Enseignement des fractions et des nombres décimaux

2025-02-07 | Jean-Philippe Georget

À la rentrée 2025, les fractions seront abordées dès le cycle 2, au lieu du cycle 3 comme c’est le cas depuis plusieurs années. L’enseignement des fractions et des nombres décimaux pose régulièrement des problèmes durables aux élèves, à l’école, au collège et au-delà. Ce diaporama présente certains des débats qui animent différentes organisations et communautés, ainsi que les principales difficultés rencontrées par les élèves. Il discute certaines situations d’enseignement parmi les nombreuses qui existent.

# Que retenir de ce diaporama ? - L’enseignement des fractions et des décimaux est un sujet de recherche qui fait encore débat depuis au moins les années 70, autant en France qu’à l’étranger, autant parmi les chercheurs qu’au niveau des institutions chargées d’établir des programmes ou des recommandations (voir par exemple la thèse de Martinez, 2018). - Rappels mathématiques - Attendu des programmes - Erreurs et difficultés traditionnelles des élèves - Approches traditionnelles des manuels scolaires - Approche ERMEL - Opérations avec les nombres décimaux --- # Références scientifiques - ERMEL (2012). *Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM1*, p. 300-321 (nombres rationnels, fractions et décimaux) et p. 390-402 (situations originales basées sur les aires : déterminer l’unité d’aire qui a permis de mesure l’aire d’un polygone, cette mesure étant connue). - ERMEL (2015). *Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM2*. Sous-chap. *Décimaux, fractions* p. 363-382 et p. 444-445 (activité classique fractions d'aires). - Coulange, L., Train, G. (2024). [Fraction à l’école primaire en France : un « objet » à (re)questionner ?](http://journals.openedition.org/adsc/5427), Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 29. [DOI](https://doi.org/10.4000/12ym2). - Hirsch & Roditi (2022). Neurosciences cognitives et apprentissage des nombres rationnels : un point de vue didactique. Petit x, 116, 51-114. --- - Martinez (2018). [Transposition didactique externe et acquisition du concept de fraction : une comparaison internationale entre onze participants aux évaluations TIMSS](https://hal.science/tel-02524942v2). Thèse de doctorat. Université Sorbonne Paris Cité. - Martinez, S. & Roditi, E. (2017). [Programmes scolaires et apprentissage de la notion de fraction à l’école élémentaire. Quelques enseignements tirés de TIMSS](http://cache.media.education.gouv.fr/file/revue_94/44/2/depp-EF94-2017-mathematiques-resultats-TIMSS-2015_819442.pdf). Education & Formations, 94, 23-40. --- Conclusion de l’analyse de l’étude TIMMS 2015, niveau CM1, par Martinez & Roditi (2017, p. 35-36) - la moitié des items portent sur la conception "partie-tout" sous la forme d’un dessin (ex. partages de tartes, voir détails p. 27) - la réussite à un item n’est pas corrélée à la durée de son enseignement, et pas au fait de commencer plus tôt un apprentissage (ex. du Québec, Singapour et Hong Kong, p29) - la réussite d’un pays est corrélée avec le fait que les items évalués sont présents dans les programmes d’enseignement du pays - la réussite à un item portant sur une conception n’est pas corrélée à un item portant sur une autre conception --- - la réussite aux items portant sur les fractions est corrélée avec les performances globales en mathématiques - la variabilité des performances aux différents items n’est pas la même d’un pays à l’autre - d’autres études sont nécessaires : nature des situations effectivement travaillées dans les classes, durée de l’enseignement comme celle du travail personnel des élèves, formation des enseignants et moyens dont ils disposent pour prévenir et lutter contre la difficulté scolaire. --- # Références institutionnelles - Programmes actuels de l'école primaire (+ rentrée 2025 au cycle 2) - *Fractions et nombres décimaux au cycle 3* ([Ressources d'accompagnement du programme du cycle 3](https://eduscol.education.fr/251/mathematiques-cycle-3), consulté le 13/01/2025) (réglettes Cuisenaire : appui sur la recherche ?) - Dehaene, S., Potier-Watkins, C., Xi He, C. et Lubineau, M. (2022). [Évaluer la compréhension des nombres décimaux et des fractions : Le test de la ligne numérique](https://www.reseau-canope.fr/fileadmin/user_upload/Projets/conseil_scientifique_education_nationale/Note_comprehension_nombres_decimaux_fractions_CSEN.pdf). Note du CSEN, 5, janvier 2022. --- - Sander, E., Neagoy, M., Rivier, C,, Scheibling-Sève, C. , Sensevy, G. et Thevenot, C. (2022). [De la multiplication aux fractions : réconcilier intuition et sens mathématiques](https://www.reseau-canope.fr/fileadmin/user_upload/Projets/conseil_scientifique_education_nationale/CSEN_Synthese_structures-mutliplicatives_web.pdf). Synthèse de la recherche et recommandations. CSEN, juin 2022. [Note : un seul chercheur en sciences de l’éducation, Gérard Sensevy, spécialiste en didactique des mathématiques, a participé à sa rédaction] - Neagoy, M. (2025). [Enseigner les fractions avec sens… et plaisir !](https://www.reseau-canope.fr/fileadmin/user_upload/Projets/conseil_scientifique_education_nationale/passeur/VERSION_PDF_15.pdf ) Le Passeur. La lettre du CSEN, 15, janvier 2025. - Boule, F. (2003). *Fractions et décimaux, Approches pédagogiques*, 4 p. (toujours présent sur Eduscol, mais quasiment inacessible au 14/01/2025 sans [ce lien direct ](https://media.eduscol.education.fr/file/education_prioritaire_et_accompagnement/17/7/jeux_fractions_decimaux-approches_115177.pdf)) ([PDF local](boule-2003-jeux_fractions_decimaux-approches-Eduscol.pdf)) --- # Fichier joint - [Documents pour mettre en oeuvre la progression ERMEL en classe](ermel-fractions-seance1-docs-eleves.zip) (fichier ZIP) --- # Définitions - **Fraction :** Écriture désignant un nombre rationnel - **Nombre rationnel :** Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction d’un entier sur un autre entier. Les nombres rationnels ont une infinité d'écritures, fractionnaires ou non (ex. $2=\frac{100}{50}$) - **Fraction unitaire :** Fraction dont le numérateur est 1 (ex. $\frac{1}{5}$) - **Fraction décimale :** $\frac{\mbox{nombre entier}}{10^n}= \frac{\mbox{nombre entier}}{2^p\times 5^q}$ --- - **Nombre décimal :** Nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale (ex. $1{,}5=\frac{15}{10}$ ; $0{,}3\overline{9}=\frac{4}{10}=0{,}4$). - **Écriture décimale et écriture à virgule :** Écriture du développement décimal, c’est-à-dire selon les puissances de 10. Il s’agit d’une façon d’écrire un nombre, sans rien dire de sa nature. Par ex. $1{,}33...=\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel alors que $0{,}5$ est un nombre décimal. --- # Cinq conceptions de la notion fraction Typologie de Behr, Lesh et Alii (1983, reprise dans Martinez & Roditi, 2017, p. 26) - La fraction « partie-tout » ou « partition » quantifie la relation entre un tout (une unité ou, respectivement, une collection d’unités) et le nombre de parties égales qui le composent. Cette conception est mobilisée dans les propositions « les trois quarts de la tarte ont été mangés » ou « dans cette classe, les trois cinquièmes des élèves sont des filles » - La fraction « rapport » met en relation la mesure de deux parties, sans référence à celle du tout, comme dans la phrase « L’équipe de direction comporte trois femmes pour deux hommes ». --- - La fraction « opérateur » ne représente pas une quantité mais une transformation. Ainsi, la multiplication du prix affiché par la fraction 4/5 permet de calculer le prix à payer lors d’une remise de 20 %. [c’est aussi le cas avec le puzzle de Brousseau quand 4 cm devient 7 cm, multiplication par 7/4] - La fraction « quotient » correspond au nombre que représente une fraction, elle ne quantifie pas de lien entre un numérateur et un dénominateur ; c’est le cas de la fraction 1/2 quand elle signifie seulement le nombre 0,5. - Une unité étant fixée, une fraction « mesure » est une fraction utilisée pour exprimer la mesure d’une grandeur : par exemple, la longueur d’une corde est 5/4 lorsque la corde tendue coïncide avec cinq reports d’un quart de l’unité. Note : Les auteurs du CSEN (Sander et al., 2022, p. 21) font référence à une autre catégorisation en indiquant qu’il s’agit des choix de l’approche dite de Singapour. --- # Erreurs et difficultés récurrentes depuis au moins les années 90 - Écriture décimale perçue comme juxtaposition de 2 entiers - Autres difficultés Quelques illustrations... --- ## Écriture décimale perçue comme juxtaposition de 2 entiers - $3{,}6 \neq 3{,}60$ - $3{,}16$ est le successeur de $3{,}15$ - $3{,}4 < 3{,}02$ du fait du nombre de chiffres</br> (fonctionne parfois : $3{,}4 < 3{,}52$) - $3{,}4 <3{,}15$ car $4 < 15$</br> (fonctionne parfois) - $3{,}4 + 2{,}9 = 5{,}13$ ou encore $7{,}8 \times 2 = 14{,}16$ - $3{,}5 \times 100 = 30{,}50$ ou $3{,}500$ ou... Erreurs renforcées par les formulations du type « 2 virgule 31 » et les écritures $3{,}51$ m = $3$ m $51$ cm = $351$ cm. --- ## Infinité de nombres entre deux décimaux La représentation ci-dessous des nombres décimaux a un certain intérêt mais ne suffit pas toujours pour que les élèves comprennent que la notion de « successeur » qui existe pour les nombres entiers n'existe pas, ou alors pas de la même manière, pour les nombres décimaux. <figure><img src="decimaux-droite-graduee-zoom-cm12.png" style="height:50%; width:50%;"></figure> --- ## Autres difficultés - Difficultés avec les fractions > 1 (num. > dénom.) - Confusion de termes ou de rangs : dixièmes/dizaines, centièmes/centaines (1 ou 4 est le chiffre des dixièmes dans 12,34) - Mémorisation limitée de *demi*, *tiers*, *quarts* (malgré lien possible avec demi/quart d'heure) - Manque d'aisance générale avec les écritures fractionnaires et les écritures décimales --- ### Test de la ligne numérique (Dehaene et al., 2022) > 78 % des élèves en début de sixième n’ont pas su placer correctement la fraction $1 \over 2$ au milieu de l’intervalle $[0,1]$. L’analyse des erreurs montre que les élèves confondent souvent une fraction, soit avec l’une de ses composantes entières (1⁄2 $\rightarrow$ 1 ou 2), soit avec le nombre décimal (1,2). La littérature montre que la bonne compréhension de la ligne numérique est fortement prédictive de la réussite ultérieure en mathématiques, et qu’un entrainement dans ce domaine, accompagné d’une pédagogie adaptée, a des effets positifs. (Dehaene et al., 2022, p. 1) --- Note : Même forte, [une corrélation n’implique pas une causalité](https://fr.wikipedia.org/wiki/Corr%C3%A9lation_n%27implique_pas_causalit%C3%A9) : une même cause, comme le manque de sens général donné aux activités mathématiques en classe, peut impacter à la fois la compréhension de la droite numérique, celle des fractions et des décimaux, etc. Les auteurs précisent d’ailleurs : > Cependant, l’impact du simple fait de jouer à placer des fractions sur la ligne numérique est débattu : les données suggèrent que le jeu lui-même ne suffit pas, et qu’il faut l’accompagner d’un enseignement explicite de ce que sont les fractions et de la manière dont elles se comportent. (p. 7) Hirsch & Roditi (2022) font une analyse très critique, détaillée et référencée des conclusions du CSEN et plus généralement de l’approche de l’enseignement par la neuroéducation. --- Conclusion du CSEN en 2022 : > Un point est fondamental : il faut penser aux fractions comme des multiplications d’un nombre (le numérateur) par une nouvelle unité (qui vaut 1/n, où n est le dénominateur). Par exemple, 2/9, c’est deux fois « un neuvième » : tout se passe comme si on avait changé d’unité, et qu’on comptait à présent en neuvièmes. Il devient alors très facile de comprendre que 2/9 + 1/9, c’est 3/9. Et de même qu’on ne peut pas additionner des mètres et des pieds, on ne peut pas additionner deux fractions, par exemple 1/2 et 1/3, sans commencer par les « réduire au même dénominateur », c’est-à-dire les mesurer avec la même unité. (p. 7) Note : Une autre note du CSEN (Sander et al., 2022, p. 44, premier paragraphe des *Propositions pédagogiques*) parle de « recommandation la plus importante ». --- > Si les nombres décimaux n’entrainent que 9 % d’erreurs, souvent proches de la bonne réponse, les principes du système décimal sont source de grande confusion. L’erreur principale consiste à ne pas savoir ajouter un décimal et un entier, particulièrement dans cet ordre (31 % d’erreurs). Ainsi, au problème 0,2+1, la réponse est souvent 0,3 ou 3 : l’élève ne tient pas bien compte de la virgule, ce qui indique une méconnaissance du sens de ces quantités. […] > > Les calculs avec des décimaux entrainent entre 40 % et 90 % d’erreurs. C’est la retenue qui pose à nouveau des difficultés, dans des problèmes comme $0{,}9 + 3{,}7$ ou $3{,}1 – 1{,}3$. [...] > > Beaucoup d’élèves n’ont pas compris qu’une fraction représente une seule quantité, un seul nombre, et ils choisissent. (Dehaene et al, 2022, p. 6) --- > Dans ces conditions, il n’est guère surprenant que les calculs avec des fractions, même les plus élémentaires, entrainent entre 75 % et 90 % d’erreurs. Les problèmes n’incluaient pourtant que des questions simples si l’on a compris ce que signifient les grandeurs en jeu (Dehaene et al, 2022, p. 6) Et enfin, les auteurs indiquent (p. 7) : > La division d’un segment facilite le raisonnement avec des fractions, bien plus que la classique division d’une pizza ou d’une tarte. > > Faire pratiquer les constructions géométriques. Leur division ou leur pliage permettent de comprendre la division des longueurs et des surfaces par deux, par trois, par quatre... --- > De nombreux systèmes scolaires privilégient l’introduction des fractions à l’école élémentaire selon l’interprétation de la partie rapportée au tout. Au cours des dernières décennies, de nombreux travaux ont montré les limites de cette approche et son impact délétère sur une compréhension approfondie des nombres rationnels et des opérations pouvant être réalisées sur ces nombres (Cramer, Behr, Post, & Lesh, 2009). Il y a un enjeu éducatif important à ce que les fractions soient abordées précocement dans les programmes de l’école élémentaire afin que soient données aux élèves l’opportunité de développer une familiarité avec les fractions et une compréhension intuitive des notions fondamentales pour un travail plus avancé lors des cycles 3 et 4. (Sander et al., 2022, p. 21) L’analyse des résultats de TIMSS 2015 par Martinez & Roditi (2017) conclut de la même façon. --- # Limite des manuels traditionnels Vision limitée et peu opérationnelle des fractions et des nombres décimaux - Quadrillages et pizzas : unité pas toujours précisée quand le numérateur est supérieur au dénominateur : <img src="boule-fraction-quad.jpg" style="height:15%"> - Nombres décimaux introduits comme mesures : 3,51 m = 3 m 51 cm = 351 cm - Maximum de trois chiffres après la virgule et peu d’utilisation de formulations équivalentes : 2 unités et 31 centièmes, 2 unités 3 dixièmes 1 centième , 231 centièmes, 23 dixièmes et 1 centième... --- # Que faire dans l’état actuel des recherches scientifiques ? - s’assurer de la variété des situations proposées et des conceptions de la fraction travaillées - privilégier l'approche ERMEL au cycle 3 pour ce qui concerne la conception « mesure » des fractions ($3/4=3 \times \frac{1}{4}$ dans un contexte de longueur) --- # Illustration à partir de quadrillages <figure> <a href="martinez-2018-40-1.png"><img src="martinez-2018-40-1.png" style="width:15%;"></a> <a href="martinez-2018-40-2.png"><img src="martinez-2018-40-2.png" style="width:16%;"></a> <a href="martinez-2018-41-1.png"><img src="martinez-2018-41-1.png" style="width:15%;"></a> <a href="martinez-2018-41-2.png"><img src="martinez-2018-41-2.png" style="width:15%;"></a> <a href="martinez-2018-43-1.png"><img src="martinez-2018-43-1.png" style="width:15%;"></a> <a href="martinez-2018-42-1.png"><img src="martinez-2018-42-1.png" style="width:30%;"></a> <a href="martinez-2018-44-1.png"><img src="martinez-2018-44-1.png" style="width:60%;"></a> <figcaption>Extraits de la thèse de Martinez, 2018, p. 40-44. Pour chaque cas, il s’agit d’évaluer la fraction représentée par la partie grisée.</figcaption> </figure> --- <figure> <a href="mulis-2016-item-TIMSS-fraction.png"><img src="mulis-2016-item-TIMSS-fraction.png" style="width:65%;"></a> <figcaption>Item « libéré » de TIMSS 2015 portant sur les fractions (Mullis et al., cité par Coulange & Train, 2024). </figcaption> </figure> À noter, l’absence des traits de partage alors qu’ils sont couramment présents dans les manuels français. --- ## Les programmes Précisions données p.6 et suiv. du doc. Eduscol *Fractions et nombres décimaux au cycle 3* (2016) - Introduction des fractions dès le CM1 (période 1 d'après [BOEN, 12/01/23](2023-01-12-BO-2-nouvelle-dyn-maths-Renforcer_maitrise_savoirs_fondamentaux.pdf)) - Introduction de l'écriture à virgule en CM1, à partir des fractions décimales et en co-existence avec elles - Travailler le fait que chaque rang de l'écriture décimale est un multiple de 10 du rang inférieur --- > Les ruptures et continuités énoncées [dans le paragraphe précédent] expliquent le choix indiqué dans les programmes, de construire les décimaux à partir des fractions décimales, dès le début du cycle 3. > - pour leur donner du sens > - pour donner du sens aux calculs et aux comparaisons de nombres > (écritures fractionnaires et à virgule) > - pour distinguer le nombre et ses différentes écritures > - pour résoudre des problèmes (Source : Doc. Eduscol *Fractions et nombres décimaux*, 2016, p. 7)  --- - Introduction de fractions simples puis écriture sous forme fractionnaire - pour résoudre des problèmes avec fractionnement de l'unité (ex. d'un morceau de ficelle comme unité pour mesurer les longueurs dans la classe, p. 8) - la fraction de l'unité (ex. 1/4) devient la nouvelle unité de comptage (7/4 = 1/4 + 1/4...) - travail avec des fractions inférieures ET supérieures à 1 dès le CM1 - Introduction des fractions décimales (comparer, ranger, encadrer, intercaler, calculer) - Introduction de l'écriture à virgule La fraction comme quotient n'intervient qu'en sixième. (Source : Doc. Eduscol *Fractions et nombres décimaux*, 2016, p. 7-14)  --- # Synthèse de l'approche ERMEL 1. Introduction des fractions simples : nouveaux nombres pour résoudre un problème de mesure de segments à l'aide d'une bande-unité, là où les entiers sont inefficaces. Assurer une certaine familiarité avec des fractions usuelles et les fractions décimales ($\frac{...}{2}$, $\frac{...}{4}$, $\frac{...}{8}$, $\frac{...}{3}$), écritures équivalentes, droites graduées 2. Introduction des fractions décimales : reprise d'activités déjà réalisées avec les fractions simples ($\frac{...}{10}$, $\frac{...}{100}$, $\frac{...}{1000}$) 3. Introduction de l'écriture décimale avec un tableau de numération ($\frac{35}{10}=3+\frac{5}{10}$ s'écrit $3{,}5$) 4. Prendre les $\frac{p}{q}$ d'un nombre (ex. $\frac{3}{4}$ de $40$) --- ## Séance 1 : 1 bande unité et 3 feuilles ! <figure><img src="scan1.jpg" style="width:45%;"><figcaption>Feuille segment personnel (feuille 1)</figcaption></figure> <figure><img src="scan2.jpg" style="width:45%;"><figcaption>Feuille message (feuille 2)</figcaption></figure> <figure><img src="scan3.jpg" style="width:45%;"><figcaption>Feuille des segments (feuille 3)</figcaption></figure> --- Les élèves reçoivent : - une bande unité (la même pour tous) - une feuille segment personnel (trois longueurs différentes au sein de la classe) - une feuille message Le message doit décrire leur segment personnel en utilisant la bande unité afin que le destinataire le retrouve sur la feuille des segments. --- ## Consigne > Écrire un message sur la feuille message. > > Ce message devra permettre à celui qui le lira de retrouver, sur la feuille des segments, le segment qui a la même longueur que votre segment personnel. > > Vous ne pouvez pas utiliser votre double-décimètre, mais vous pouvez utiliser la bande unité (et la plier si nécessaire). --- 1. Échanger les messages entre élèves 2. Distribution des feuilles des segments 3. Sur la feuille des segments, identifier le segment qui correspond au message --- 4. Récupérer sa feuille message 5. Vérifier si le récepteur de son message a identifié le bon segment sur la feuille des segments 6. Compléter la feuille message --- ## Exemples de productions d'élèves (ERMEL CM1, 2012, p. 408-409) --- <img style="height:700px" src="ermel-cm1-408-prod-eleves-bande-unite.png"> --- <img style="height:600px" src="ermel-cm1-409-prod-eleves-bande-unite.png"> --- ## Exploitation des productions - Recensement des messages pour $AB =2u+\frac{1}{2}u=\frac{5}{2}u$ (segment 2) - Introduction des fractions $\frac{...}{2}$ et du mot *demi* - Vérification collective et individuelle avec le matériel - Discussion des productions qui ont utilisé la largeur de la bande - Idem avec $CD =\frac{7}{4}u=1u+\frac{3}{4}u=\frac{3}{2}u+\frac{1}{4}u$ (segment 5) - Idem avec $EF =2u+\frac{1}{8}u$ (segment 6) - Éventuellement des écritures soustractives - Affichage collectif explicatif pour 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$ --- Exemple d'affichage de synthèse <figure><img src="fractions-equiv-demi-quarts-huit.jpg" style="width:80%;"></figure> --- ## Conseils pratiques pour la séance 1 - Préparer avec attention les différentes consignes orales - Imprimer les feuilles sur la même imprimante ou le même photocopieur - Distribuer le matériel aux élèves dans des enveloppes individuelles (plus pratique et rapide à distribuer) - Gestion de l'hétérogénéité : Certains segments se découpent en $\frac{1}{2}$ (plutôt pour les élèves les moins à l'aise en mathématiques), d'autres en $\frac{1}{4}$ ou en $\frac{1}{8}$ (plutôt pour les élèves les plus à l'aise en mathématiques) - Ne pas attendre que tous les élèves aient fini pour échanger les messages : la situation sert essentiellement à problématiser et faire émerger les premières stratégies. --- ## Séances suivantes - Mesure et vérification collective de chaque segment de la feuille des segments (variation des écritures) - Construction de segments de longueur donnée (ex. $OA=1u + \frac{5}{4}u$ ou encore $OC=\frac{5}{2}+\frac{1}{8}u$) - Comparaison de longueur sans matériel, placement sur droite graduée $OA=1u+\frac{5}{2}u$, $OB=\frac{7}{2}u$, $OC=2u+\frac{2}{2}u+\frac{1}{4}u$, $OD=\frac{10}{4}u$, $OD=1u+\frac{15}{8}u$ - Comparaison d'écritures fractionnaires puis production de plusieurs écritures pour une longueur donnée ($\frac{18}{8}$, $3+\frac{1}{4}$\...) --- - Exercices sur droites graduées en $\frac{1}{3}$, en $\frac{1}{5}$, en $\frac{1}{10}$ : lire une abscisse, placer un point, calculer la distance</br><figure><img src="ermel-cm1-fractions-graduations-tiers-cinq-dix.png" style="width:60%;"></figure> - Construction de l'unité à partir du $\frac{1}{100}$ de l'unité --- Introduction de l'écriture à virgule en plaçant des nombres fractionnaires dans un tableau de numération $\frac{120}{10}=12$ $\rightarrow$ On sait placer ce nombre. <figure><img src="fractions-ecriture-decimale-1.png" style="width:110%;"></figure> --- $\frac{35}{10}=3+\frac{5}{10}$ $\rightarrow$ Ajout d'une colonne pour les dixièmes. $35$ dixièmes = $3$ unités $5$ dixièmes <figure><img src="fractions-ecriture-decimale-2.png" style="width:110%;"></figure> En l'absence de tableau, il faudra écrire $3{,}5$ avec une virgule pour différencier $35$ ($35$ unités) et $3{,}5$ ($35$ dixièmes). --- $\frac{273}{100}=2+\frac{7}{10}+\frac{3}{100}=2{,}73$ $\rightarrow$ Ajout d'une colonne pour les centièmes. <figure><img src="fractions-ecriture-decimale-3.png" style="width:110%;"></figure> On peut continuer de compléter le tableau avec les millièmes, dix-millièmes, etc. --- ## Programmation ERMEL CM1 <table class="tc1"> <thead> <tr> <th>Périodes</th> <th>Objectifs</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>2</td> <td>Utiliser des fractions simples (bande unité)</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>Utiliser des fractions simples (droite graduée), écriture à virgule</td> </tr> <tr> <td>4</td> <td>Comparaison de nombres décimaux (procédures personnelles), jeux du portrait, intercalation</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>Nombres décimaux, addition et soustraction, droite graduée et distances entre deux points, quadrillages et aires (p. 390)</td> </tr> </tbody> </table> --- ## Programmation ERMEL CM2 <table class="tc1"> <thead> <tr> <th>Périodes</th> <th>Objectifs</th> </tr> </thead> <tbody> <td>1-2</td> <td>Situations similaires au CM1</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td>Mesures, écritures décimales (1,5 m) et complexes (1 m 50 cm), $\times 10, 100...$, règles pour comparer des décimaux</td> </tr> <tr> <td>4</td> <td>Décimaux et changement d'unité, multiplier un décimal par un entier</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>$\times 10, 100...$ dans un contexte de monnaie, calculer $\frac{p}{q}$ d'une quantité (par exemple $\frac{7}{8}$ de $32$)</td> </tr> </tbody> </table> --- # ERMEL et le calcul avec les fractions et les nombres décimaux Dès le début de la séquence, les élèves apprennent à additionner des fractions simples et à trouver des fractions équivalentes (sans recourir à la technique de mise au même dénominateur telle qu'ils la verront au collège). Ces techniques sont ensuite étendues au cas des fractions décimales. Les élèves peuvent découvrir des techniques de calcul avec les nombres décimaux en se reportant à leur décomposition en sommes de fractions décimales. --- ## Exemple Soit l'addition $3{,}51 + 1{,}9$, les élèves savent que - $3{,}51 = 3 + \frac{5}{10} + \frac{1}{100}$ - $1{,}9 = 1 + \frac{9}{10}$ Ayant déjà calculé avec des fractions décimales, ils peuvent en déduire $$3{,}51 + 1{,}9 = (3 + \frac{5}{10} + \frac{1}{100}) + (1+\frac{9}{10})$$ Puis $$3{,}51 + 1{,}9 = 4 + \frac{14}{10} + \frac{1}{100}= 4 + 1 + \frac{4}{10} + \frac{1}{100} = 5{,}41$$ --- Ainsi, les élèves découvrent différentes opérations : - Addition nombre décimal + nombre entier/décimal : méthode personnelle puis conventionnelle - Soustraction : idem - Multiplication/Division d'un nombre décimal par un nombre entier : idem - Multiplication/Division d'un nombre décimal par 10, 100... : même explication que pour les entiers --- La division d'un nombre décimal par un entier peut se traiter ainsi : $$3{,}4 : 2 = 34 \textrm{ dixièmes} : 2 = 17 \text{ dixièmes} = 1{,}7$$ Cette technique permet de comprendre la technique usuelle basée sur la division euclidienne en potence. Note : La multiplication et la division de deux nombres décimaux relèvent généralement du programme du collège. --- ## Division décimale en potence Elle peut se travailler dès que l'écriture décimale a été introduite et travaillée : - poser la division en potence comme pour une division euclidienne - considérer le reste (par exemple 3 unités) - l'écrire en dixièmes (30 dixièmes) - poursuivre la division et trouver des dixièmes au quotient - réitérer avec les centièmes, millièmes, etc. centièmes... au quotient. Note : Pour l'introduction de la division en potence avec la situation de partage des billets, voir Ermel CM2. --- ## Multiplication de deux nombres décimaux Il n'y a plus d'addition réitérée possible, le mot « fois » n'est plus pertinent : $$13{,}25 \times{} 7{,}6 \neq 13{,}25 \mbox{ fois } 7{,}6$$ En toute rigueur, il faut employer la formule « multiplié par ». --- ## Multiplication de deux nombres décimaux Soit la multiplication $13{,}25 \times{} 7{,}6$. Les deux méthodes nécessitent que les élèves aient travaillé la multiplication et la division par 10, 100, 1000... en calcul mental. ### Méthode 1 $7{,}6 \times{} 10 = 76$ permet de se ramener à $13{,}25 \times{} 76 = 1007$, c'est à dire une multiplication déjà connue d'un nombre décimal par un nombre entier. Il faut ensuite diviser le produit $1007$ par $10$ pour « annuler » l'effet du $\times{} 10$. Ce qui donne le produit recherché : $1007 : 10 = 100{,}7$. --- ### Méthode 2 (plus proche de la technique usuelle) $(13{,}25 \times{} 100) \times{} (7{,}6 \times{} 10) = 1325 \times{} 76 = 100\{,}700$ Puisqu'on a multiplié le produit initial par $10 \times{} 100=1000$, il faut ensuite le diviser par 1000. Cette méthode explique et justifie la stratégie de comptage usuelle des chiffres après la virgule. <figure><img src="multiplication-deux-decimaux.png" style="width:50%;"></figure> --- ## Situations de numération et de calcul mental Il est souvent possible d'adapter des situations déjà recontrées avec les nombres entiers : - Rouleau des nombres : de $\frac{1}{10}$<sup>e</sup> en $\frac{1}{10}$<sup>e</sup>, de $\frac{1}{100}$<sup>e</sup> en $\frac{1}{100}$<sup>e</sup> - Portrait de nombres : un nombre qui a 15 dixièmes et 2 unités ($1{,}5+2=3{,}5$) - Calcul mental - avec $0{,}25\quad 0{,}5\quad 0{,}75\quad 1$ - avec $2{,}5\quad 5\quad 7{,}5 \quad 10$ - avec $\times{} 10, 100, 1000$\... - etc.

    Jean-Philippe Georget –  licence CC BY-NC-SA 4.0.