Vers le calcul posé à l’école primaire
https://jpgeorget.pages.unicaen.fr/html/calcul-pose/Références
- Socle commun de connaissances et de compétences
- Programmes en vigueur et documents d’accompagnement actuels (Eduscol)
- Girodet, MA. (2001). L’influence des cultures sur les pratiques quotidiennes de calcul. Didier.
- Les documents d’accompagnement des programmes 2002-2007 peuvent sembler datés mais ils contiennent des éléments difficilement trouvables ailleurs : Calcul posé et Calcul mental
- Le diaporama sur le calcul mental est en rapport direct avec le présent diaporama.
Propositions de définitions
- Calcul mental
- Effectué mentalement avec ou sans recours à l'écrit selon les acceptions.
- Calcul automatisé
- Application d'un algorithme connu, ou rappel d'un résultat mémorisé.
- Calcul réfléchi
- Effectué avec recherche d'une stratégie de calcul.
- Technique experte
- (généralement) Algorithme usuel d'une des 4 opérations, s'oppose à technique personnelle ou qui change au cas par cas.
- Calcul posé
- Calcul écrit qui suit une technique experte.
- Calcul instrumenté
- Utilisant un instrument (calculatrice, tableur, table d'opérations).
Addition et soustractions
Champ conceptuel des structures additives
Les problèmes qui nécessitent une addition ou une soustraction sont en lien direct et doivent se traiter simultanément. C’est la notion de champ conceptuel des structures additives de Gérard Vergnaud (1991).
Les techniques expertes, elles, ne sont pas enseignées simultanément.
Les cas d’addition et de soustractions avec et sans retenues doivent être proposés simultanément, à l’inverse de ce que proposent certains manuels. Ceci favorise la bonne compréhension des techniques associées en lien avec celle de la numération et évite certains obstacles didactiques (càd. causés par l’enseignement lui-même).
Panorama synthétique des procédures élèves
- Appui sur du matériel
- Procédures $\pm$ imagées : dessin, schéma, file numérique (suite des nombres écrits en chiffres) et droite numérique
- Utilisation du surcomptage (ex. compter à partir de 5 jusqu’à 11, càd. augmenter de 6) ou du décomptage (ex. compter de 7 à 5, càd. diminuer de 2)
- Calcul sur les nombres après reconnaissance du calcul à effectuer : opération à trous, technique personnelle, technique experte, calculatrice (utilisation possible et souhaitable à tous les niveaux dès le CP).
Techniques personnelles pour additionner
Pour calculer $657+48$, on peut par exemple utiliser la décomposition canonique : $657=600+50+7$, l’associativité et la commutativité de l’addition. Ceci suppose que les élèves aient déjà travaillé ces propriétés lors de séances de calcul mental.
$$ \begin{align} 657 + 48 & = (600 + 50 + 7)+ (40 + 8)\\ & = 600 + 50 + 7 + 40 + 8\\ & = 600 + 50 + 40 + 7 + 8\\ & = 600 + (50 + 40) + (7 + 8)\\ & = 600 + (50 + 40) + (7 + 3 + 5)\\ & = 600 + 90 + 10 + 5\\ & = 600 + 100 + 5 = 705 \end{align} $$
Quelques exemples argumentés d’autres décompositions possibles…
Appui sur le double de 40 (car double de 4 bien connu) et $8d + 2d = 10d = 100$ :
$$ \begin{align} 657 + 48 & = (600 + \mathbf{40} + 17)+ (\mathbf{40} + 8)\\ & = 600 + (40 + 40) + (17 + 8)\\ & = 600 + 80 + 25\\ & = 600 + \mathbf{80} + \mathbf{20} + 5\\ & = 600 + 105\\ \end{align} $$
Appui sur des passages à la dizaine ou la centaine supérieure :
$$ \begin{align} & = 657 + 40 + 3+5\\ & = \mathbf{657} + \mathbf{3} + 40 + 5\\ & = \mathbf{660} + \mathbf{40} + 5\\ & = 700 + 5\\ \end{align} $$
Les stratégies personnelles peuvent être multiples !
Situation Carrelages pour introduire la technique experte de l’addition
Entre numération et principe usuel de l’addition : un bon de commande pour carreler un quadrillage (ERMEL CP).
Première phase : établir un bon de commande par quadrillage
Il me faut … carrés. Je commande … paquets de dix et … carrés isolés. (nombre de carrés isolés inférieur à 9)
Phase suivante : Transformer 2 bons de commande (ou plus) en un unique bon de commande
Cette phase permet aux élèves de découvrir le principe des retenues utilisé dans l’algorithme usuel de l’addition.
$\rightarrow$ 
Les élèves redécouvrent ainsi eux-mêmes le principe de la retenue de l’addition en s’appuyant sur des connaissances de numération.
Une situation similaire, basée sur des sachets de graines et intégrant les centaines, est présentée dans le ERMEL CE1.
Trois repères importants pour la situation Carrelages
- Assurer plusieurs séances avec de véritables manipulations afin que les élèves intègrent bien le processus du passage des unités en dizaines, des dizaines en centaines
- Insister sur l’anticipation du résultat de l’addition
- Favoriser l’auto-validation des élèves avec une calculatrice
Pourquoi apprendre l’addition en colonnes
Avec des séances de calcul mental quotidiennes pertinentes, les élèves deviennent très rapides et à l’aise avec les calculs additifs et soustractifs.
Au moment d’introduire l’addition posée, certains risquent de ne pas voir l’intérêt de poser une addition telle que $657+48$ en colonnes alors qu’ils savent la traiter rapidement mentalement ou en ligne.
Si un calcul mental est plus rapide, l’élève ne devrait pas être obligé de poser l’opération, sauf si l’enseignant justifie cette nécessité.
Quelques arguments pour légitimer l’addition en colonnes
- Fonctionne pour tous les nombres
- Procédé automatisé, parfois plus rapide (mais pas toujours)
- Efficace pour additionner plusieurs nombres
- Trace des retenues pour vérifier les calculs
Une écriture valide mais non conventionnelle !
$$6\text{ }9\text{ }15 = 6915 \neq 705$$
Il faut traiter / mémoriser / retenir une dizaine (1d) d’où le nom de retenue.
Disgression : Pour mettre en forme des opérations posées complètes ou à trous dans un traitement de textes, utiliser un tableau en plaçant 1 signe ou 1 chiffre par cellule, supprimer les bordures sauf pour les traits utiles.
Place des retenues dans l’addition posée
C’est à l’élève de choisir la place de la retenue qui lui convient, par exemple :
- au-dessus de 5d
- en dessous de 4d
- ailleurs en écrivant qu’il s’agit de 1 dizaine
Techniques « personnelles » de soustraction
Décomposition du plus grand nombre avec un nombre compris entre 10 et 20 pour lui soustraire l’unité du petit nombre
$$ 53 - 26 = 40 + \mathbf{13} - 20 - \mathbf{ 6} = (40 - 20) + (13- 6) = 20 + 7 $$
Décomposition du plus grand nombre et complément à 10
$$ 53 - 26 = 40 + \mathbf{10} + 3 - 20 - \mathbf{ 6} = (40 - 20) + (10 - 6) + 3 = 20 + 4 + 3 $$
Décomposition du plus petit nombre
$$ 53 - 26 = 5\mathbf{3} - 23 - \mathbf{3} = (5\mathbf{3} - \mathbf{3}) - 23 = 50 - 20 - 3 = 47 - 20 $$
Source : Ma, L. (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics, Teacher’s Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. Mahwah, New Jersey, London: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
Techniques expertes pour la soustraction
- Plusieurs techniques expertes existent et les programmes ne précisent pas laquelle enseigner.
- Comme pour l’addition, il faut traiter simultanément des cas avec et sans « retenue ».
- Comme le proposait le document Calcul
posé accompagnant les programmes
2002/2007, l’essentiel pourrait être que l’élève maîtrise au moins
une technique parmi celle-ci :
- technique par emprunt
- technique par compensation ou par écart constant, et techniques dérivées
- addition à trous (en dernier recours)
Soustraction par emprunt
Principale méthode enseignée dans certains pays
- Avantage : Méthode basée sur la décomposition d’un nombre (inverse des groupements d’unités effectués quand l’élève apprend le codage chiffré des nombres). Compréhension simple.
- Inconvénient : Un grand nombre d’échanges rend la méthode coûteuse et augmente le risque d’erreurs (ex : $1000-768$), mais mixage possible avec des stratégies de calcul mental réfléchi ($1000-700-60-8$).
Technique par compensation ou écart constant, et brouillage du sens des « retenues »
- Le 1 posé à gauche du 3 de 53 se juxtapose au nombre 3 pour donner 13.
- Le 1 posé à côté du 2 de 26 s’ajoute au 2 pour donner 3.
Comment justifier et expliquer le sens de cette technique aux élèves comme les programmes le demandent ?
Explication basée sur un calcul algébrique
La technique par compensation ou écart constant s’appuie sur le fait que l’on peut ajouter des quantités aux deux termes de la soustraction sans que la différence soit modifiée.
La justification algébrique peut se faire de la façon suivante. Si on veut calculer la différence entre $a$ et $b$, on peut ajouter un nombre $c$ aux deux termes :
$$(a + c) - (b + c)= a + c - b - c = a - b$$
Mais cette explication est inadapté à l’école primaire.
Explication basée sur la ligne numérique
Dans la technique par compensation ou écart constant, la différence ne varie pas en ajoutant 10 (par exemple) aux deux termes traités :
La soustraction par compensation ou écart constant sous forme posée
« L’astuce » de la soustraction par compensation consiste à ajouter le même nombre, 10, aux deux termes de la différence mais pas de la même manière.
L’écriture au centre ci-dessous n’est pas usuelle en France, mais elle est claire, explicite et pertinente à utiliser avec tous les élèves.
Variante : la soustraction « à la russe »
En ajoutant $4$, on obtient $53 - 26 = 57-30$.
En soustrayant $3$, on obtient $53 - 26 = 50-23$.
Une autre technique pour la soustraction
Exemple avec $1234-678$ : En ajoutant $765$ aux deux termes, on obtient des « $9$ » au premier terme, ce qui supprime le problème des retenues :
- $1234+765=1999$
- $678+765=1443$
Note : Cette technique est présentée dans le manuel Euromaths CE1, 2009.
Mesurer avec une règle cassée ?
Champ conceptuel des structures multiplicatives
Les problèmes de multiplication et de division doivent se traiter simultanément, en lien avec les structures multiplicatives et la notion de champ conceptuel des structures multiplicatives de Gérard Vergnaud (1991).
Les techniques expertes ne sont pas enseignées simultanément.
Les cas de division euclidienne avec reste nul ou non doivent être posées simultanément. Ceci favorise la bonne compréhension de ce qu’est la division euclidienne (voir détails plus loin).
Attention à l’abus de langage : « Il n’y a pas de reste » au lieu de « Le reste est égal à zéro, il est nul ».
Les manuels scolaires ne respectent pas toujours ces exigences importantes.
Panorama des procédures élèves
- Appui sur du matériel
- Procédures $\pm$imagées : dessin, schéma, file puis droite numériques
- Procédures additives/soustractives : additions et soustractions réitérées « pas à pas », avec ou sans regroupements. Exemple avec $ \begin{align} 15\times 58 & = [(15\times 10)+(15\times 10)+\\ & (15\times 10)+(15\times 10)+(15\times 10)] + (15 \times 8) \end{align} $
- Procédures multiplicatives : utilisation de multiples spéciaux (ex. multiples de puissances de 10), multiplication à trous, technique experte, calculatrice à tous les niveaux d’enseignement.
Vers une multiplication posée
- $\times$ : écriture économique d’additions réitérées : $127 \times{} 2 €$, …fois…, …multiplié par…
- Par le calcul mental, travail des propriétés de commutativité (puissance de la $ \times{} $), d’associativité et de distributivité
- Montrer l’intérêt d’une technique experte : achat de billets, économie des calculs) dans ERMEL CE1/CE2
- Multiplication par 10, 100, 1000
- Multiplication par un nombre à 1 chiffre
- Multiplication par un nombre à 2 ou 3 chiffres
- Multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier, puis de deux nombres décimaux (collège)
Différenciation : calculatrice, liste de résultats de multiplications mal maîtrisées.
Multiplier par 10, 100, 1000
- Éviter d’introduire la règle « multiplier par 10 revient à ajouter un zéro » à l’origine des erreurs du type $5{,}3\times 10 = 5{,}30$ à l’école et au collègue pour de nombreux élèves
- S’appuyer plutôt sur des raisonnements simples et explicites de numération (voir diapositives suivantes)
Explication 1
$35\times 10 = (3 d +5 u) \times 10$ revient à multiplier chaque unité de numération par 10, donc les unités deviennent des dizaines, les dizaines deviennent des centaines, etc. (technique du « glisse-nombre »).
L’explication fonctionne aussi avec les nombres décimaux.
Explication 2
$5 \times 10 = 5 \times 1\mbox{ dizaine} = 5 \mbox{ dizaines} = 50$
$5 \times 20 = 5 \times 2\mbox{ dizaines}=10 \mbox{ dizaines}=100$
$$ \begin{align} 5,3 \times 10 & = 53 \mbox{ dixièmes} \times 10\\ &= (53 \times 1\mbox{ dixième}) \times 10\\ &= 53 \times (1 \mbox{ dixième} \times 10)\\ &= 53 \mbox{ unités} = 53 \end{align} $$
Intermède potentiel
Analyse et formulation d’hypothèses à partir d’une séance de résolution de $45\times 15$ par 3 formes différentes de multiplication posée en Inde (2016).
Multiplication posée
Quatre techniques expertes pour $123 \times 5$ en cycle 2
Après une pratique suffisante, les élèves peuvent aborder la technique la plus experte (avec les retenues écrites de manière compréhensible) :
Pourquoi poser $123 \times 5$ plutôt que $5 \times 123$ ?
Multiplication posée par un nombre à plusieurs chiffres
$$ \begin{align} 123 \times 645 &= 123 \times (6c + 4d + 5u)\\ &= (123 \times 6 c) + (123 \times 4 d) + (123 \times 5 u)\\ &= (123 \times 6) c + (123 \times 4) d + (123 \times 5) u\\ &= 738c + 492d + 615u \end{align} $$
On peut aussi écrire $123 \times 645 = 123 \times (600 + 40 + 5) = 73800 + 4920 + 615$.
Ces écritures relèvent du collège. À l’école, elles peuvent s’écrire de manières variées avec des flèches ou des schémas pour justifier les deux écritures en colonnes suivantes :
Multiplication d’un décimal par un entier
Explication 1
$13{,}25 \times 6 = 1325\mbox{ centièmes} \times 6 = 7950 \mbox{ centièmes}=79{,}5$
Explication 2
- Se débarrasser de la virgule avec $13{,}25 \times 100 = 1325$
- Calculer le produit $1325 \times 6 = 7950$
- Puisqu’on a multiplié le produit par 100, il faut ensuite le diviser par 100 : $7950 : 100 = 79{,}5$
Multiplication de deux décimaux
Comment calculer $13,25 \times 7,6$ ?
Explication 1
- Se ramener à une opération connue avec $7,6 \times 10 = 76$
- Effectuer $13,25 \times 76 = 1007$ (cad. un décimal $ \times $ un entier)
- Puisqu’on a multiplié le produit par 10, il faut ensuite le diviser par 10 : $1007 : 10 = 100,7$.
Explication 2 (justification de la technique usuelle)
$(13,25 \times 100) \times (7,6 \times 10) = 1325 \times 76 = 100\,700$
$100\,700 : (10 \times 100) = 100\,700:1000 = 100,7$.
Puisqu’on a multiplié le produit par $10 \times 100=1000$, on divise ensuite par 1000.
Technique pour la division
Mise au point : division euclidienne ou non
Sens du mot « division » = partage équitable ou inéquitable travaillé en cycles 1 et 2
Division euclidienne et autres divisions
Exemples de divisions possibles de 25 par 6 : $25=4 \times 6+1=3 \times 6+7=2 \times 6+13=1 \times 6+19$
Effectuer la division euclidienne d’un dividende $a$ par un diviseur $b$, peu importe la technique : calcul posé, calcul mental, calculatrice…, c’est chercher le quotient $q$ et le reste $r$ tels que :
$$a=bq+r \mbox{ avec } 0\leqslant r < b$$
Références pour l’approche de la technique de la division posée en potence
Deux techniques successives dans la progression ERMEL
- Une technique de type « multiplication à trous » pour continuer de travailler le calcul réfléchi tout en résolvant des problèmes de division ERMEL CM1 Apprentissages numériques et résolution de problèmes ERMEL, p. 204 et suiv. et notamment p. 230-232.
- Une technique introduisant la technique en potence dans une perspective constructiviste : ERMEL CM2 Apprentissages numériques et résolution de problèmes, p. 222 et suiv. et notamment p. 227 et suiv., et p. 262 et suiv. pour la description d’une situation.
Partage de pièces d’or et addition de multiples
Partager équitablement 872 pièces d’or entre 7 pirates
Exemple d’une production possible d’élève :
$$ \begin{align} 7 \times 100 &= 700\\ 7 \times 20 &= 140\\ 7 \times 2 &= 14\\ 7 \times 2 &= 14 \end{align} $$
d’où on obtient $7 \times 124 = 868$, ce qui équivaut à $868$ pièces par pirate. $872 - 868 = 4$ donc il reste $4$ pièces qu’on ne peut pas diviser en $7$. Le fait que le reste soit nul ou non n’introduit aucune difficulté particulière ! Le tâtonnement est relativement rapide et donne une approximation de plus en plus précise du quotient.
Partage de billets et pièces : vers la technique « en potence »
Comment partager 1648 euros en 7 ?
Pour chaque élève ou groupe d’élèves, on distribue :
Après quelques tentatives, les élèves arrivent à :
- Partager d’abord le « gros billet » de 1000 qu’il faut donc changer en 10 billets de 100. On obtient 16 billets de 100 : cela permet de distribuer 2 billets de 100 chacun.
- Il reste 2 billets de 100 que l’on doit changer en billets de 10, on obtient 24 donc billets de 10 : cela permet de distribuer 3 billets de 10 chacun.
- Il reste 3 billets de 10 qui, avec les 8 billets/pièces de 1, font 38 billets/pièces de 1 : cela permet de distribuer 5 billets/pièces de 1 à chacun et il reste 3 billets de 1.
- On a donc distribué à chacun 2 billets de 100, 3 billets de 10, 5 billets/pièces de 1 soit 2(c) 3(d) 5 (u) = 235 euros et il reste 3 euros.
On arrive ainsi à la technique experte « en potence » (vidéo réalisée avec un tableau interactif).
Variantes possibles de la division posée en potence
- Écriture ou non d’un répertoire multiplicatif au fur et à mesure des besoins du calcul
- Soustractions intermédiaires posées ou non
- Décomposition du quotient en $200 + 30 + 5$, au lieu de $2d + 3d + 5u$ comme sur la vidéo précédente
Effectuer une division euclidienne avec une calculatrice
Avec la touche « $\div$ », on obtient un quotient décimal. Le quotient de la division euclidienne est la partie entière. On peut retrouver le reste en soustrayant au dividende le produit de ce quotient par le diviseur.
Exemple avec $123\div 7$
- $123\div 7 \approx 17, 57…$ donc le quotient est 17 (partie entière du nombre affiché)
- $17 \times 7=119$
- $123-119=4$ donc le reste est 4
- $(119\times 7) + 4 = 123$
On peut utiliser la touche « division euclidienne » si la calculatrice en possède une, ce qui n’est pas commun.