient pourtant que des questions simples si l’on a compris ce que signifient les grandeurs en jeu (Dehaene et al, 2022, p. 6)

Et enfin, les auteurs indiquent (p. 7) :

La division d’un segment facilite le raisonnement avec des fractions, bien plus que la classique division d’une pizza ou d’une tarte.

Faire pratiquer les constructions géométriques. Leur division ou leur pliage permettent de comprendre la division des longueurs et des surfaces par deux, par trois, par quatre…

De nombreux systèmes scolaires privilégient l’introduction des fractions à l’école élémentaire selon l’interprétation de la partie rapportée au tout. Au cours des dernières décennies, de nombreux travaux ont montré les limites de cette approche et son impact délétère sur une compréhension approfondie des nombres rationnels et des opérations pouvant être réalisées sur ces nombres (Cramer, Behr, Post, & Lesh, 2009). Il y a un enjeu éducatif important à ce que les fractions soient abordées précocement dans les programmes de l’école élémentaire afin que soient données aux élèves l’opportunité de développer une familiarité avec les fractions et une compréhension intuitive des notions fondamentales pour un travail plus avancé lors des cycles 3 et 4. (Sander et al., 2022, p. 21)

L’analyse des résultats de TIMSS 2015 par Martinez & Roditi (2017) conclut de la même façon.

Limite des manuels traditionnels

Vision limitée et peu opérationnelle des fractions et des nombres décimaux

Quadrillages et pizzas : unité pas toujours précisée quand le numérateur est supérieur au dénominateur :
Nombres décimaux introduits comme mesures : 3,51 m = 3 m 51 cm = 351 cm
Maximum de trois chiffres après la virgule et peu d’utilisation de formulations équivalentes : 2 unités et 31 centièmes, 2 unités 3 dixièmes 1 centième , 231 centièmes, 23 dixièmes et 1 centième…

Que faire dans l’état actuel des recherches scientifiques ?

s’assurer de la variété des situations proposées et des conceptions de la fraction travaillées
privilégier l’approche ERMEL au cycle 3 pour ce qui concerne la conception « mesure » des fractions ($3/4=3 \times \frac{1}{4}$ dans un contexte de longueur)

Illustration à partir de quadrillages

Extraits de la thèse de Martinez, 2018, p. 40-44. Pour chaque cas, il s’agit d’évaluer la fraction représentée par la partie grisée.

Item « libéré » de TIMSS 2015 portant sur les fractions (Mullis et al., cité par Coulange & Train, 2024).

À noter, l’absence des traits de partage alors qu’ils sont couramment présents dans les manuels français.

Les programmes

Précisions données dans les programmes des cycles 2 et 3, et le doc. Eduscol Fractions et nombres décimaux au cycle 3 (2016, p. 6 et suiv.)

Introduction des fractions « partie-tout» dès le CE1
Introduction des fractions « mesure » dès le CM1 (période 1 d’après BOEN, 12/01/23)
Introduction de l’écriture à virgule en CM1, à partir des fractions décimales et en co-existence avec elles
Travailler le fait que chaque rang de l’écriture décimale est un multiple de 10 du rang inférieur

Les ruptures et continuités énoncées [dans le paragraphe précédent] expliquent le choix indiqué dans les programmes, de construire les décimaux à partir des fractions décimales, dès le début du cycle 3.

pour leur donner du sens

pour donner du sens aux calculs et aux comparaisons de nombres (écritures fractionnaires et à virgule)

pour distinguer le nombre et ses différentes écritures

pour résoudre des problèmes

(Source : Doc. Eduscol Fractions et nombres décimaux, 2016, p. 7)

Introduction de fractions simples puis écriture sous forme fractionnaire
- pour résoudre des problèmes avec fractionnement de l’unité (ex. d’un morceau de ficelle comme unité pour mesurer les longueurs dans la classe, p. 8)
- la fraction de l’unité (ex. 1/4) devient la nouvelle unité de comptage (7/4 = 1/4 + 1/4…)
- travail avec des fractions inférieures ET supérieures à 1 dès le CM1
Introduction des fractions décimales (comparer, ranger, encadrer, intercaler, calculer)
Introduction de l’écriture à virgule

La fraction comme quotient n’intervient qu’en sixième.

(Source : Doc. Eduscol Fractions et nombres décimaux, 2016, p. 7-14)

Synthèse de l’approche ERMEL

Introduction des fractions simples : nouveaux nombres pour résoudre un problème de mesure de segments à l’aide d’une bande-unité, là où les entiers sont inefficaces. Assurer une certaine familiarité avec des fractions usuelles et les fractions décimales ($\frac{…}{2}$, $\frac{…}{4}$, $\frac{…}{8}$, $\frac{…}{3}$), écritures équivalentes, droites graduées
Introduction des fractions décimales : reprise d’activités déjà réalisées avec les fractions simples ($\frac{…}{10}$, $\frac{…}{100}$, $\frac{…}{1000}$)
Introduction de l’écriture décimale avec un tableau de numération ($\frac{35}{10}=3+\frac{5}{10}$ s’écrit $3{,}5$)
Prendre les $\frac{p}{q}$ d’un nombre (ex. $\frac{3}{4}$ de $40$)

Séance 1 : 1 bande unité et 3 feuilles !

Feuille segment personnel (feuille 1)

Feuille message (feuille 2)

Feuille des segments (feuille 3)

Les élèves reçoivent :

une bande unité (la même pour tous)
une feuille segment personnel (trois longueurs différentes au sein de la classe)
une feuille message

Le message doit décrire leur segment personnel en utilisant la bande unité afin que le destinataire le retrouve sur la feuille des segments.

Consigne

Écrire un message sur la feuille message.

Ce message devra permettre à celui qui le lira de retrouver, sur la feuille des segments, le segment qui a la même longueur que votre segment personnel.

Vous ne pouvez pas utiliser votre double-décimètre, mais vous pouvez utiliser la bande unité (et la plier si nécessaire).

Échanger les messages entre élèves
Distribution des feuilles des segments
Sur la feuille des segments, identifier le segment qui correspond au message

Récupérer sa feuille message
Vérifier si le récepteur de son message a identifié le bon segment sur la feuille des segments
Compléter la feuille message

Exemples de productions d’élèves (ERMEL CM1, 2012, p. 408-409)

Exploitation des productions

Recensement des messages pour $AB =2u+\frac{1}{2}u=\frac{5}{2}u$ (segment 2)
- Introduction des fractions $\frac{…}{2}$ et du mot demi
- Vérification collective et individuelle avec le matériel
- Discussion des productions qui ont utilisé la largeur de la bande
Idem avec $CD =\frac{7}{4}u=1u+\frac{3}{4}u=\frac{3}{2}u+\frac{1}{4}u$ (segment 5)
Idem avec $EF =2u+\frac{1}{8}u$ (segment 6)
Éventuellement des écritures soustractives
Affichage collectif explicatif pour 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$

Exemple d’affichage de synthèse

Conseils pratiques pour la séance 1

Préparer avec attention les différentes consignes orales
Imprimer les feuilles sur la même imprimante ou le même photocopieur
Distribuer le matériel aux élèves dans des enveloppes individuelles (plus pratique et rapide à distribuer)
Gestion de l’hétérogénéité : Certains segments se découpent en $\frac{1}{2}$ (plutôt pour les élèves les moins à l’aise en mathématiques), d’autres en $\frac{1}{4}$ ou en $\frac{1}{8}$ (plutôt pour les élèves les plus à l’aise en mathématiques)
Ne pas attendre que tous les élèves aient fini pour échanger les messages : la situation sert essentiellement à problématiser et faire émerger les premières stratégies.

Séances suivantes

Mesure et vérification collective de chaque segment de la feuille des segments (variation des écritures)
Construction de segments de longueur donnée (ex. $OA=1u + \frac{5}{4}u$ ou encore $OC=\frac{5}{2}+\frac{1}{8}u$)
Comparaison de longueur sans matériel, placement sur droite graduée
$OA=1u+\frac{5}{2}u$, $OB=\frac{7}{2}u$, $OC=2u+\frac{2}{2}u+\frac{1}{4}u$, $OD=\frac{10}{4}u$, $OD=1u+\frac{15}{8}u$
Comparaison d’écritures fractionnaires puis production de plusieurs écritures pour une longueur donnée ($\frac{18}{8}$, $3+\frac{1}{4}$...)

Exercices sur droites graduées en $\frac{1}{3}$, en $\frac{1}{5}$, en $\frac{1}{10}$ : lire une abscisse, placer un point, calculer la distance
Construction de l’unité à partir du $\frac{1}{100}$ de l’unité

Introduction de l’écriture à virgule en plaçant des nombres fractionnaires dans un tableau de numération

$\frac{120}{10}=12$ $\rightarrow$ On sait placer ce nombre.

$\frac{35}{10}=3+\frac{5}{10}$ $\rightarrow$ Ajout d’une colonne pour les dixièmes.

$35$ dixièmes = $3$ unités $5$ dixièmes

En l’absence de tableau, il faudra écrire $3{,}5$ avec une virgule pour différencier $35$ ($35$ unités) et $3{,}5$ ($35$ dixièmes).

$\frac{273}{100}=2+\frac{7}{10}+\frac{3}{100}=2{,}73$ $\rightarrow$ Ajout d’une colonne pour les centièmes.

On peut continuer de compléter le tableau avec les millièmes, dix-millièmes, etc.

Programmation ERMEL CM1

Périodes	Objectifs
2	Utiliser des fractions simples (bande unité)
3	Utiliser des fractions simples (droite graduée), écriture à virgule
4	Comparaison de nombres décimaux (procédures personnelles), jeux du portrait, intercalation
5	Nombres décimaux, addition et soustraction, droite graduée et distances entre deux points, quadrillages et aires (p. 390)

Programmation ERMEL CM2

Périodes	Objectifs
1-2	Situations similaires au CM1
3	Mesures, écritures décimales (1,5 m) et complexes (1 m 50 cm), $\times 10, 100...$, règles pour comparer des décimaux
4	Décimaux et changement d'unité, multiplier un décimal par un entier
5	$\times 10, 100...$ dans un contexte de monnaie, calculer $\frac{p}{q}$ d'une quantité (par exemple $\frac{7}{8}$ de $32$)

ERMEL et le calcul avec les fractions et les nombres décimaux

Ces techniques sont ensuite étendues au cas des fractions décimales.

Les élèves peuvent découvrir des techniques de calcul avec les nombres décimaux en se reportant à leur décomposition en sommes de fractions décimales.

Exemple

Soit l’addition $3{,}51 + 1{,}9$, les élèves savent que

$3{,}51 = 3 + \frac{5}{10} + \frac{1}{100}$
$1{,}9 = 1 + \frac{9}{10}$

Ayant déjà calculé avec des fractions décimales, ils peuvent en déduire

$$3{,}51 + 1{,}9 = (3 + \frac{5}{10} + \frac{1}{100}) + (1+\frac{9}{10})$$

Puis

$$3{,}51 + 1{,}9 = 4 + \frac{14}{10} + \frac{1}{100}= 4 + 1 + \frac{4}{10} + \frac{1}{100} = 5{,}41$$

Ainsi, les élèves découvrent différentes opérations :

Addition nombre décimal + nombre entier/décimal : méthode personnelle puis conventionnelle
Soustraction : idem
Multiplication/Division d’un nombre décimal par un nombre entier : idem
Multiplication/Division d’un nombre décimal par 10, 100… : même explication que pour les entiers

La division d’un nombre décimal par un entier peut se traiter ainsi :

$$3{,}4 : 2 = 34 \textrm{ dixièmes} : 2 = 17 \text{ dixièmes} = 1{,}7$$

Cette technique permet de comprendre la technique usuelle basée sur la division euclidienne en potence.

Note : La multiplication et la division de deux nombres décimaux relèvent généralement du programme du collège.

Division décimale en potence

Elle peut se travailler dès que l’écriture décimale a été introduite et travaillée :

poser la division en potence comme pour une division euclidienne
considérer le reste (par exemple 3 unités)
l’écrire en dixièmes (30 dixièmes)
poursuivre la division et trouver des dixièmes au quotient
réitérer avec les centièmes, millièmes, etc. centièmes… au quotient.

Note : Pour l’introduction de la division en potence avec la situation de partage des billets, voir Ermel CM2.

Multiplication de deux nombres décimaux

Il n’y a plus d’addition réitérée possible, le mot « fois » n’est plus pertinent : $$13{,}25 \times{} 7{,}6 \neq 13{,}25 \mbox{ fois } 7{,}6$$

En toute rigueur, il faut employer la formule « multiplié par ».

Multiplication de deux nombres décimaux

Soit la multiplication $13{,}25 \times{} 7{,}6$.

Les deux méthodes nécessitent que les élèves aient travaillé la multiplication et la division par 10, 100, 1000… en calcul mental.

Méthode 1

$7{,}6 \times{} 10 = 76$ permet de se ramener à $13{,}25 \times{} 76 = 1007$, c’est à dire une multiplication déjà connue d’un nombre décimal par un nombre entier.

Il faut ensuite diviser le produit $1007$ par $10$ pour « annuler » l’effet du $\times{} 10$.

Ce qui donne le produit recherché : $1007 : 10 = 100{,}7$.

Méthode 2 (plus proche de la technique usuelle)

$(13{,}25 \times{} 100) \times{} (7{,}6 \times{} 10) = 1325 \times{} 76 = 100{,}700$

Puisqu’on a multiplié le produit initial par $10 \times{} 100=1000$, il faut ensuite le diviser par 1000.

Cette méthode explique et justifie la stratégie de comptage usuelle des chiffres après la virgule.

Situations de numération et de calcul mental

Il est souvent possible d’adapter des situations déjà recontrées avec les nombres entiers :

Rouleau des nombres : de $\frac{1}{10}$^e en $\frac{1}{10}$^e, de $\frac{1}{100}$^e en $\frac{1}{100}$^e
Portrait de nombres : un nombre qui a 15 dixièmes et 2 unités ($1{,}5+2=3{,}5$)
Calcul mental
- avec $0{,}25\quad 0{,}5\quad 0{,}75\quad 1$
- avec $2{,}5\quad 5\quad 7{,}5 \quad 10$
- avec $\times{} 10, 100, 1000$...
etc.

Ajout d’un second diaporama sur les ressources d’enseignement (partie 2)

Wed, 11 Dec 2024 00:00:00 +0000

Un second diaporama concernant les ressources d’enseignement est disponible. Il s’adresse initialement à des étudiants en 1^re année de master MEEF, parcours second degré.

Ajout d’un diaporama sur le calcul posé à l’école primaire

Tue, 15 Oct 2024 00:00:00 +0000

Un nouveau diaporama intitulé Vers le calcul posé à l’école primaire a été ajouté à la page des diaporamas.

Il présente les éléments suivants :

différentes techniques opératoires classiques posées d’addition, de soustraction, de multiplication et de division
enseignement de ces techniques sous forme problématisée
liens avec l’enseignement de la numération et du calcul mental.

Vers le calcul posé à l'école primaire

Tue, 15 Oct 2024 00:00:00 +0000

Références

Socle commun de connaissances et de compétences
Programmes en vigueur et documents d’accompagnement actuels (Eduscol)
Girodet, MA. (2001). L’influence des cultures sur les pratiques quotidiennes de calcul. Didier.
Les documents d’accompagnement des programmes 2002-2007 peuvent sembler datés mais ils contiennent des éléments difficilement trouvables ailleurs : Calcul posé et Calcul mental
Le diaporama sur le calcul mental est en rapport direct avec le présent diaporama.

Propositions de définitions

Calcul mental: Effectué mentalement avec ou sans recours à l'écrit selon les acceptions.
Calcul automatisé: Application d'un algorithme connu, ou rappel d'un résultat mémorisé.
Calcul réfléchi: Effectué avec recherche d'une stratégie de calcul.
Technique experte: (généralement) Algorithme usuel d'une des 4 opérations, s'oppose à technique personnelle ou qui change au cas par cas.
Calcul posé: Calcul écrit qui suit une technique experte.
Calcul instrumenté: Utilisant un instrument (calculatrice, tableur, table d'opérations).

Addition et soustractions

Champ conceptuel des structures additives

Les problèmes qui nécessitent une addition ou une soustraction sont en lien direct et doivent se traiter simultanément. C’est la notion de champ conceptuel des structures additives de Gérard Vergnaud (1991).

Les techniques expertes, elles, ne sont pas enseignées simultanément.

Les cas d’addition et de soustractions avec et sans retenues doivent être proposés simultanément, à l’inverse de ce que proposent certains manuels. Ceci favorise la bonne compréhension des techniques associées en lien avec celle de la numération et évite certains obstacles didactiques (càd. causés par l’enseignement lui-même).

Panorama synthétique des procédures élèves

Appui sur du matériel
Procédures $\pm$ imagées : dessin, schéma, file numérique (suite des nombres écrits en chiffres) et droite numérique
Utilisation du surcomptage (ex. compter à partir de 5 jusqu’à 11, càd. augmenter de 6) ou du décomptage (ex. compter de 7 à 5, càd. diminuer de 2)
Calcul sur les nombres après reconnaissance du calcul à effectuer : opération à trous, technique personnelle, technique experte, calculatrice (utilisation possible et souhaitable à tous les niveaux dès le CP).

Techniques personnelles pour additionner

Pour calculer $657+48$, on peut par exemple utiliser la décomposition canonique : $657=600+50+7$, l’associativité et la commutativité de l’addition. Ceci suppose que les élèves aient déjà travaillé ces propriétés lors de séances de calcul mental.

$$ \begin{align} 657 + 48 & = (600 + 50 + 7)+ (40 + 8)\\ & = 600 + 50 + 7 + 40 + 8\\ & = 600 + 50 + 40 + 7 + 8\\ & = 600 + (50 + 40) + (7 + 8)\\ & = 600 + (50 + 40) + (7 + 3 + 5)\\ & = 600 + 90 + 10 + 5\\ & = 600 + 100 + 5 = 705 \end{align} $$

Quelques exemples argumentés d’autres décompositions possibles…

Appui sur le double de 40 (car double de 4 bien connu) et $8d + 2d = 10d = 100$ :

$$ \begin{align} 657 + 48 & = (600 + \mathbf{40} + 17)+ (\mathbf{40} + 8)\\ & = 600 + (40 + 40) + (17 + 8)\\ & = 600 + 80 + 25\\ & = 600 + \mathbf{80} + \mathbf{20} + 5\\ & = 600 + 105\\ \end{align} $$

Appui sur des passages à la dizaine ou la centaine supérieure :

$$ \begin{align} & = 657 + 40 + 3+5\\ & = \mathbf{657} + \mathbf{3} + 40 + 5\\ & = \mathbf{660} + \mathbf{40} + 5\\ & = 700 + 5\\ \end{align} $$

Les stratégies personnelles peuvent être multiples !

Situation Carrelages pour introduire la technique experte de l’addition

Entre numération et principe usuel de l’addition : un bon de commande pour carreler un quadrillage (ERMEL CP).

Exemple de quadrillages à carreler, un par élève.

Première phase : établir un bon de commande par quadrillage

Il me faut … carrés. Je commande … paquets de dix et … carrés isolés. (nombre de carrés isolés inférieur à 9)

Phase suivante : Transformer 2 bons de commande (ou plus) en un unique bon de commande

Cette phase permet aux élèves de découvrir le principe des retenues utilisé dans l’algorithme usuel de l’addition.

On commence par identifier puis additionner séparément les dizaines entre elles et les unités entre elles.

$\rightarrow$

$7-8=15$ mais il est impossible de commander $15$ carrés isolés, donc il faut commander un paquet de $10$ et $5$ carrés isolés.

Les élèves redécouvrent ainsi eux-mêmes le principe de la retenue de l’addition en s’appuyant sur des connaissances de numération.

Une situation similaire, basée sur des sachets de graines et intégrant les centaines, est présentée dans le ERMEL CE1.

Trois repères importants pour la situation Carrelages

Assurer plusieurs séances avec de véritables manipulations afin que les élèves intègrent bien le processus du passage des unités en dizaines, des dizaines en centaines
Insister sur l’anticipation du résultat de l’addition
Favoriser l’auto-validation des élèves avec une calculatrice

Pourquoi apprendre l’addition en colonnes

Avec des séances de calcul mental quotidiennes pertinentes, les élèves deviennent très rapides et à l’aise avec les calculs additifs et soustractifs.

Au moment d’introduire l’addition posée, certains risquent de ne pas voir l’intérêt de poser une addition telle que $657+48$ en colonnes alors qu’ils savent la traiter rapidement mentalement ou en ligne.

Si un calcul mental est plus rapide, l’élève ne devrait pas être obligé de poser l’opération, sauf si l’enseignant justifie cette nécessité.

Illustration avec cet extrait du manuel Cap Maths, CP, Hatier, 2016.

Quelques arguments pour légitimer l’addition en colonnes

Fonctionne pour tous les nombres
Procédé automatisé, parfois plus rapide (mais pas toujours)
Efficace pour additionner plusieurs nombres
Trace des retenues pour vérifier les calculs

Une écriture valide mais non conventionnelle !

$$6\text{ }9\text{ }15 = 6915 \neq 705$$

Il faut traiter / mémoriser / retenir une dizaine (1d) d’où le nom de retenue.

Disgression : Pour mettre en forme des opérations posées complètes ou à trous dans un traitement de textes, utiliser un tableau en plaçant 1 signe ou 1 chiffre par cellule, supprimer les bordures sauf pour les traits utiles.

Place des retenues dans l’addition posée

C’est à l’élève de choisir la place de la retenue qui lui convient, par exemple :

au-dessus de 5d
en dessous de 4d
ailleurs en écrivant qu’il s’agit de 1 dizaine

Techniques « personnelles » de soustraction

Décomposition du plus grand nombre avec un nombre compris entre 10 et 20 pour lui soustraire l’unité du petit nombre

$$ 53 - 26 = 40 + \mathbf{13} - 20 - \mathbf{ 6} = (40 - 20) + (13- 6) = 20 + 7 $$

Décomposition du plus grand nombre et complément à 10

$$ 53 - 26 = 40 + \mathbf{10} + 3 - 20 - \mathbf{ 6} = (40 - 20) + (10 - 6) + 3 = 20 + 4 + 3 $$

Décomposition du plus petit nombre

$$ 53 - 26 = 5\mathbf{3} - 23 - \mathbf{3} = (5\mathbf{3} - \mathbf{3}) - 23 = 50 - 20 - 3 = 47 - 20 $$

Source : Ma, L. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics, Teacher’s Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. Mahwah, New Jersey, London: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.

Techniques expertes pour la soustraction

Plusieurs techniques expertes existent et les programmes ne précisent pas laquelle enseigner.
Comme pour l’addition, il faut traiter simultanément des cas avec et sans « retenue ».
Comme le proposait le document Calcul posé accompagnant les programmes 2002/2007, l’essentiel pourrait être que l’élève maîtrise au moins une technique parmi celle-ci :
- technique par emprunt
- technique par compensation ou par écart constant, et techniques dérivées
- addition à trous (en dernier recours)

Soustraction par emprunt

Principale méthode enseignée dans certains pays

Exemple avec $53-26$.

Avantage : Méthode basée sur la décomposition d’un nombre (inverse des groupements d’unités effectués quand l’élève apprend le codage chiffré des nombres). Compréhension simple.
Inconvénient : Un grand nombre d’échanges rend la méthode coûteuse et augmente le risque d’erreurs (ex : $1000-768$), mais mixage possible avec des stratégies de calcul mental réfléchi ($1000-700-60-8$).

Technique par compensation ou écart constant, et brouillage du sens des « retenues »

Exemple avec $53-26$.

Le 1 posé à gauche du 3 de 53 se juxtapose au nombre 3 pour donner 13.
Le 1 posé à côté du 2 de 26 s’ajoute au 2 pour donner 3.

Comment justifier et expliquer le sens de cette technique aux élèves comme les programmes le demandent ?

Explication basée sur un calcul algébrique

La technique par compensation ou écart constant s’appuie sur le fait que l’on peut ajouter des quantités aux deux termes de la soustraction sans que la différence soit modifiée.

La justification algébrique peut se faire de la façon suivante. Si on veut calculer la différence entre $a$ et $b$, on peut ajouter un nombre $c$ aux deux termes :

$$(a + c) - (b + c)= a + c - b - c = a - b$$

Mais cette explication est inadapté à l’école primaire.

Explication basée sur la ligne numérique

Dans la technique par compensation ou écart constant, la différence ne varie pas en ajoutant 10 (par exemple) aux deux termes traités :

Ajout de 10 ou 1 dizaine aux deux termes de $53-26$.

La soustraction par compensation ou écart constant sous forme posée

« L’astuce » de la soustraction par compensation consiste à ajouter le même nombre, 10, aux deux termes de la différence mais pas de la même manière.

L’écriture au centre ci-dessous n’est pas usuelle en France, mais elle est claire, explicite et pertinente à utiliser avec tous les élèves.

La soustraction posée au centre rend explicitement compte de la compensation tout en restant compréhensible.

Variante : la soustraction « à la russe »

En ajoutant $4$, on obtient $53 - 26 = 57-30$.

En soustrayant $3$, on obtient $53 - 26 = 50-23$.

Une autre technique pour la soustraction

Exemple avec $1234-678$ : En ajoutant $765$ aux deux termes, on obtient des « $9$ » au premier terme, ce qui supprime le problème des retenues :

$1234+765=1999$
$678+765=1443$

Note : Cette technique est présentée dans le manuel Euromaths CE1, 2009.

Mesurer avec une règle cassée ?

Extrait de Rinaldi, A-M. (2013). Mesurer avec une règle cassée pour comprendre la technique usuelle de la soustraction posée. Grand N, 91, 93-119 (en ligne).

Champ conceptuel des structures multiplicatives

Les problèmes de multiplication et de division doivent se traiter simultanément, en lien avec les structures multiplicatives et la notion de champ conceptuel des structures multiplicatives de Gérard Vergnaud (1991).

Les techniques expertes ne sont pas enseignées simultanément.

Les cas de division euclidienne avec reste nul ou non doivent être posées simultanément. Ceci favorise la bonne compréhension de ce qu’est la division euclidienne (voir détails plus loin).

Attention à l’abus de langage : « Il n’y a pas de reste » au lieu de « Le reste est égal à zéro, il est nul ».

Les manuels scolaires ne respectent pas toujours ces exigences importantes.

Panorama des procédures élèves

Appui sur du matériel
Procédures $\pm$imagées : dessin, schéma, file puis droite numériques
Procédures additives/soustractives : additions et soustractions réitérées « pas à pas », avec ou sans regroupements. Exemple avec $ \begin{align} 15\times 58 & = [(15\times 10)+(15\times 10)+\\ & (15\times 10)+(15\times 10)+(15\times 10)] + (15 \times 8) \end{align} $
Procédures multiplicatives : utilisation de multiples spéciaux (ex. multiples de puissances de 10), multiplication à trous, technique experte, calculatrice à tous les niveaux d’enseignement.

Vers une multiplication posée

$\times$ : écriture économique d’additions réitérées : $127 \times{} 2 €$, …fois…, …multiplié par…
Par le calcul mental, travail des propriétés de commutativité (puissance de la $ \times{} $), d’associativité et de distributivité
Montrer l’intérêt d’une technique experte : achat de billets, économie des calculs) dans ERMEL CE1/CE2
Multiplication par 10, 100, 1000
Multiplication par un nombre à 1 chiffre
Multiplication par un nombre à 2 ou 3 chiffres
Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier, puis de deux nombres décimaux (collège)

Différenciation : calculatrice, liste de résultats de multiplications mal maîtrisées.

Multiplier par 10, 100, 1000

Éviter d’introduire la règle « multiplier par 10 revient à ajouter un zéro » à l’origine des erreurs du type $5{,}3\times 10 = 5{,}30$ à l’école et au collègue pour de nombreux élèves
S’appuyer plutôt sur des raisonnements simples et explicites de numération (voir diapositives suivantes)

Explication 1

$35\times 10 = (3 d +5 u) \times 10$ revient à multiplier chaque unité de numération par 10, donc les unités deviennent des dizaines, les dizaines deviennent des centaines, etc. (technique du « glisse-nombre »).

Illustration avec le « glisse-nombre ».

L’explication fonctionne aussi avec les nombres décimaux.

Explication 2

$5 \times 10 = 5 \times 1\mbox{ dizaine} = 5 \mbox{ dizaines} = 50$

$5 \times 20 = 5 \times 2\mbox{ dizaines}=10 \mbox{ dizaines}=100$

$$ \begin{align} 5,3 \times 10 & = 53 \mbox{ dixièmes} \times 10\\ &= (53 \times 1\mbox{ dixième}) \times 10\\ &= 53 \times (1 \mbox{ dixième} \times 10)\\ &= 53 \mbox{ unités} = 53 \end{align} $$

Intermède potentiel

Analyse et formulation d’hypothèses à partir d’une séance de résolution de $45\times 15$ par 3 formes différentes de multiplication posée en Inde (2016).

Multiplication posée

Quatre techniques expertes pour $123 \times 5$ en cycle 2

Après une pratique suffisante, les élèves peuvent aborder la technique la plus experte (avec les retenues écrites de manière compréhensible) :

Pourquoi poser $123 \times 5$ plutôt que $5 \times 123$ ?

Multiplication posée par un nombre à plusieurs chiffres

$$ \begin{align} 123 \times 645 &= 123 \times (6c + 4d + 5u)\\ &= (123 \times 6 c) + (123 \times 4 d) + (123 \times 5 u)\\ &= (123 \times 6) c + (123 \times 4) d + (123 \times 5) u\\ &= 738c + 492d + 615u \end{align} $$

On peut aussi écrire $123 \times 645 = 123 \times (600 + 40 + 5) = 73800 + 4920 + 615$.

Ces écritures relèvent du collège. À l’école, elles peuvent s’écrire de manières variées avec des flèches ou des schémas pour justifier les deux écritures en colonnes suivantes :

Multiplication d’un décimal par un entier

Explication 1

$13{,}25 \times 6 = 1325\mbox{ centièmes} \times 6 = 7950 \mbox{ centièmes}=79{,}5$

Explication 2

Se débarrasser de la virgule avec $13{,}25 \times 100 = 1325$
Calculer le produit $1325 \times 6 = 7950$
Puisqu’on a multiplié le produit par 100, il faut ensuite le diviser par 100 : $7950 : 100 = 79{,}5$

Multiplication de deux décimaux

Comment calculer $13,25 \times 7,6$ ?

Explication 1

Se ramener à une opération connue avec $7,6 \times 10 = 76$
Effectuer $13,25 \times 76 = 1007$ (cad. un décimal $ \times $ un entier)
Puisqu’on a multiplié le produit par 10, il faut ensuite le diviser par 10 : $1007 : 10 = 100,7$.

Explication 2 (justification de la technique usuelle)

$(13,25 \times 100) \times (7,6 \times 10) = 1325 \times 76 = 100\,700$

$100\,700 : (10 \times 100) = 100\,700:1000 = 100,7$.

Puisqu’on a multiplié le produit par $10 \times 100=1000$, on divise ensuite par 1000.

La division par $1000$ explique le fait que l’on compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les nombres décimaux multipliés pour placer la virgule à leur produit.

Technique pour la division

Mise au point : division euclidienne ou non

Sens du mot « division » = partage équitable ou inéquitable travaillé en cycles 1 et 2

Division euclidienne et autres divisions

Exemples de divisions possibles de 25 par 6 : $25=4 \times 6+1=3 \times 6+7=2 \times 6+13=1 \times 6+19$

Effectuer la division euclidienne d’un dividende $a$ par un diviseur $b$, peu importe la technique : calcul posé, calcul mental, calculatrice…, c’est chercher le quotient $q$ et le reste $r$ tels que :

$$a=bq+r \mbox{ avec } 0\leqslant r < b$$

Références pour l’approche de la technique de la division posée en potence

Deux techniques successives dans la progression ERMEL

Une technique de type « multiplication à trous » pour continuer de travailler le calcul réfléchi tout en résolvant des problèmes de division ERMEL CM1 Apprentissages numériques et résolution de problèmes ERMEL, p. 204 et suiv. et notamment p. 230-232.
Une technique introduisant la technique en potence dans une perspective constructiviste : ERMEL CM2 Apprentissages numériques et résolution de problèmes, p. 222 et suiv. et notamment p. 227 et suiv., et p. 262 et suiv. pour la description d’une situation.

Partage de pièces d’or et addition de multiples

Partager équitablement 872 pièces d’or entre 7 pirates

Exemple d’une production possible d’élève :

$$ \begin{align} 7 \times 100 &= 700\\ 7 \times 20 &= 140\\ 7 \times 2 &= 14\\ 7 \times 2 &= 14 \end{align} $$

d’où on obtient $7 \times 124 = 868$, ce qui équivaut à $868$ pièces par pirate. $872 - 868 = 4$ donc il reste $4$ pièces qu’on ne peut pas diviser en $7$. Le fait que le reste soit nul ou non n’introduit aucune difficulté particulière ! Le tâtonnement est relativement rapide et donne une approximation de plus en plus précise du quotient.

Partage de billets et pièces : vers la technique « en potence »

Comment partager 1648 euros en 7 ?

Pour chaque élève ou groupe d’élèves, on distribue  :

1 billet de 1000, 6 billets de 100, 4 billets de 10, 8 billets de 1.

Après quelques tentatives, les élèves arrivent à :

Partager d’abord le « gros billet » de 1000 qu’il faut donc changer en 10 billets de 100. On obtient 16 billets de 100 : cela permet de distribuer 2 billets de 100 chacun.
Il reste 2 billets de 100 que l’on doit changer en billets de 10, on obtient 24 donc billets de 10 : cela permet de distribuer 3 billets de 10 chacun.
Il reste 3 billets de 10 qui, avec les 8 billets/pièces de 1, font 38 billets/pièces de 1 : cela permet de distribuer 5 billets/pièces de 1 à chacun et il reste 3 billets de 1.
On a donc distribué à chacun 2 billets de 100, 3 billets de 10, 5 billets/pièces de 1 soit 2(c) 3(d) 5 (u) = 235 euros et il reste 3 euros.

On arrive ainsi à la technique experte « en potence » (vidéo réalisée avec un tableau interactif).

Variantes possibles de la division posée en potence

Écriture ou non d’un répertoire multiplicatif au fur et à mesure des besoins du calcul
Soustractions intermédiaires posées ou non
Décomposition du quotient en $200 + 30 + 5$, au lieu de $2d + 3d + 5u$ comme sur la vidéo précédente

Effectuer une division euclidienne avec une calculatrice

Avec la touche « $\div$ », on obtient un quotient décimal. Le quotient de la division euclidienne est la partie entière. On peut retrouver le reste en soustrayant au dividende le produit de ce quotient par le diviseur.

Exemple avec $123\div 7$

$123\div 7 \approx 17, 57…$ donc le quotient est 17 (partie entière du nombre affiché)
$17 \times 7=119$
$123-119=4$ donc le reste est 4
$(119\times 7) + 4 = 123$

On peut utiliser la touche « division euclidienne » si la calculatrice en possède une, ce qui n’est pas commun.

Vers le calcul posé à l'école primaire

Tue, 15 Oct 2024 00:00:00 +0000

Références

Socle commun de connaissances et de compétences
Programmes en vigueur et documents d’accompagnement actuels (Eduscol)
Girodet, MA. (2001). L’influence des cultures sur les pratiques quotidiennes de calcul. Didier.
Les documents d’accompagnement des programmes 2002-2007 peuvent sembler datés mais ils contiennent des éléments difficilement trouvables ailleurs : Calcul posé et Calcul mental
Le diaporama sur le calcul mental est en rapport direct avec le présent diaporama.

Propositions de définitions

Calcul mental: Effectué mentalement avec ou sans recours à l'écrit selon les acceptions.
Calcul automatisé: Application d'un algorithme connu, ou rappel d'un résultat mémorisé.
Calcul réfléchi: Effectué avec recherche d'une stratégie de calcul.
Technique experte: (généralement) Algorithme usuel d'une des 4 opérations, s'oppose à technique personnelle ou qui change au cas par cas.
Calcul posé: Calcul écrit qui suit une technique experte.
Calcul instrumenté: Utilisant un instrument (calculatrice, tableur, table d'opérations).

Addition et soustractions

Champ conceptuel des structures additives

Les techniques expertes, elles, ne sont pas enseignées simultanément.

Panorama synthétique des procédures élèves

Appui sur du matériel
Procédures $\pm$ imagées : dessin, schéma, file numérique (suite des nombres écrits en chiffres) et droite numérique
Utilisation du surcomptage (ex. compter à partir de 5 jusqu’à 11, càd. augmenter de 6) ou du décomptage (ex. compter de 7 à 5, càd. diminuer de 2)
Calcul sur les nombres après reconnaissance du calcul à effectuer : opération à trous, technique personnelle, technique experte, calculatrice (utilisation possible et souhaitable à tous les niveaux dès le CP).

Techniques personnelles pour additionner

Quelques exemples argumentés d’autres décompositions possibles…

Appui sur le double de 40 (car double de 4 bien connu) et $8d + 2d = 10d = 100$ :

Appui sur des passages à la dizaine ou la centaine supérieure :

$$ \begin{align} & = 657 + 40 + 3+5\\ & = \mathbf{657} + \mathbf{3} + 40 + 5\\ & = \mathbf{660} + \mathbf{40} + 5\\ & = 700 + 5\\ \end{align} $$

Les stratégies personnelles peuvent être multiples !

Situation Carrelages pour introduire la technique experte de l’addition

Entre numération et principe usuel de l’addition : un bon de commande pour carreler un quadrillage (ERMEL CP).

Exemple de quadrillages à carreler, un par élève.

Première phase : établir un bon de commande par quadrillage

Il me faut … carrés. Je commande … paquets de dix et … carrés isolés. (nombre de carrés isolés inférieur à 9)

Phase suivante : Transformer 2 bons de commande (ou plus) en un unique bon de commande

Cette phase permet aux élèves de découvrir le principe des retenues utilisé dans l’algorithme usuel de l’addition.

On commence par identifier puis additionner séparément les dizaines entre elles et les unités entre elles.

$\rightarrow$

$7-8=15$ mais il est impossible de commander $15$ carrés isolés, donc il faut commander un paquet de $10$ et $5$ carrés isolés.

Les élèves redécouvrent ainsi eux-mêmes le principe de la retenue de l’addition en s’appuyant sur des connaissances de numération.

Une situation similaire, basée sur des sachets de graines et intégrant les centaines, est présentée dans le ERMEL CE1.

Trois repères importants pour la situation Carrelages

Assurer plusieurs séances avec de véritables manipulations afin que les élèves intègrent bien le processus du passage des unités en dizaines, des dizaines en centaines
Insister sur l’anticipation du résultat de l’addition
Favoriser l’auto-validation des élèves avec une calculatrice

Pourquoi apprendre l’addition en colonnes

Avec des séances de calcul mental quotidiennes pertinentes, les élèves deviennent très rapides et à l’aise avec les calculs additifs et soustractifs.

Si un calcul mental est plus rapide, l’élève ne devrait pas être obligé de poser l’opération, sauf si l’enseignant justifie cette nécessité.

Illustration avec cet extrait du manuel Cap Maths, CP, Hatier, 2016.

Quelques arguments pour légitimer l’addition en colonnes

Fonctionne pour tous les nombres
Procédé automatisé, parfois plus rapide (mais pas toujours)
Efficace pour additionner plusieurs nombres
Trace des retenues pour vérifier les calculs

Une écriture valide mais non conventionnelle !

$$6\text{ }9\text{ }15 = 6915 \neq 705$$

Il faut traiter / mémoriser / retenir une dizaine (1d) d’où le nom de retenue.

Place des retenues dans l’addition posée

C’est à l’élève de choisir la place de la retenue qui lui convient, par exemple :

au-dessus de 5d
en dessous de 4d
ailleurs en écrivant qu’il s’agit de 1 dizaine

Techniques « personnelles » de soustraction

Décomposition du plus grand nombre avec un nombre compris entre 10 et 20 pour lui soustraire l’unité du petit nombre

$$ 53 - 26 = 40 + \mathbf{13} - 20 - \mathbf{ 6} = (40 - 20) + (13- 6) = 20 + 7 $$

Décomposition du plus grand nombre et complément à 10

$$ 53 - 26 = 40 + \mathbf{10} + 3 - 20 - \mathbf{ 6} = (40 - 20) + (10 - 6) + 3 = 20 + 4 + 3 $$

Décomposition du plus petit nombre

$$ 53 - 26 = 5\mathbf{3} - 23 - \mathbf{3} = (5\mathbf{3} - \mathbf{3}) - 23 = 50 - 20 - 3 = 47 - 20 $$

Techniques expertes pour la soustraction

Plusieurs techniques expertes existent et les programmes ne précisent pas laquelle enseigner.
Comme pour l’addition, il faut traiter simultanément des cas avec et sans « retenue ».
Comme le proposait le document Calcul posé accompagnant les programmes 2002/2007, l’essentiel pourrait être que l’élève maîtrise au moins une technique parmi celle-ci :
- technique par emprunt
- technique par compensation ou par écart constant, et techniques dérivées
- addition à trous (en dernier recours)

Soustraction par emprunt

Principale méthode enseignée dans certains pays

Exemple avec $53-26$.

Avantage : Méthode basée sur la décomposition d’un nombre (inverse des groupements d’unités effectués quand l’élève apprend le codage chiffré des nombres). Compréhension simple.
Inconvénient : Un grand nombre d’échanges rend la méthode coûteuse et augmente le risque d’erreurs (ex : $1000-768$), mais mixage possible avec des stratégies de calcul mental réfléchi ($1000-700-60-8$).

Technique par compensation ou écart constant, et brouillage du sens des « retenues »

Exemple avec $53-26$.

Le 1 posé à gauche du 3 de 53 se juxtapose au nombre 3 pour donner 13.
Le 1 posé à côté du 2 de 26 s’ajoute au 2 pour donner 3.

Comment justifier et expliquer le sens de cette technique aux élèves comme les programmes le demandent ?

Explication basée sur un calcul algébrique

La technique par compensation ou écart constant s’appuie sur le fait que l’on peut ajouter des quantités aux deux termes de la soustraction sans que la différence soit modifiée.

La justification algébrique peut se faire de la façon suivante. Si on veut calculer la différence entre $a$ et $b$, on peut ajouter un nombre $c$ aux deux termes :

$$(a + c) - (b + c)= a + c - b - c = a - b$$

Mais cette explication est inadapté à l’école primaire.

Explication basée sur la ligne numérique

Dans la technique par compensation ou écart constant, la différence ne varie pas en ajoutant 10 (par exemple) aux deux termes traités :

Ajout de 10 ou 1 dizaine aux deux termes de $53-26$.

La soustraction par compensation ou écart constant sous forme posée

« L’astuce » de la soustraction par compensation consiste à ajouter le même nombre, 10, aux deux termes de la différence mais pas de la même manière.

L’écriture au centre ci-dessous n’est pas usuelle en France, mais elle est claire, explicite et pertinente à utiliser avec tous les élèves.

La soustraction posée au centre rend explicitement compte de la compensation tout en restant compréhensible.

Variante : la soustraction « à la russe »

En ajoutant $4$, on obtient $53 - 26 = 57-30$.

En soustrayant $3$, on obtient $53 - 26 = 50-23$.

Une autre technique pour la soustraction

Exemple avec $1234-678$ : En ajoutant $765$ aux deux termes, on obtient des « $9$ » au premier terme, ce qui supprime le problème des retenues :

$1234+765=1999$
$678+765=1443$

Note : Cette technique est présentée dans le manuel Euromaths CE1, 2009.

Mesurer avec une règle cassée ?

Extrait de Rinaldi, A-M. (2013). Mesurer avec une règle cassée pour comprendre la technique usuelle de la soustraction posée. Grand N, 91, 93-119 (en ligne).

Champ conceptuel des structures multiplicatives

Les techniques expertes ne sont pas enseignées simultanément.

Les cas de division euclidienne avec reste nul ou non doivent être posées simultanément. Ceci favorise la bonne compréhension de ce qu’est la division euclidienne (voir détails plus loin).

Attention à l’abus de langage : « Il n’y a pas de reste » au lieu de « Le reste est égal à zéro, il est nul ».

Les manuels scolaires ne respectent pas toujours ces exigences importantes.

Panorama des procédures élèves

Appui sur du matériel
Procédures $\pm$imagées : dessin, schéma, file puis droite numériques
Procédures additives/soustractives : additions et soustractions réitérées « pas à pas », avec ou sans regroupements. Exemple avec $ \begin{align} 15\times 58 & = [(15\times 10)+(15\times 10)+\\ & (15\times 10)+(15\times 10)+(15\times 10)] + (15 \times 8) \end{align} $
Procédures multiplicatives : utilisation de multiples spéciaux (ex. multiples de puissances de 10), multiplication à trous, technique experte, calculatrice à tous les niveaux d’enseignement.

Vers une multiplication posée

$\times$ : écriture économique d’additions réitérées : $127 \times{} 2 €$, …fois…, …multiplié par…
Par le calcul mental, travail des propriétés de commutativité (puissance de la $ \times{} $), d’associativité et de distributivité
Montrer l’intérêt d’une technique experte : achat de billets, économie des calculs) dans ERMEL CE1/CE2
Multiplication par 10, 100, 1000
Multiplication par un nombre à 1 chiffre
Multiplication par un nombre à 2 ou 3 chiffres
Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier, puis de deux nombres décimaux (collège)

Différenciation : calculatrice, liste de résultats de multiplications mal maîtrisées.

Multiplier par 10, 100, 1000

Éviter d’introduire la règle « multiplier par 10 revient à ajouter un zéro » à l’origine des erreurs du type $5{,}3\times 10 = 5{,}30$ à l’école et au collègue pour de nombreux élèves
S’appuyer plutôt sur des raisonnements simples et explicites de numération (voir diapositives suivantes)

Explication 1

Illustration avec le « glisse-nombre ».

L’explication fonctionne aussi avec les nombres décimaux.

Explication 2

$5 \times 10 = 5 \times 1\mbox{ dizaine} = 5 \mbox{ dizaines} = 50$

$5 \times 20 = 5 \times 2\mbox{ dizaines}=10 \mbox{ dizaines}=100$

Intermède potentiel

Analyse et formulation d’hypothèses à partir d’une séance de résolution de $45\times 15$ par 3 formes différentes de multiplication posée en Inde (2016).

Multiplication posée

Quatre techniques expertes pour $123 \times 5$ en cycle 2

Après une pratique suffisante, les élèves peuvent aborder la technique la plus experte (avec les retenues écrites de manière compréhensible) :

Pourquoi poser $123 \times 5$ plutôt que $5 \times 123$ ?

Multiplication posée par un nombre à plusieurs chiffres

On peut aussi écrire $123 \times 645 = 123 \times (600 + 40 + 5) = 73800 + 4920 + 615$.

Ces écritures relèvent du collège. À l’école, elles peuvent s’écrire de manières variées avec des flèches ou des schémas pour justifier les deux écritures en colonnes suivantes :

Multiplication d’un décimal par un entier

Explication 1

$13{,}25 \times 6 = 1325\mbox{ centièmes} \times 6 = 7950 \mbox{ centièmes}=79{,}5$

Explication 2

Se débarrasser de la virgule avec $13{,}25 \times 100 = 1325$
Calculer le produit $1325 \times 6 = 7950$
Puisqu’on a multiplié le produit par 100, il faut ensuite le diviser par 100 : $7950 : 100 = 79{,}5$

Multiplication de deux décimaux

Comment calculer $13,25 \times 7,6$ ?

Explication 1

Se ramener à une opération connue avec $7,6 \times 10 = 76$
Effectuer $13,25 \times 76 = 1007$ (cad. un décimal $ \times $ un entier)
Puisqu’on a multiplié le produit par 10, il faut ensuite le diviser par 10 : $1007 : 10 = 100,7$.

Explication 2 (justification de la technique usuelle)

$(13,25 \times 100) \times (7,6 \times 10) = 1325 \times 76 = 100\,700$

$100\,700 : (10 \times 100) = 100\,700:1000 = 100,7$.

Puisqu’on a multiplié le produit par $10 \times 100=1000$, on divise ensuite par 1000.

La division par $1000$ explique le fait que l’on compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les nombres décimaux multipliés pour placer la virgule à leur produit.

Technique pour la division

Mise au point : division euclidienne ou non

Sens du mot « division » = partage équitable ou inéquitable travaillé en cycles 1 et 2

Division euclidienne et autres divisions

Exemples de divisions possibles de 25 par 6 : $25=4 \times 6+1=3 \times 6+7=2 \times 6+13=1 \times 6+19$

$$a=bq+r \mbox{ avec } 0\leqslant r < b$$

Références pour l’approche de la technique de la division posée en potence

Deux techniques successives dans la progression ERMEL

Une technique de type « multiplication à trous » pour continuer de travailler le calcul réfléchi tout en résolvant des problèmes de division ERMEL CM1 Apprentissages numériques et résolution de problèmes ERMEL, p. 204 et suiv. et notamment p. 230-232.
Une technique introduisant la technique en potence dans une perspective constructiviste : ERMEL CM2 Apprentissages numériques et résolution de problèmes, p. 222 et suiv. et notamment p. 227 et suiv., et p. 262 et suiv. pour la description d’une situation.

Partage de pièces d’or et addition de multiples

Partager équitablement 872 pièces d’or entre 7 pirates

Exemple d’une production possible d’élève :

$$ \begin{align} 7 \times 100 &= 700\\ 7 \times 20 &= 140\\ 7 \times 2 &= 14\\ 7 \times 2 &= 14 \end{align} $$

Partage de billets et pièces : vers la technique « en potence »

Comment partager 1648 euros en 7 ?

Pour chaque élève ou groupe d’élèves, on distribue  :

1 billet de 1000, 6 billets de 100, 4 billets de 10, 8 billets de 1.

Après quelques tentatives, les élèves arrivent à :

Partager d’abord le « gros billet » de 1000 qu’il faut donc changer en 10 billets de 100. On obtient 16 billets de 100 : cela permet de distribuer 2 billets de 100 chacun.
Il reste 2 billets de 100 que l’on doit changer en billets de 10, on obtient 24 donc billets de 10 : cela permet de distribuer 3 billets de 10 chacun.
Il reste 3 billets de 10 qui, avec les 8 billets/pièces de 1, font 38 billets/pièces de 1 : cela permet de distribuer 5 billets/pièces de 1 à chacun et il reste 3 billets de 1.
On a donc distribué à chacun 2 billets de 100, 3 billets de 10, 5 billets/pièces de 1 soit 2(c) 3(d) 5 (u) = 235 euros et il reste 3 euros.

On arrive ainsi à la technique experte « en potence » (vidéo réalisée avec un tableau interactif).

Variantes possibles de la division posée en potence

Écriture ou non d’un répertoire multiplicatif au fur et à mesure des besoins du calcul
Soustractions intermédiaires posées ou non
Décomposition du quotient en $200 + 30 + 5$, au lieu de $2d + 3d + 5u$ comme sur la vidéo précédente

Effectuer une division euclidienne avec une calculatrice

Exemple avec $123\div 7$

$123\div 7 \approx 17, 57…$ donc le quotient est 17 (partie entière du nombre affiché)
$17 \times 7=119$
$123-119=4$ donc le reste est 4
$(119\times 7) + 4 = 123$

On peut utiliser la touche « division euclidienne » si la calculatrice en possède une, ce qui n’est pas commun.

Ajout de deux diaporamas : ressources d’enseignement (partie 1), enseignement de la géométrie

Sun, 06 Oct 2024 00:00:00 +0000

Deux nouveaux diaporamas ont été ajoutés à la page des diaporamas.

Un premier diaporama concerne les ressources d’enseignement (partie 1), adressé initialement à des étudiants en 1^re année de master MEEF, parcours second degré.

Le second concerne l’enseignement de la géométrie à l’école primaire (éléments théoriques et situations d’enseignement).

Éléments sur l'enseignement de la géométrie à l'école primaire

Sun, 06 Oct 2024 00:00:00 +0000

Une anecdote en classe de 4^e

Une situation de géométrie et un avis partagé par tous les élèves, sauf deux :

« Si on fait un zoom sur l’intersection de deux droites, il y a une infinité de points. »

$\Rightarrow$ Impossibilité du débat entre les partisans de chaque avis.

Deux espaces disjoints

Espace sensible (perçu par nos sens), objets concrets, dessins de figures géométriques

Espace géométrique (mathématique, imaginé), objets abstraits et idéalisés, figures géométriques

Conclusion : différencier/distinguer une droite d’un dessin de droite, un carré d’un dessin de carré, etc.

Type d’espaces sensibles

Micro-espace (trop privilégié ?) : peut-être saisi d’un coup d’oeil ou d’un geste du bras, de la main, l’espace d’une feuille par exemple.
Méso-espace : un déplacement peut y être envisagé, espace des objets dont la taille est comprise entre $0{,}5$ et $50$ fois la taille de l’enfant. Ex. espace de la classe, de la cour, du préau.
Macro-espace : espace dont on ne peut saisir la totalité d’un coup d’oeil comme un quartier d’une ville, une ville, une région. (Brousseau, 1983, Berthelot et Salin)

Faire communiquer espaces sensibles et modélisations géométriques

terrain de jeu rectangulaire $\leftrightarrow$ rectangle
lieu observé $\leftrightarrow$ maquette/plan

Différentes géométries savantes

Topologique : transformation des éléments en conservant le même nombre de trous et le même nombre de points d’intersection (intérieur, extérieur…
Projective : transformation des éléments en conservant les alignements.
Affine : transformations des éléments qui conservent le parallélisme des droites et le rapport de longueur des segments découpés par des parallèles (axiome de Thalès).
Euclidienne : transformations qui réduisent/agrandissent les éléments en conservant les formes, les angles, les rapports. Axiome des parallèles d’Euclide : par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.
Non euclidiennes (sans l’axiome d’Euclide) : hyperbolique ou elliptique (Wikipédia).

Géométrie hyperbolique

Axiome de la géométrie hyperbolique : il existe une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point.

Illustration dans le disque de Poincaré : Une droite hyperbolique est un arc de cercle orthogonal à un cercle unité appelé plan hyperbolique. Ci-dessous, les deux droites CD et CE passent par C. Elles sont distinctes et n’ont aucun point commun avec la droite AB : ces droites distinctes sont donc toutes deux parallèles à AB et passe par C (source : CNRS).

Géométrie elliptique

Axiome de la géométrie elliptique : il n’existe aucune droite parallèle à une droite donnée et passant par un même point.

Illustration sur la sphère : les droites sont les grands cercles de la sphère, chaque paire de points antipodes est considérée comme étant un point. Ci-dessous, Il n’existe aucune droite passant par le point $M$ et parallèle à la droite $D$, c’est-à-dire ne coupant jamais $D$ (source : Wikipédia).

Retour sur espace sensible vs géométrique

Il existe donc plusieurs géométries et la géométrie euclidienne n’est qu’un monde mathématique imaginaire parmi d’autres possibles créés pour résoudre certains problèmes.
Un point et une droite n’existent que dans nos esprits et, contrairement à ce que certains manuels tentent de faire, on ne peut pas donner une définition de ces concepts à l’école primaire. On ne peut que les représenter à l’aide de dessins, de figures, d’objets, etc. dans l’espace sensible.
Les connaissances spatiales acquises dans l’espace sensible aide à l’apprentissage de la géométrie, mais il faut aider l’élève à distinguer explicitement ces deux espaces.

Notion de concept (Vergnaud)

Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherche en didactique des mathématiques, 10(2-3), 133-170.

Un concept est la réunion de trois ensembles :

l’ensemble des situations dans lesquelles il intervient
l’ensemble des règles et procédures de traitement
l’ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations, les procédures de traitement.

Les situations d’enseignement visent à ce que l’élève enrichisse chaque concept (ici géométrique) au fil des ans.

Autres concepts développés par Vergnaud

Concept-en-acte : concept invariant personnel, parfois erroné et pas toujours explicité, d’un ou plusieurs élèves. Synonyme de connaissance (voir exemple du concept d’intersection de deux droites de l’élève vue plus haut).

Théorème-en-acte : procédure personnelle invariante de traitement, parfois erronée et pas toujours explicitée, d’un ou plusieurs élèves.

Champs conceptuels : ensemble des situations et des concepts nécessaires au traitement de ces situations.

Géométries enseignées

Géométrie perceptive : un objet est carré parce que, globalement, je le reconnais comme tel.
Géométrie instrumentée : un objet est carré parce que, à l’aide d’instruments adaptés, je peux en vérifier certaines propriétés.
Géométrie mathématisée : un objet est carré parce que, en fonction d’informations initiales données ou d’informations déduites, je peux en énoncer certaines propriétés qui le caractérisent.

De la maternelle au collège, on passe progressivement de la géométrie perceptive à la géométrie instrumentée et à la géométrie mathématisée, ce qui pose problème lorsque le contrat didactique est inadéquat.

Charnay (1998). De l’école au collège. Grand N*, 62.

Références pour enseigner

ERMEL (2019). Géométrie CP CE1. Hatier.

ERMEL (2006). Apprentissages géométriques et résolution de problèmes, cycle 3. Hatier. (à la date de parution, cycle 3 = CE2, CM1 et CM2)

Boule F. (2001). Questions sur la géométrie et son enseignement. Nathan.

Ministère de l’Éducation Nationale. Programmes et documents d’accompagnement actuels (Eduscol).

Ministère de l’Éducation Nationale. Documents d’accompagnement des programmes 2002-2007, chap. Géométrie au cycle 2 et chap. Grandeurs et mesure. Les documents d’application des programmes de l’époque restent intéressants pour leur liste de compétences au cycle 2 et au cycle 3.

Modèles d’enseignement sous-jacents des manuels scolaires traditionnels

Tentative de définition des objets élémentaires : point, droite
Confusion trace vs concept
Manque de problématisation $\Rightarrow$ conceptions limitées ou erronées des élèves

Sur la conception d’un manuel scolaire et quelques enjeux de l’édition scolaire, voir Peltier M-L. (1998). Histoire d’un manuel scolaire, du projet au produit fini : désirs et désillusions. Grand N, 62, p. 47-68.

Erreurs et difficultés des élèves

Maîtrise de la langue en géométrie

Des types d’écrits récurrents en géométrie qui questionnent : exemples d’évaluations d’entrée en CE2, CM1, et 6$^e$

Trace un carré de mesure 5,5 cm de côté, nomme les ABCD.
Trace un cercle de mesure 2,2 cm. Le centre sera B.

Prend un crayon de papier et une règle.
Fait un carré de 6 cm de long et 6 cm de large et met des lettres
Ensuite fait un rond qui rentre un peut dans le carré
Le rond doit mesurer 6 cm de long et 6 cm de large

Trace un rectangle de 6 cm sur 6. avec un compas tracer aussi un demi-cercle à l’intérieur du rectangle et son autre moitié à l’extérieur. cela va doné une sfère qui doit être posé sur une arête du rectangle.

Trace un segment A-B de 6 cm de longueur.
Puis tracé le segment B-C de 6 cm de longueur en formant un angle droit.
Tacé le segment A-D de 6 cm de longueur formant un angle droit parallèle au segment B-C
Puis rejoindre les points C et D.
Tracer la pointe du compas au milieu du segment A-B
Prendre une écartement de 3 cm
Puis tracé le rond.

Tracer un carré de 6 cm de côté.
Placer les points A, B, C, D.
Vérifié qu’il y est 4 angles droits
Prendre le côté A,B
Mesuré le côté A,B, chercher la moitié de sa longueur :
Mesuré la moité que vous avez trouvé puis mé… un point.
Mêtre la pointe du compa sur le point, raporter le compat sur le point A et tracer le cercle.

Tout d’abors la personne doit avoir un regle et un compas après cela la personne prent sa regle et trace un carre de n’importe quel mesure après cela la personne prent son compas pour trace un cercle dont la moité doit etre à l’interieur du carré

Exemple de trace de référence traditionnelle : discussion sur sa rigueur et son accessibilité pour un élève de l’école primaire.

Principales sources de difficultés des élèves

Manipulation des instruments (vérifier et tracer ne sont pas suffisamment travaillés)
Mémorisation des propriétés des objets géométriques, du vocabulaire et des formulations (ex. carré vs rectangle, cercle de centre $A$ qui passe par $B$, parallèle vs perpendiculaire)
Confusion tracé vs concept géométrique (ex. carré/tracé de carré, point/lettre, droite/trait)
Confusion connaissance géométrique vs connaissance spatiale : perpendiculaire/parallèle et vertical/horizontal, bords des feuilles
Trop grande fréquentation de figures prototypiques chaque année dès la maternelle $\Rightarrow$ reconnaissance difficile de sous-figures dans une figure complexe

Différentes types d’activités de géométrie ou de structuration de l’espace

Situer/se situer
Comparer : donner les points communs et différences entre des objets géométriques
Identifier : donner le nom d’un objet géométrique ou le reconnaître parmi d’autres
Reproduire : faire une copie à partir d’un modèle, à l’échelle ou non
Décrire : donner des informations sur un objet géométrique pour l’identifier ou en construire une copie, à l’échelle ou non
Représenter : faire une figure qui souligne certaines propriétés de l’objet
Construire : faire une copie d’une figure ou d’un solide, à l’échelle ou non, généralement à partir d’une description/représentation

Modalités générales du travail de la géométrie

Dès le cycle 1, proposer de véritables situations problèmes dans l’espace et dans le plan, en appui sur les productions et les formulations d’élèves
Au long de la scolarité, passer de la perception à l’utilisation des propriétés : distinguer explicitement et régulièrement les objets mathématiques de leur représentation (ex. distinguer explicitement un segment de $10\,\mbox{cm}$ et un trait de $10\,\mbox{cm}$, un carré et d’une représentation de carré)
Être attentif aux écrits de référence : Exemples des figures dans des positions prototypiques et non-prototypiques du cycle 1 au cycle 3
Utiliser des supports variés : espace vécu micro/méso/macro, informatique, différents types de papier…

Différents types de papier

Source : http://melusine.eu.org/syracuse/poulecl/divers/papiers/.

Exemples d’activités géométriques du cycle 1 au cycle 3

Retrouver un solide dans une boite opaque

Varier les tailles
Varier les types de formes
Varier les formes des triangles
Faire des affichages avec/sans figures prototypiques
Introduire le vocabulaire mathématique spécifique

Analyse d’affiches en PS, MS et GS

Ces affiches présentent plusieurs éléments pertinents : variété des représentations et des codages, traces écrites adaptées au niveau d’enseignement, photographies de matériel manipulés par les élèves, etc. Les triangles pourraient être plus variés pour certains élèves de PS/MS, le triangle équilatéral prédomine en maternelle, les positions des figures pourraient éviter les positions prototypiques, le vocabulaire spécifique n’est présent que dans l’affiche des GS (recommandation récente des I.O.).

Exemples de représentations de figures non-prototypiques

Exemples en cycle 2 (à gauche) et en cycle 3 (à droite).

Le petit moulin : Problématiser l’usage du compas pour tracer un cercle

Séquence « Le petit moulin », Fénichel & Taveau, Enseigner les mathématiques en cycle 2. Hatier.

Verbalisation autour d’un petit moulin apporté par l’enseignant
Les élèves représentent les pièces à leur manière
Constat : le compas est pertinent pour tracer les pièces
Tentatives d’utilisation du compas
Partage des tentatives et institutionnalisation du vocabulaire et de savoir-faire
Séances d’entraînement : tracé de cercles concentriques, compléter des cercles, tracer des cercles de rayon donné, tracer des cercles repérés sur un quadrillage, réalisation de moulins individuels.

Cercle = points équidistants du centre

Points équidistants du centre

Trouver les points à 7 cm de…
Trouver tous les points à 9 cm de… (vérification au calque)

ERMEL géométrie cycle 3, p. 304 et suiv.

Problématisation possible avec un jeu collectif (ex. lancé sur une cible, chaque élève étant à égale distance de la cible)

Figures planes, solides, propriétés géométriques

Jeu du portrait avec une sélection riche de solides/figures planes (voir sélection de patrons utilisables dès le CP)
Activités de tri et classement de polygones et de solides
- Comparaison, reproduction, construction, description, représentation (ex. à main levée, patrons, dessins en perspective, photos d’agencement de solides)
- Figures planes ou solides, plus ou moins usuels et complexes (cf. sélection ci-dessous)
- Utilisation de matériels (ex. polydrons)

Les figures planes, leurs propriétés, espace sensible vs géométrique

Une situation-problème source potentielle de multiples séquences (CP au CM2)

Sur un papier uni dont les bords sont déchirés, représenter un rectangle ou un carré le plus parfait possible.

Parfait est impossible $\Rightarrow$ Marge d’erreur inhérente à toute mesure et à tout tracé $\Rightarrow$ Distinguer espace sensible et espace géométrique/mathématique.
Travail sur les connaissances et les compétences non maîtrisées des élèves.

Situation problème pour introduire la notion d’angle

Reproduire un polygone dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm, 3 cm et 5 cm.

ERMEL géométrie cycle 3, p. 265 et suiv.

La mesure des côtés ne suffit pas, les élèves obtiennent des quadrilatères de mêmes dimensions et qui diffèrent par leurs angles.

Échange de programmes de construction de figures

Au moins deux figures planes différentes pour ne pas que les élèves voient la figure cible
Organiser de véritables échanges de programmes et de figures entre élèves
Individuellement ou en groupes
Qui valide les productions ? Avec quels critères et quel contrat (isométrique ou à l’échelle) ?
Mesure et erreur associée tolérée : espace sensible vs espace géométrique
Vocabulaire spécifique, précision et concision
Intérêt et fonctionnement du nommage des points
Travail de la communication écrite et orale

Repérage sur quadrillage, plan, carte

Description, reproduction de frises sur quadrillage

Source : Boule (2001), p. 151-155.

Repérage sur quadrillage, plan, carte

Source : Boule (2001), p. 151-155.

Descriptions de figures

Dias, T. (2012). Manipuler et expérimenter en mathématiques. Paris : Magnard (p. 13).

Jeux autour des figures planes et leurs propriétés

Jeux avec les propriétés (Boule, 2001, p. 102-104).

Voir aussi le jeu Kelpolygones de l’IREM de Caen Normandie (groupe Jeux2maths).

Le rectangle à terminer

Le rectangle à terminer : il faut dessiner/constuire le début du côté manquant

ERMEL géométrie cycle 3, p. 187 et suiv.

(validation par juxtaposition des parties 1 et 2)

Activités géométriques et œuvres d’art

Des mathématiques à partir d’oeuvres : exemple avec Piet Mondrian (1872-1944). Sans se situer dans une démarche de type « à la manière de », les techniques découvertes peuvent être réinvesties en arts plastiques dans une démarche de création ou servir d’appui pour l’analyse d’œuvres d’art.

Exploitation de Mondrian (C. Papillon, PES) : construire la figure en respectant les dimensions. Différenciation possible avec le nombre de rectangles/carrés à tracer, importance de la précision.

Autre source possible : Vassily Kandinsky (expressionniste Franco-russe, 1866-1944)

Alignement : construire

En trouvant des alignements

ERMEL géométrie cycle 3, p. 120.

Construire un point en retrouvant ses propriétés

Boule, 2001, p. 154.

Options pour l’enseignant pour positionner le point :

Alignement : Oeilsurtout

ERMEL géométrie cycle 3, p. 127 et suiv.

Supports de travail pour la situation « Œilsurtout ».

Alignement dans un tangram

Agrandir ou reproduire un tangram à l’aide d’alignements

ERMEL géométrie cycle 3, p. 357 ou Boule, 2001, p. 77.

Compléter une mosaïque

Boule, 2001, p. 152-153.

Angles droits et pliage

Prévoir la position du trait de pliage lorsqu’on place le point $A$ sur le point $B$ (feuille non rectangulaire).

ERMEL géométrie, p. 204 et suiv.

Angles droits : recherche et vérification

Recherche d'angles droits (fig. 1) puis d'angles non-droits (fig. 2). Source : ERMEL géométrie cycle 3, p. 214-215.

Angles droits dans une figure complexe

Rechercher tous les angles droits, ou un certain nombre d’entre eux, dans la figure ci-dessous.

ERMEL géométrie cycle 3, p. 216 et suiv.

Solution : il y a 10 angles intérieurs à des figures usuelles (rectangle, carré, triangles rectangles) et 15 angles droits au total.

Angles droits et toile d’araignée

ERMEL géométrie cycle 3, p. 219 et suiv.

Option : manipulation simple de la règle si on n’impose pas les angles droits.

Constructions (im)possibles ?

Est-il possible construire un triangle à deux angles droits ?

Est-il possible construire un quadrilatère à trois angles droits ?

Parallèles : Sur la trace des roues

ERMEL géométrie cycle 3, p. 240 et suiv.

Les supports de travail de « Sur la trace des roues ».

Exemple de trace de référence à l’issue de la situation « Sur la trace des roues ».

Parallèles : Réseaux de parallèles

Ici, les parallèles se définissent par le fait qu’elles ont même direction.

Dans la situation précédente, elles l’étaient car séparées par une distance constante.

ERMEL géométrie cycle 3, p. 247 et suiv.

Symétrie axiale

Voir document d’application des programmes de 2002 ou 2007

Exemple d’affiche de référence en CM1.

Éléments sur l'enseignement de la géométrie à l'école primaire

Sun, 06 Oct 2024 00:00:00 +0000

Une anecdote en classe de 4^e

Une situation de géométrie et un avis partagé par tous les élèves, sauf deux :

« Si on fait un zoom sur l’intersection de deux droites, il y a une infinité de points. »

$\Rightarrow$ Impossibilité du débat entre les partisans de chaque avis.

Deux espaces disjoints

Espace sensible (perçu par nos sens), objets concrets, dessins de figures géométriques

Espace géométrique (mathématique, imaginé), objets abstraits et idéalisés, figures géométriques

Conclusion : différencier/distinguer une droite d’un dessin de droite, un carré d’un dessin de carré, etc.

Type d’espaces sensibles

Micro-espace (trop privilégié ?) : peut-être saisi d’un coup d’oeil ou d’un geste du bras, de la main, l’espace d’une feuille par exemple.
Méso-espace : un déplacement peut y être envisagé, espace des objets dont la taille est comprise entre $0{,}5$ et $50$ fois la taille de l’enfant. Ex. espace de la classe, de la cour, du préau.
Macro-espace : espace dont on ne peut saisir la totalité d’un coup d’oeil comme un quartier d’une ville, une ville, une région. (Brousseau, 1983, Berthelot et Salin)

Faire communiquer espaces sensibles et modélisations géométriques

terrain de jeu rectangulaire $\leftrightarrow$ rectangle
lieu observé $\leftrightarrow$ maquette/plan

Différentes géométries savantes

Topologique : transformation des éléments en conservant le même nombre de trous et le même nombre de points d’intersection (intérieur, extérieur…
Projective : transformation des éléments en conservant les alignements.
Affine : transformations des éléments qui conservent le parallélisme des droites et le rapport de longueur des segments découpés par des parallèles (axiome de Thalès).
Euclidienne : transformations qui réduisent/agrandissent les éléments en conservant les formes, les angles, les rapports. Axiome des parallèles d’Euclide : par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.
Non euclidiennes (sans l’axiome d’Euclide) : hyperbolique ou elliptique (Wikipédia).

Géométrie hyperbolique

Axiome de la géométrie hyperbolique : il existe une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point.

Géométrie elliptique

Axiome de la géométrie elliptique : il n’existe aucune droite parallèle à une droite donnée et passant par un même point.

Retour sur espace sensible vs géométrique

Il existe donc plusieurs géométries et la géométrie euclidienne n’est qu’un monde mathématique imaginaire parmi d’autres possibles créés pour résoudre certains problèmes.
Un point et une droite n’existent que dans nos esprits et, contrairement à ce que certains manuels tentent de faire, on ne peut pas donner une définition de ces concepts à l’école primaire. On ne peut que les représenter à l’aide de dessins, de figures, d’objets, etc. dans l’espace sensible.
Les connaissances spatiales acquises dans l’espace sensible aide à l’apprentissage de la géométrie, mais il faut aider l’élève à distinguer explicitement ces deux espaces.

Notion de concept (Vergnaud)

Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherche en didactique des mathématiques, 10(2-3), 133-170.

Un concept est la réunion de trois ensembles :

l’ensemble des situations dans lesquelles il intervient
l’ensemble des règles et procédures de traitement
l’ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations, les procédures de traitement.

Les situations d’enseignement visent à ce que l’élève enrichisse chaque concept (ici géométrique) au fil des ans.

Autres concepts développés par Vergnaud

Théorème-en-acte : procédure personnelle invariante de traitement, parfois erronée et pas toujours explicitée, d’un ou plusieurs élèves.

Champs conceptuels : ensemble des situations et des concepts nécessaires au traitement de ces situations.

Géométries enseignées

Géométrie perceptive : un objet est carré parce que, globalement, je le reconnais comme tel.
Géométrie instrumentée : un objet est carré parce que, à l’aide d’instruments adaptés, je peux en vérifier certaines propriétés.
Géométrie mathématisée : un objet est carré parce que, en fonction d’informations initiales données ou d’informations déduites, je peux en énoncer certaines propriétés qui le caractérisent.

Charnay (1998). De l’école au collège. Grand N*, 62.

Références pour enseigner

ERMEL (2019). Géométrie CP CE1. Hatier.

ERMEL (2006). Apprentissages géométriques et résolution de problèmes, cycle 3. Hatier. (à la date de parution, cycle 3 = CE2, CM1 et CM2)

Boule F. (2001). Questions sur la géométrie et son enseignement. Nathan.

Ministère de l’Éducation Nationale. Programmes et documents d’accompagnement actuels (Eduscol).

Modèles d’enseignement sous-jacents des manuels scolaires traditionnels

Tentative de définition des objets élémentaires : point, droite
Confusion trace vs concept
Manque de problématisation $\Rightarrow$ conceptions limitées ou erronées des élèves

Erreurs et difficultés des élèves

Maîtrise de la langue en géométrie

Des types d’écrits récurrents en géométrie qui questionnent : exemples d’évaluations d’entrée en CE2, CM1, et 6$^e$

Trace un carré de mesure 5,5 cm de côté, nomme les ABCD.
Trace un cercle de mesure 2,2 cm. Le centre sera B.

Exemple de trace de référence traditionnelle : discussion sur sa rigueur et son accessibilité pour un élève de l’école primaire.

Principales sources de difficultés des élèves

Manipulation des instruments (vérifier et tracer ne sont pas suffisamment travaillés)
Mémorisation des propriétés des objets géométriques, du vocabulaire et des formulations (ex. carré vs rectangle, cercle de centre $A$ qui passe par $B$, parallèle vs perpendiculaire)
Confusion tracé vs concept géométrique (ex. carré/tracé de carré, point/lettre, droite/trait)
Confusion connaissance géométrique vs connaissance spatiale : perpendiculaire/parallèle et vertical/horizontal, bords des feuilles
Trop grande fréquentation de figures prototypiques chaque année dès la maternelle $\Rightarrow$ reconnaissance difficile de sous-figures dans une figure complexe

Différentes types d’activités de géométrie ou de structuration de l’espace

Situer/se situer
Comparer : donner les points communs et différences entre des objets géométriques
Identifier : donner le nom d’un objet géométrique ou le reconnaître parmi d’autres
Reproduire : faire une copie à partir d’un modèle, à l’échelle ou non
Décrire : donner des informations sur un objet géométrique pour l’identifier ou en construire une copie, à l’échelle ou non
Représenter : faire une figure qui souligne certaines propriétés de l’objet
Construire : faire une copie d’une figure ou d’un solide, à l’échelle ou non, généralement à partir d’une description/représentation

Modalités générales du travail de la géométrie

Dès le cycle 1, proposer de véritables situations problèmes dans l’espace et dans le plan, en appui sur les productions et les formulations d’élèves
Au long de la scolarité, passer de la perception à l’utilisation des propriétés : distinguer explicitement et régulièrement les objets mathématiques de leur représentation (ex. distinguer explicitement un segment de $10\,\mbox{cm}$ et un trait de $10\,\mbox{cm}$, un carré et d’une représentation de carré)
Être attentif aux écrits de référence : Exemples des figures dans des positions prototypiques et non-prototypiques du cycle 1 au cycle 3
Utiliser des supports variés : espace vécu micro/méso/macro, informatique, différents types de papier…

Différents types de papier

Source : http://melusine.eu.org/syracuse/poulecl/divers/papiers/.

Exemples d’activités géométriques du cycle 1 au cycle 3

Retrouver un solide dans une boite opaque

Varier les tailles
Varier les types de formes
Varier les formes des triangles
Faire des affichages avec/sans figures prototypiques
Introduire le vocabulaire mathématique spécifique

Analyse d’affiches en PS, MS et GS

Exemples de représentations de figures non-prototypiques

Exemples en cycle 2 (à gauche) et en cycle 3 (à droite).

Le petit moulin : Problématiser l’usage du compas pour tracer un cercle

Séquence « Le petit moulin », Fénichel & Taveau, Enseigner les mathématiques en cycle 2. Hatier.

Verbalisation autour d’un petit moulin apporté par l’enseignant
Les élèves représentent les pièces à leur manière
Constat : le compas est pertinent pour tracer les pièces
Tentatives d’utilisation du compas
Partage des tentatives et institutionnalisation du vocabulaire et de savoir-faire
Séances d’entraînement : tracé de cercles concentriques, compléter des cercles, tracer des cercles de rayon donné, tracer des cercles repérés sur un quadrillage, réalisation de moulins individuels.

Cercle = points équidistants du centre

Points équidistants du centre

Trouver les points à 7 cm de…
Trouver tous les points à 9 cm de… (vérification au calque)

ERMEL géométrie cycle 3, p. 304 et suiv.

Problématisation possible avec un jeu collectif (ex. lancé sur une cible, chaque élève étant à égale distance de la cible)

Figures planes, solides, propriétés géométriques

Jeu du portrait avec une sélection riche de solides/figures planes (voir sélection de patrons utilisables dès le CP)
Activités de tri et classement de polygones et de solides
- Comparaison, reproduction, construction, description, représentation (ex. à main levée, patrons, dessins en perspective, photos d’agencement de solides)
- Figures planes ou solides, plus ou moins usuels et complexes (cf. sélection ci-dessous)
- Utilisation de matériels (ex. polydrons)

Les figures planes, leurs propriétés, espace sensible vs géométrique

Une situation-problème source potentielle de multiples séquences (CP au CM2)

Sur un papier uni dont les bords sont déchirés, représenter un rectangle ou un carré le plus parfait possible.

Parfait est impossible $\Rightarrow$ Marge d’erreur inhérente à toute mesure et à tout tracé $\Rightarrow$ Distinguer espace sensible et espace géométrique/mathématique.
Travail sur les connaissances et les compétences non maîtrisées des élèves.

Situation problème pour introduire la notion d’angle

Reproduire un polygone dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm, 3 cm et 5 cm.

ERMEL géométrie cycle 3, p. 265 et suiv.

La mesure des côtés ne suffit pas, les élèves obtiennent des quadrilatères de mêmes dimensions et qui diffèrent par leurs angles.

Échange de programmes de construction de figures

Au moins deux figures planes différentes pour ne pas que les élèves voient la figure cible
Organiser de véritables échanges de programmes et de figures entre élèves
Individuellement ou en groupes
Qui valide les productions ? Avec quels critères et quel contrat (isométrique ou à l’échelle) ?
Mesure et erreur associée tolérée : espace sensible vs espace géométrique
Vocabulaire spécifique, précision et concision
Intérêt et fonctionnement du nommage des points
Travail de la communication écrite et orale

Repérage sur quadrillage, plan, carte

Description, reproduction de frises sur quadrillage

Source : Boule (2001), p. 151-155.

Repérage sur quadrillage, plan, carte

Source : Boule (2001), p. 151-155.

Descriptions de figures

Dias, T. (2012). Manipuler et expérimenter en mathématiques. Paris : Magnard (p. 13).

Jeux autour des figures planes et leurs propriétés

Jeux avec les propriétés (Boule, 2001, p. 102-104).

Voir aussi le jeu Kelpolygones de l’IREM de Caen Normandie (groupe Jeux2maths).

Le rectangle à terminer

Le rectangle à terminer : il faut dessiner/constuire le début du côté manquant

ERMEL géométrie cycle 3, p. 187 et suiv.

(validation par juxtaposition des parties 1 et 2)

Activités géométriques et œuvres d’art

Autre source possible : Vassily Kandinsky (expressionniste Franco-russe, 1866-1944)

Alignement : construire

En trouvant des alignements

ERMEL géométrie cycle 3, p. 120.

Construire un point en retrouvant ses propriétés

Boule, 2001, p. 154.

Options pour l’enseignant pour positionner le point :

Alignement : Oeilsurtout

ERMEL géométrie cycle 3, p. 127 et suiv.

Supports de travail pour la situation « Œilsurtout ».

Alignement dans un tangram

Agrandir ou reproduire un tangram à l’aide d’alignements

ERMEL géométrie cycle 3, p. 357 ou Boule, 2001, p. 77.

Compléter une mosaïque

Boule, 2001, p. 152-153.

Angles droits et pliage

Prévoir la position du trait de pliage lorsqu’on place le point $A$ sur le point $B$ (feuille non rectangulaire).

ERMEL géométrie, p. 204 et suiv.

Angles droits : recherche et vérification

Recherche d'angles droits (fig. 1) puis d'angles non-droits (fig. 2). Source : ERMEL géométrie cycle 3, p. 214-215.

Angles droits dans une figure complexe

Rechercher tous les angles droits, ou un certain nombre d’entre eux, dans la figure ci-dessous.

ERMEL géométrie cycle 3, p. 216 et suiv.

Solution : il y a 10 angles intérieurs à des figures usuelles (rectangle, carré, triangles rectangles) et 15 angles droits au total.

Angles droits et toile d’araignée

ERMEL géométrie cycle 3, p. 219 et suiv.

Option : manipulation simple de la règle si on n’impose pas les angles droits.

Constructions (im)possibles ?

Est-il possible construire un triangle à deux angles droits ?

Est-il possible construire un quadrilatère à trois angles droits ?

Parallèles : Sur la trace des roues

ERMEL géométrie cycle 3, p. 240 et suiv.

Les supports de travail de « Sur la trace des roues ».

Exemple de trace de référence à l’issue de la situation « Sur la trace des roues ».

Parallèles : Réseaux de parallèles

Ici, les parallèles se définissent par le fait qu’elles ont même direction.

Dans la situation précédente, elles l’étaient car séparées par une distance constante.

ERMEL géométrie cycle 3, p. 247 et suiv.

Symétrie axiale

Voir document d’application des programmes de 2002 ou 2007

Exemple d’affiche de référence en CM1.

Diaporama sur la numération et le calcul à l'école primaire

Tue, 10 Sep 2024 00:00:00 +0000

Un nouveau diaporama portant sur la numération et, dans une moindre mesure, le calcul à l’école primaire a été ajouté à la page des diaporamas.

Il présente :

plusieurs concepts théoriques
plusieurs situations d’enseignement-apprentissage
plusieurs références utiles pour enseigner ces thèmes.

Diaporama sur le calcul mental à l'école primaire

Sun, 08 Sep 2024 00:00:00 +0000

Un nouveau diaporama portant sur le calcul mental a été ajouté à la page des diaporamas.

Il présente de nombreuses idées, liens et documents pour enseigner le calcul mental. L’essentiel du propos porte sur l’école élémentaire même si quelques liens sont faits avec l’école maternelle.

Plusieurs pistes sont particulièrement développées :

compétences pertinentes à développer chez les élèves
modalités de travail du calcul mental
modalités d’évaluation et de gestion de l’hétérogénéité des compétences
moyens de progresser dans l’enseignement du calcul mental.

Certaines pistes sont relativement connues et pratiquées, d’autres moins.

La calculatrice pour travailler le calcul mental dès le cycle 2

Sun, 18 Feb 2024 00:00:00 +0000

Nouvelle page sur l’utilisation de la calculatrice pour travailler le calcul mental dès le cycle 2.

La calculatrice pour travailler le calcul mental dès le cycle 2

Sun, 18 Feb 2024 00:00:00 +0000

La calculatrice au cycle 2 en 2025, pourquoi non ?

Les programmes du cycle 2 en vigueur à partir de la rentrée 2025 indiquent :

Afin de privilégier le développement d’habiletés et de compétences solides en calcul, tant mental que posé, les élèves ne seront pas amenés à utiliser de calculatrice au cycle 2.

et aussi que :

La calculatrice n’est pas utilisée au cycle 2 en dehors d’un usage prescrit pour des élèves à besoins particuliers.

La calculatrice à partir du CP, pourquoi non ? (bis)

La calculatrice peut et devrait être employée par les élèves dès le CP.

En se référant notamment à l’évolution des moyens de calcul, le document d’application des programmes du cycle 2 accompagnant les programmes entre 2002 et 2008 précisait déjà (p. 6) :

La diffusion généralisée d’outils de calcul instrumenté (et notamment des calculatrices de poche) amène à repenser les objectifs généraux de l’enseignement du calcul.

C’était il y a 20 ans… À la même époque, le document Utiliser les calculatrices en classe précisait de plus que les calculatrices pouvaient être utilisées :

comme outil de calcul ;

comme instrument dont on cherche à comprendre certaines fonctionnalités ;

comme support à l’exploration de phénomènes numériques ;

comme source de problèmes et d’exercices.

En effet, la calculatrice permet notamment aux élèves :

de découvrir et travailler le sens des 4 opérations sans être confronté aux problèmes liés aux différentes techniques ;
de travailler le calcul mental et – en conséquence – la numération.

Le présent article traite de cette dernière possibilité et présente plusieurs exemples au niveau CP et au-delà.

Cependant, avant de travailler leurs compétences en calcul mental avec une calculatrice, les élèves doivent d’abord à apprendre à utiliser cet outil.

Introduction de la calculatrice en classe

Le document Utiliser les calculatrices en classe déjà cité présente une séance « zéro » possible à mettre en oeuvre chaque année du CP au CM2.

Dans les grandes lignes, il s’agit, sur une séance, de :

distribuer des calculatrices aux élèves (si possible différentes, l’objectif étant que les élèves sachent utiliser les fonctions élémentaires de n’importe quelle calculatrice et non d’un modèle particulier) ;
leur demander ce qu’ils savent faire avec (phase individuelle) ;
les faire échanger en petits groupes afin qu’ils partagent leurs découvertes et leurs connaissances (sinon la phase collective risque d’être longue à mener, peu efficace et aussi peu dynamique) ;
organiser une synthèse collective et un affichage sur le fonctionnement d’une calculatrice, les points communs et les différences entre les calculatrices utilisées (à titre d’illustration, voir les deux exemples d’affiche ci-dessous) ;
si besoin, compléter les découvertes et connaissances des élèves en fonction du niveau d’enseignement.

Remarque : L’utilisation d’un visualiseur/visualisateur peut faciliter la synthèse mais n’est pas indispensable.

Exemple d’affiche de synthèse en CE1.

Exemple d’affiche en CE2.

Exemples d’utilisation de la calculatrice pour travailler le calcul mental

Cette section présente trois types de situations illustrant la façon d’utiliser la calculatrice pour travailler le calcul mental :

résoudre des calculs mentalement et progresser avec une calculatrice (numération et calcul !) ;
évaluer la nécessité ou non d’utiliser la calculatrice ;
vérifier des calculs.

Résoudre des calculs mentalement avec une calculatrice

Les exemples suivants sont à décliner et modifier selon les compétences des élèves, le niveau d’enseignement, etc. Ils sont largement inspirés des exemples proposés dans le document Utiliser les calculatrices en classe déjà cité.

Un premier nombre est affiché sur l’écran de la calculatrice (par exemple, 769). Sans éteindre la calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il s’agit d’obtenir l’affichage de 789 en tapant le minimum de touches.

Pour répondre, l’élève doit :

remarquer que le chiffre des dizaines a « avancé de 2 » ;
déduire qu’il faut ajouter 2 dizaines et donc taper [+] 20 [=].

Il utilise plusieurs connaissances liées à la numération et au calcul :

repérage des chiffres ;
valeur du chiffre en fonction de sa position ;
équivalence entre « 2 dizaines » et 20.

Ainsi, la stratégie optimale consiste plus à réfléchir à la manière d’obtenir rapidement le résultat attendu qu’à utiliser la calculatrice. Cette dernière ne sert finalement qu’à vérifier les calculs anticipés. Les élèves vont rapidement le découvrir…

Des exercices du même type peuvent être proposés dès le CP, par exemple :

afficher 25 ; faire des calculs pour afficher 26
afficher 10 ; faire des calculs pour afficher 20
afficher 25 ; faire des calculs pour afficher 35
afficher 10 ; faire des calculs pour afficher 50
afficher 36 ; faire des calculs pour afficher 40
afficher 10 ; faire des calculs pour afficher 7
afficher 58 ; faire des calculs pour afficher 50
afficher 40 ; faire des calculs pour afficher 36
afficher 70 ; faire des calculs pour afficher 50
afficher 12 sans taper ni 1, ni 2
afficher un nombre donné sans taper son chiffre des unités, ou celui des dizaines, etc.
passer de 20 à 30, 40…, 43, 143
passer de 25 à 30, 40…, 43, 143
changer seulement le chiffre des unités, des dizaines…
échanger les chiffres des unités et des dizaines
transformer un nombre donné en un nombre dont tous les chiffres sont identiques
transformer un des chiffres en 0 ou un autre chiffre
etc.

Selon le niveau d’enseignement et les compétences des élèves (gestion de l’hétérogénéité) :

On peut proposer des nombres plus grands, des nombres décimaux, des cas plus difficiles…
On peut proposer ou non de minimiser le nombre de touches frappées et discuter des différentes méthodes utilisées.
Les élèves peuvent être mis en position de créer des défis à proposer à leurs camarades ou à d’autres classes en s’inspirant des premiers proposés par l’enseignant. Comme expliqué à la fin de l’article Apprendre ses tables de multiplications, ce dispositif de défi permet à chaque élève de travailler dans sa zone proximale de développement.

Évaluer la nécessité ou non d’utiliser la calculatrice

Si les élèves doivent apprendre à utiliser une calculatrice dès le CP, ils doivent aussi apprendre à s’en passer.

Ceci est permis par l’apprentissage du calcul posé et du calcul approché, mais aussi par des situations d’évaluation par chaque élève, pour lui-même, de l’intérêt d’utiliser la calculatrice pour des calculs tels que les suivants (cas à adapter selon les élèves et le niveau d’enseignement) :

$100\times 5$
$2\times 20$
$1357+3769$
$1200 + 300$
$300 ÷ 3$
$371 ÷ 17$
$3 ÷ 2$
$3{,}1 + 0{,}9$
$3{,}01 + 0{,}09$
$1 \text{ million} \times 2$
etc.

On peut imaginer les modalités suivantes (largement inspirées du travail de l’équipe ERMEL) :

Pour chaque calcul, les élèves réfléchissent individuellement et notent sur une feuille s’ils préfèrent effectuer le calcul mentalement, en le posant ou à l’aide d’une calculatrice.
Par petits groupes, les élèves échangent sur leurs réponses, les connaissances et les raisons qui ont guidé leurs choix.
Enfin, une phase collective permet d’échanger sur les réponses et les raisons évoquées.

Ici, il n’y a pas de « mauvaises réponses » étant donné que celles-ci dépendent des compétences de chaque élève.

Cependant, chaque élève peut se rendre compte qu’il possède des connaissances mathématiques qui lui permettent d’effectuer certains calculs plus rapidement qu’avec une calculatrice, voire même avant d’esquisser un geste vers une calculatrice.

Vérifier des calculs

Dans un premier temps, les élèves effectuent mentalement, individuellement ou en groupes, différents calculs ou différentes résolutions de problèmes élémentaires (par exemple lors d’un défi tel que proposé à la fin de l’article Apprendre ses tables de multiplications).

Dans un second temps, les élèves vérifient leurs réponses à l’aide de la calculatrice.

Ajout fiche défi à la page « Apprendre ses tables de multiplication »

Thu, 15 Feb 2024 00:00:00 +0000

Ajout d’un exemple de fiche aux formats ODT et PDF à la page Apprendre ses tables de multiplications pour que des élèves puissent approfondir en autonomie leurs tables de multiplications et les résultats dérivés.

Effet Topaze et effet Jourdain

Wed, 14 Feb 2024 00:00:00 +0000

Deux effets du contrat didactique introduits par Guy Brousseau dans le cadre de l’élaboration de la Théorie des situations didactiques (1998).

Effet Topaze

L’enseignant obtient la réponse attendue d’un ou plusieurs élèves sans qu’il puisse s’assurer que ces élèves ont compris pourquoi c’était la bonne réponse. L’enseignant peut par exemple, consciemment ou non, faire une mimique ou bien utiliser une intonation particulière pour influencer la réponse des élèves : Est-ce que l’on va procéder comme cela ? (en sous-entendant que ce ne sera pas possible). Les élèves risquent alors de répondre « Non », sans comprendre pourquoi ou même sans comprendre la question.

Pour illustrer cet effet de contrat :

Un extrait de la mise en film de la pièce de Marcel Pagnol sur YT  (option 1 ou option 2) qui illustre l’origine de l’expression. Le personnage principal, Topaze, insiste sur « les moutonssss » auprès d’un élève pour qu’il ajoute un « s » à « mouton » pendant une dictée, sans chercher à s’assurer que l’élève comprenne pourquoi.
La définition originale de Guy Brousseau, chercheur didacticien des mathématiques qui a introduit l’expression.

Effet Jourdain

L’enseignant dit ou pense reconnaître une connaissance chez un ou plusieurs élèves alors que cet indice est superficiel et ne rélève pas l’état de connaisance de ces élèves.

Par exemple, soit l’énoncé suivant :

Une personne achète 1,5 kg de pommes à 2,60 €/kg. Combien doit-il payer ?

Prenons un élève qui ne sait quelle opération effectuer (ici, une multiplication). L’enseignant pourrait remplacer les nombres décimaux par des nombres entiers et lui dire : « Et si c’était 2 kg de pommes à 3 €/kg, quelle opération ferais-tu ? ». L’élève proposerait probablement une multiplication et l’enseignant pourrait conclure, sans pouvoir s’en assurer, que l’élève a compris ce qu’était la multiplication de deux nombres décimaux puisqu’il a fourni la bonne réponse.

En effet, multiplier deux nombres entiers (ici $2 \times 3$, c’est à dire $3+3$) n’est pas exactement la même opération que multiplier deux nombres décimaux. En effet, avec des nombres décimaux et sans transformation, l’addition itérée n’est pas possible. Il y a un saut conceptuel à faire et « l’aide » proposée par l’enseignant risque de ne pas remplacer une réelle séquence d’enseignement sur le sujet (qui ici relève généralement de la fin du cycle 3).

Le site pour un dictionnaire de didactique des mathématiques fournit une définition de référence de l’effet Jourdain.

Le nom de cet effet de contrat trouve son origine dans « Le bourgeois gentilhomme » de Molière, acte II, scène 4.

MONSIEUR JOURDAIN : […] Au reste, il faut que je vous fasse une confidence. Je suis amoureux d’une personne de grande qualité, et je souhaiterais que vous m’aidassiez à lui écrire quelque chose dans un petit billet que je veux laisser tomber à ses pieds.

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Fort bien.

MONSIEUR JOURDAIN : Cela sera galant, oui.

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Sans doute. Sont-ce des vers que vous lui voulez écrire ?

MONSIEUR JOURDAIN : Non, non, point de vers.

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Vous ne voulez que de la prose ?

MONSIEUR JOURDAIN : Non, je ne veux ni prose ni vers.

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE: Il faut bien que ce soit l’un, ou l’autre.

MONSIEUR JOURDAIN : Pourquoi ?

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Par la raison, Monsieur, qu’il n’y a pour s’exprimer que la prose, ou les vers.

MONSIEUR JOURDAIN: Il n’y a que la prose ou les vers ?

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Non, Monsieur : tout ce qui n’est point prose est vers ; et tout ce qui n’est point vers est prose.

MONSIEUR JOURDAIN: Et comme l’on parle qu’est-ce que c’est donc que cela ?

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : De la prose.

MONSIEUR JOURDAIN : Quoi ! quand je dis: « Nicole, apportez-moi mes pantoufles, et me donnez mon bonnet de nuit », c’est de la prose ?

MAÎTRE DE PHILOSOPHIE : Oui, Monsieur.

MONSIEUR JOURDAIN : Par ma foi ! il y a plus de quarante ans que je dis de la prose sans que j’en susse rien, et je vous suis le plus obligé du monde de m’avoir appris cela.

Monsieur Jourdain a-t-il réellement compris ce qu’était la prose quand il « donne la bonne réponse » en disant « je dis de la prose ». Le maître de philosophie a-t-il enseigné ce qu’était la prose ? Ce n’est pas certain.

Références

Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Éditions La pensée sauvage.

Capacités d'abstraction des élèves de l'école maternelle et élémentaire

Mon, 29 Jan 2024 00:00:00 +0000

Estimation des capacités des élèves et problèmes d’enseignement-apprentissage

Les capacités d’abstraction des élèves de l’école maternelle et élémentaire sont souvent sous-estimées, parfois en se référant aux stades piagétiens. Telle situation d’enseignement serait trop difficile ou inadaptée à tel âge… Tels élèves ne pourraient pas résoudre telle situation bien qu’elle ait été testée de nombreuses fois par des chercheurs tous domaines scientifiques confondus. Etc.

Étant donné la multiplicité de facteurs en jeu dans une situation d’apprentissage ou de résolution de problèmes, il n’est généralement pas possible de dire de façon absolue si une situation donnée est adaptée à des élèves donnés, mais il reste pertinent de solliciter régulièrement leur intelligence. Pour cela, les enseignants peuvent se baser sur des ressources d’enseignement qui ont fait leur preuve dans le domaine de la recherche scientifique.

Capacités d’abstraction des enfants et des élèves

Cas particulier traité dans le présent article, les capacités d’abstraction des jeunes enfants (avant l’âge de la scolarité obligatoire) et des jeunes élèves.

N’étant ni psychologue ni neuro-scientifique de formation, je trouve sage de me référer aux spécialistes du domaine pour compléter des connaissances préalablement acquises en didactique des mathématiques et plus largement en sciences de l’éducation.

Le cours « Le bébé statisticien : les théories bayésiennes de l’apprentissage » donné par Stanislas Dehaene en 2012-2013 au Collège de France me semble intéressant au moins à deux titres :

Il présente des théories de l’apprentissage généralement peu connues du monde enseignant bien qu’éprouvées par les scientifiques depuis plus d’une quinzaine d’années.
Il présente des exemples éclairants quant aux capacités d’abstraction des jeunes enfants dès leurs premiers jours, semaines, mois et même premières heures de vie.

Extraits du cours de Stanislas Dehaene au Collège de France

L’ensemble des cours mériterait d’être visionné intégralement mais le temps peut manquer ;-)

Je suggère donc quelques extraits des deux premiers cours :

Extrait de l’introduction du cours de Stanislas Dehaene
Expérience de l’urne avec des enfants de 8 mois, travaux de Xu & Garcia 2008 (durée 6 min, de 22'05" à 28'21")
Expérience de cascades d’inférences chez des enfants de 16 mois, travaux de Gweon & Schulz 2011 (durée 9 min, de 35'25" à 44'05")
Expérience d’anticipation d’un évènement chez des enfants de 12 mois, travaux de Taglas & Bonatti 2007 (durée 4 min, 13'19" à 17'27")
Expérience sur la numérosité, l’espace et l’occlusion chez des enfants de quelques mois, travaux de Aguiar & Baillargeon 1999, de Teglas et al. 2011, et de Xu & Carey 1996 (durée 5 min, de 46'30 à 51'31")

D’autres éléments du cours de Dehaene concernent des enfants en âge d’être des élèves de l’école maternelle ou élémentaire, je ne les ai pas retenus ici par souci de concision.

Note 1. En complément du cours de Dehaene, voici deux vidéos montrant le déroulement d’une expérience avec de très jeune enfants, l’une portant sur $2-1=1$ et $1+1=1$ ? et l’autre portant sur $1+1 = 3$ ?. Comme l’explique Dehaene dans son cours, le temps de regard de l’enfant, mesuré précisément par eye tracking dans ce type d’expérience, constitue l’indicateur objectif que l’enfant reconnaît les cas improbables.

Note 2 : On peut aussi télécharger les diaporamas et les podcasts sur le site du Collège de France.

Des graphiques statistiques simples et efficaces

Mon, 29 Jan 2024 00:00:00 +0000

Lorsqu’il s’agit de rendre compte d’une recherche, les graphiques représentant des données se doivent d’être les plus lisibles et les plus parlants possibles.

Exemples

Voici quelques pistes, toutes issues du site Darkhorse Analytics illustrant pour l’essentiel une approche « Less is more ».

Chaque page contient une animation fort informative et rapide à consulter qui présente l’essentiel de ce qu’il y a comprendre :

Comment simplifier la présentation d’un diagramme en barres
Éviter d’utiliser un diagramme circulaire, avec une animation relativement amusante
Éviter les diagrammes radar, car l’interprétation finale par le lecteur dépend de l’ordre de traitement des données pour élaborer le graphique, ce qui est gênant…
Présenter clairement un tableau de données, avec une astuce « Fat zebras » pour les tableaux comprenant beaucoup de lignes
Diverses astuces pour des graphiques servant à comparer deux catégories de population, ici femmes/hommes.

Références

D’autres références existent tel le monumental et instructif ouvrage de référence de D. C. Howell (2018). Méthodes statistiques en sciences humaines. Bruxelles : De Boeck. 821 p. Ouvrage plusieurs fois réédité.

Autres références souvent citées, Edward Tufte et son ouvrage The Visual Display of Quantitative Information (1983) dans lequel l’auteur développe plusieurs concepts fréquemment repris sur le web tels les suivants :

Data-Ink : Éléments indispensables d’un graphique, ceux qui montrent les variations et forment le « cœur » du graphique.
Data-Ink ratio : Proportion entre le Data-ink et le total de l’encre imprimée du graphique, l’idée étant de maximimer ce rapport en rendant le graphique plus informatif possible et en supprimant les éléments non indispensables.
Chartjunk : Éléments d’un graphique n’apportant aucune information utile au lecteur ou risquant de conduire à des conclusions erronées. Ces éléments sont donc à supprimer.
Lie factor : Capacité d’un graphique à faire mentir, volontairement ou non, les données en les représentant (les graphiques en 3 dimensions servent souvent d’illustration).

Grandeurs et mesure (DiU PES)

Mon, 29 Jan 2024 00:00:00 +0000

Les fichiers joints contiennent un support de cours sur le thème Grandeurs et mesure à l’école primaire (diaporama au format PDF, versions écran et impression).

Un million, vraiment ?

Sun, 21 Jan 2024 00:00:00 +0000

Présentation

Avant le cycle 3, les élèves peuvent dénombrer de grandes quantités. C’est le cas par exemple avec des nombres de l’ordre du millier dans les situations Fourmillions (ERMEL CP) ou Trombones (ERMEL CE1).

Ici, il s’agit de dénombrer un million de points agencés sous forme de carrés « bien organisés ». La situation a été testée dans une classe de CE1-CE2, voir ci-dessous les possibilités d’activité des élèves en fonction de leurs compétences.

L’agencement est le suivant :

$10 \times 10 = 100$ grands carrés (chaque grand carré représentant $10\ 000$ points).
Chaque grand carré est lui-même composé de $10 \times 10 = 100$ petits carrés (chaque petit carré représentant $100$ points).

Tous les documents nécessaires sont joints à cette page.

Affiche du poster « Un million, vraiment ? » en version réduite.

Le poster, c’est à dire le fichier Poster-Million.pdf nécessite d’être imprimé au minimum au format A1 (59,4 cm x 84,1 cm) pour que chaque point soit visible. Le format A0, deux fois plus grand, facilite le travail simultané des élèves autour de l’affiche. Une résolution de 600 dpi (haute définition) et un papier brillant 200 g sont idéaux.

Les établissements scolaires n’ont généralement pas le matériel pour imprimer ces formats. Il est possible de demander l’impression à la circonscription (premier degré), au rectorat (second degré), à des parents bénéficiant de cette possibilité, ou encore de contacter un prestataire privé (moins de 20 € en 2024 pour une impression de très bonne qualité sur un papier 190g/m2 photosatiné réutilisable sur plusieurs années).

Cette situation a été testée en CE1-CE2. Il peut être utile de prévoir quelques loupes pour faciliter la visualisation des points au sein des petits carrés mais des agrandissements d’un petit carré et d’un carré de 10 000 points peuvent aussi suffire (fichiers PDF joints à cette page).

EDIT 09/01/2026 : La situation peut être éventuellement complétée avec l’exploitation (non détaillée ici) de l’album /Un million de points/ de Sven Völker (2023) aux éditions Helvetiq ou d’albums équivalents qui traitent de grands nombres.

Consigne initiale

Est-ce que cette affiche représente un million de points ?

Procédures élèves

Les élèves peuvent a priori utiliser différents moyens :

Poser des questions à l’enseignant sur la composition de l’affiche.
Utiliser une loupe pour voir finement de quoi sont composés les carrés.
Recourir à l’addition ou à la multiplication selon leur niveau de compétence.
Utiliser une calculatrice (a priori toujours disponible).
Demander un agrandissement de certaines parties de l’affiche.

Modalités pédagogiques et gestion de l’hétérogénéité

Plusieurs modalités pédagogiques sont possibles mais un travail individuel initial est nécessaire afin que chaque élève se fasse sa propre opinion sur ce qui peut être tenté. La suite peut être strictement individuelle mais des modalités de travail en groupes sont optimales.

A priori, tous les élèves peuvent s’impliquer dans la situation.

En effet, selon leurs compétences, les élèves peuvent :

au minimum, compter le nombre de points ($10$) d’une ligne/colonne d’un petit carré
au minimum, compter le nombre de petits carrés ($10$) d’une ligne/colonne d’un grand carré
au minimum, compter le nombre de grands carrés ($10$) sur une ligne/colonne de l’affiche
conclure qu’un petit carré compte $100$ points (peu importe la méthode employée)
conclure qu’un grand carré compte $10\thinspace 000$ points (peu importe la méthode employée)
conclure que l’affiche compte un million de points (peu importe la méthode employée)

Méthodes qui peuvent apparaître selon les cas :

dénombrement un par un
addition
multiplication
méthodes mixtes

Prolongements

Plusieurs prolongements sont possibles :

Construire différentes représentations de grands nombres ($100$, $1000$, $10\thinspace 000$, $100\thinspace 000$, 1 million)
Calculer mentalement avec des grands nombres simples à manipuler dès le CP (ex. $3$ milliards de milliards + $7$ milliards de milliards = $10$ milliards de milliards)
Multiplier par $10$ revient à multiplier par une dizaine. Par exemple, $4 \times 10 = 4 \times \textrm{1 d} = 4\textrm{ d} = 40$. Ce calcul s’appuie sur le principe de numération décimale, il doit être connu et vu régulièrement. Le même principe vaut pour multiplier par $100$ (une centaine), $1000$ (un millier), etc.
Découverte et utilisation de la commutativité de la multiplication. Autrement dit, la permutation des facteurs d’un produit laisse le produit inchangé. Cette connaissance sert notamment à optimiser l’apprentissage des tables de multiplications (si par exemple on connait $3 \times 4$ alors on connait $4 \times 3$) et à faciliter certains calculs tels que $\overbrace{2+…+2}^{210\textrm{ fois}}= 210 \times 2 = 210 + 210$.

Fichiers fournis

Les fichiers fournis comprennent :

Un poster comprenant un million de points et des suggestions de consignes (format PDF imprimable au format A1 minimum sinon les points ne seront pas lisibles).
Un PDF représentant uniquement un million de points (même remarque).
Un PDF représentant uniquement dix-mille points (imprimable sur un A4).
Un PDF représentant uniquement cent points (imprimable sur un A4 ou un A5).
Des images de basse résolution au format PNG pouvant éventuellement être intégrées dans des documents à imprimer au format A4.
Les sources permettant de produire l’ensemble de ces fichiers.

Note 1. Les fichiers PDF représentant un million de points s’affichent plus ou moins lentement selon l’ordinateur utilisé. Cela est dû au nombre de points à afficher et au fait qu’il s’agit d’un format vectoriel. L’avantage de ce format vectoriel est que l’on peut zoomer autant que l’on veut et que le logiciel d’affichage le permet, l’image restera toujours nette. Chaque mouvement de zoom nécessite un certain temps pour que l’affichage soit complet et net (une à plusieurs secondes).

Note 2 : Il n’est pas possible de reproduire lisiblement un million de points sur un format A4, soit la taille les rend invisibles soit ils ne logent pas tous sur la feuille. Ainsi, l’image au format PNG représentant un million de points est « floue ».

Note 3 : Il est possible d’élaborer un poster personnalisé et de qualité :

Créez un nouveau document LibreOffice Draw/Dessin (fichier .ODG)
Choisissez le format A1 ou A0 (menu Page)
Insérez ou glisser-déposer le fichier UnMillionPoints.pdf dans le document LibreOffice
Personnalisez le document
Exportez le document au format PDF (menu Fichier/Exporter)

Le fichier PDF produit aura des caractéristiques qui permettront de l’imprimer au format A1 ou A0 avec une qualité similaire au fichier Poster-Million.pdf déjà fourni.

À propos de ce site

Sun, 14 Jan 2024 00:00:00 +0000

Contact et présentation

Je suis maître de conférence en Sciences de l’éducation et de la formation (CNU 70), docteur en didactique des mathématiques. Je travaille au laboratoire CIRNEF [CV], à l’Inspé Normandie Caen et plus largement à l’Université de Caen Normandie.

Depuis 2022, je suis aussi directeur de l’IREM de Caen Normandie, IREM dont le site web a été reconfiguré en 2025 !

Plusieurs de mes travaux de recherche, y compris ma thèse de doctorat, sont disponibles sur Hal.

Sans souci d’exhaustivité, plusieurs thèmes de recherche m’intéressent :

Les situations de recherche et de preuve entre pairs (situations RPP) et leurs potentiels dans l’enseignement
Les communautés de pratique d’enseignants
L’ergonomie des ressources d’enseignement, notamment leur accessibilité.

Il est simple de me contacter par mail : jean-philippe.georget@unicaen.fr.

Une expérimentation

Ce site est expérimental, autant au niveau du contenu que des fonctionnalités offertes. L’essentiel des sujets abordés concernent l’enseignement des mathématiques, particulièrement à l’école maternelle et élémentaire, sans s’y limiter et sans verser dans l’ultracrépidarianisme ;-)

Le design est relativement spartiate, au moins pour le moment. L’objectif premier est l’accessibilité du contenu pour tous et sur tout support numérique (ordinateur, tablette, smartphone). Autrement dit, je privilégie pour le moment les essential features par rapport aux nice to have dixit Niklaus Wirth, chercheur réputé dans le domaine informatique (cf. Loi de Wirth).

En imprimant depuis votre navigateur, il est possible d’obtenir une version PDF de chaque page et diaporama du site. La mise en forme ne sera pas exactement celle affichée dans votre navigateur mais elle devrait être largement exploitable, y compris par moi ;-).

Ce site est hébergé sur les serveurs de l’Université de Caen Normandie, il fonctionne sur la base de logiciels et de formats de fichiers libres :

Fichiers sources au format Markdown (fichier texte avec un balisage simple) et Open Document (utilisé notamment par la suite bureautique LibreOffice)
Gitlab Pages (stockage et gestion de versions)
Hugo (génération de sites web statiques), basé sur le thème Hugo Xterm largement modifié.
Reveal.js (diaporamas)
Reveal.js-menu (menu dans les diaporamas)
Pagefind (moteur de recherche pour sites web statiques)
qrcode.js (QR code)
MathJax (écritures mathématiques en ligne)

Un système similaire, mais de plus grande ampleur et basé sur un dispositif légèrement différent, existe à l’Inspé de l’Académie de Grenoble. Il en existe probablement d’autres s’inscrivant de même dans la mouvance de l’OpenCourseWare lancée dès 2001 par le MIT.

Note : La section ci-dessous est un test d’IA en cours d’élaboration.

Test en cours de différentes IA avec un site scientifique

Apprendre ses tables de multiplication

Sun, 14 Jan 2024 00:00:00 +0000

Pour être à l’aise avec les nombres et les calculs dans leur parcours scolaire (École, Collège et Lycée), les élèves doivent mémoriser un certain nombre de résultats, notamment les tables de multiplications.

Régulièrement, on entend dire que les élèves ont du mal à apprendre les tables de multiplication, notamment celles de $7$, $8$ et $9$.

Voici ci-dessous une proposition pour permettre aux élèves d’apprendre les tables de multiplication une fois qu’ils savent les calculer eux-mêmes.

L’avantage de cette méthode est que la préparation de l’enseignant est minime alors que la prise en compte de l’hétérogénéité des élèves est importante. L’autonomie des élèves est aussi travaillée.

Les produits à mémoriser

Tout d’abord, précisons qu’il n’y a ni « table de 1 » ni « table de $10$ » à apprendre.

« Une fois trois» ($1 \times 3$) donne évidemment le nombre « 3 » et il en est de même pour tous les autres nombres que 3.
Multiplier par $10$ revient à multiplier par une dizaine. Par exemple, $4 \times 10 = 4 \times \textrm{1 d} = 4\textrm{ d} = 40$. Ce calcul s’appuie sur le principe de numération décimale, il doit être connu et vu régulièrement. Le même principe vaut pour multiplier par $100$ (une centaine), $1000$ (un millier), etc.
La multiplication est commutative. Autrement dit, la permutation des facteurs d’un produit laisse le produit inchangé. Par exemple, $3 \times 4 = 4 \times 3$. Si on connaît l’un, on connaît l’autre. Cela limite les cas à mémoriser.

Le tableau suivant récapitule les résultats que les élèves doivent mémoriser. Il est pertinent qu’ils le connaissent, plutôt que de consulter les tables comme on peut en trouver au dos de certains cahiers ou encore la table de Pythagore[1]. Un tableau complet est joint à cette page (un A4 au format ODT et PDF).

[1]: La table de Pythagore est intéressante dans des activités spécifiques mais pas pour mémoriser les tables de multiplication.

Produits	Nombre de produits
de $2 \times 2 \ \ \text{à}\ \ 2 \times 9$	$8$
de $3 \times 3 \ \ \text{à}\ \ 3 \times 9$	$7$
de $4 \times 4 \ \ \text{à}\ \ 4 \times 9$	$6$
de $5 \times 5 \ \ \text{à}\ \ 5 \times 9$	$5$
de $6 \times 6 \ \ \text{à}\ \ 6 \times 9$	$4$
de $7 \times 7 \ \ \text{à}\ \ 7 \times 9$	$3$
$8 \times 8 \ \ \text{et}\ \ 8 \times 9$	$2$
$9 \times 9$	$1$
	$\textrm{Total : }36$

Autrement dit, les élèves n’ont que 36 produits à connaître.

Certains produits sont connus tôt dans la scolarité, par exemple les doubles.

Au fur et à mesure de la scolarité, la liste des produits connus augmente différemment selon les élèves. Il s’agit de tenir compte de cette hétérogénéité, nous allons voir comment le faire à peu de frais.

Remarque : Concernant les tables dites réputées « difficiles » (tables de 7, 8 et 9), d’après le tableau précédent, il ne s’agit en réalité que de $3+2+1 = 6$ produits à apprendre. Une semaine d’entraînement et des réinvestissements programmés régulièrement à chaque période devraient suffire à ce que, sauf cas exceptionnel, les élèves les mémorisent.

Mémorisation des tables de multiplications

La méthode proposée ici consiste à :

Évaluer les connaissances des tables de multiplication des élèves
Faire élaborer par les élèves des flashcards pour les produits qu’ils ne connaissent pas
Organiser la mémorisation entre élèves des produits qu’ils ne connaissent pas
Travailler sur des résultats dérivés

Voyons les détails.

Évaluation des connaissances des élèves

L’enseignant pose oralement différents produits extraits des tables de multiplication. Il tient compte de la commutativité de la multiplication (cf. plus haut) : par exemple, si $7 \times 8$ est demandé, $8 \times 7$ ne sera pas demandé.
Les élèves répondent par écrit.
Le temps de réponse est très court, les élèves doivent se rappeler rapidement le produit attendu et non le recalculer.
Si un élève ne connait pas un produit, il écrit un caractère, par exemple un « x ». Ceci lui permet de se concentrer plus facilement sur le produit suivant.
Une correction est menée, elle permet aux élèves de savoir quels sont les produits erronés parmi leurs réponses et quels sont les produits qu’ils connaissent déjà.

Élaboration de flashcards

Pour chaque produit erroné, l’élève prend un petit carré de feuille.
Sur un côté, il écrit la multiplication correspondante, sur l’autre le produit.
Il constitue ainsi un paquet plus ou moins important de flashcards correspondant aux produits qu’il ne connaît pas.

Organisation de la mémorisation entre élèves

Entre eux, les élèves vont travailler la mémorisation des produits qu’ils ne connaissent pas.

Les élèves sont disposés par binômes ayant des hauteurs de paquets similaires.
Ils échangent leurs paquets.
Ils s’interrogent mutuellement en passant en revue l’intégralité des flashcards (ou une partie seulement si traiter le paquet entier semble trop ambitieux).
Dès qu’un résultat est retrouvé, la flashcard est mise de côté pour la séance.
Une fois le paquet de flashcards traité, l’élève reprend l’intégralité du paquet et continue.

À l’issue de la séance, les élèves auront retrouvé plusieurs produits inconnus au début de la séance. Le paquet de flashcards à mémoriser va diminuer.

La diminution du paquet de flashcards est motivant pour chaque élève. Il témoigne qu’une mémorisation à court terme se met en place, sans que l’enseignant n’ait à intervenir. Dans le même temps, une méthode de mémorisation est mise en place.

Lors des séances suivantes, l’enseignant n’a qu’à demander aux élèves de prendre leur paquet et de le réviser avec leurs camarades. Au choix, ils peuvent le réviser intégralement ou partiellement.

À la maison, l’élève peut travailler la mémorisation de son paquet avec un membre de sa famille ou un ami.

L’objectif principal est que le paquet intégral diminue au fil du temps.

Évaluation de la mémorisation et suite

Plus tard, l’enseignant mène une évaluation régulière de la connaissance des tables de multiplications. Il répète le même processus que ci-dessus pour chaque élève qui en a besoin.

Régulièrement aussi, il demande aux élèves de constituer un paquet complet (comprenant toutes les tables de multiplication à mémoriser, cf. tableau plus haut) et les élèves travaillent la mémorisation du paquet complet comme précédemment.

Ceci permet de tenir compte du fait que les élèves peuvent mémoriser certains résultats pendant un certain temps puis les oublier.

Dans le même temps, l’enseignant peut évaluer si son enseignement est efficace.

Au-delà de $7 \times 4=\ldots$

Mémoriser $7 \times 4=28$ strico sensu n’est ni suffisant ni pertinent. Plusieurs autres cas d’utilisation peuvent ou doivent être étudiés par les élèves selon ce qui est traité au cours de l’année ou du cycle. De plus, cela contribue à justifier l’apprentissage des tables. En effet, mémoriser $7 \times 4=28$ ne sert pas qu’à donner une réponse à $7 \times 4=\textrm{ ?}$. Autant que les élèves le sachent et utilisent ce résultat dès que possible dans des situations variées, notamment des calculs dérivés de ce résultat et des calculs avec des unités de mesure.

Exemples de situations à traiter simultanément

Proposition 1

À titre d’illustration, $7 \times 4=28$ se travaille et se mémorise aussi avec :

$28 = … \times 4$
$28 = 4 \times …$
$… \times 7=28$
$7 \times … =28$
$28÷7$
$28 ÷ 4$
$7 \times 40$
$70 \times 4$
$7000 \times 4$
$4 \times 7\textrm{ millions}$
$7\textrm{ milliards de milliards} \times 4$
$28\textrm{ kg} : 7$
etc.

Proposition 2

Plus tard, des produits tels que $70 \times 40$, $400 \times 70$, $280 \times 7$, etc. contribuent eux aussi à mémoriser $7 \times 4=28$.

Proposition 3

Des problèmes élémentaires tels que les énoncés suivants contribuent eux aussi à mémoriser $7 \times 4=28$ dès le cycle 2.

J’ai dépensé 280 € pour 7 objets. Chaque objet vaut la même somme. Combien vaut chaque objet ?

Un objet vaut 4 €. J’en achète 7 et je n’ai pas de réduction. Combien dois-je payer ?

Proposition 4

Au CM, $7 \times 4=28$ sert aussi à répondre à des consignes du type « Donne une valeur approchée de $7 \times 4{,}31$ » ou encore « Donne une valeur approchée de $7{,}2 \times 4$ ».

Comment s’y prendre ? Défis en autonomie

L’enseignant peut préparer des exercices tels que les précédents, il peut aussi demander aux élèves de les préparer eux-mêmes.

Les élèves sont organisés par groupes de 3-4 élèves de niveau relativement homogènes.
Chaque élève prépare par écrit un défi pour ses camarades sous forme d’un tableau du type suivant (voir fichiers modèles en annexes de cette page) :

Questions	Réponses	Vérifications
$40 \times 7$
J’ai dépensé $2800$ € pour $7$ objets. Combien coûte un objet ?…
Quelle quantité $70\thinspace 000$ récipients de $4$ L peuvent-ils contenir d’eau ?
…

Le défi est mené alternativement par chaque élève, l’un d’entre eux doit y répondre.
Une fois le défi terminé, les élèves vérifient la réponse à l’aide de leurs connaissances et d’une calculatrice.
Si besoin, l’enseignant ou d’autres élèves peuvent plus tard vérifier chaque défi terminé, autant pour évaluer les défis proposés (difficulté et variété des questions) que les réponses données.

Cette manière de procéder permet aux élèves de travailler dans leur zone proximale de développement (ZPD) : chacun cherche des défis, pour essayer de coincer ses camarades, mais dans la limite de ses connaissances puisqu’il ne peut pas se permettre de ne pas connaître la réponse.

Remarque : Il arrive que les élèves proposent des cas trop difficiles pour eux-mêmes ou à l’inverse des cas trop simples. En général, l’enseignant n’a qu’à rappeler les enjeux du défi pour que les cas proposés soient plus adéquats.

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