Vers le calcul posé à l'école primaire
2025-12-08
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Jean-Philippe Georget
Éléments sur l’enseignement du calcul posé (addition, soustraction, multiplication et division) en lien avec l’enseignement de la numération et du calcul mental. Le fonctionnement de chaque algorithme d’opération est expliqué.
# Références
- Socle commun de connaissances et de compétences
- Programmes en vigueur et documents d'accompagnement actuels
([Eduscol](https://eduscol.education.fr/))
- Girodet, MA. (2001). *L'influence des cultures sur les pratiques
quotidiennes de calcul*. Didier.
- Les documents d’accompagnement des programmes 2002-2007 peuvent
sembler datés mais ils contiennent des éléments difficilement
trouvables ailleurs : [Calcul posé](doc-acc-calcul_pose.pdf) et
[Calcul mental](doc-acc-calcul_mental.pdf)
- Le diaporama sur le [calcul mental](/diaporamas/calcul-mental) est
en rapport direct avec le présent diaporama.
---
# Propositions de définitions
<dl>
<dt>Calcul mental</dt>
<dd>Effectué mentalement avec ou sans recours à l'écrit selon les acceptions.</dd>
<dt>Calcul automatisé</dt>
<dd>Application d'un algorithme connu, ou rappel d'un résultat mémorisé.</dd>
<dt>Calcul réfléchi</dt>
<dd>Effectué avec recherche d'une stratégie de calcul.</dd>
<dt>Technique experte</dt>
<dd>(généralement) Algorithme usuel d'une des 4 opérations, s'oppose à technique personnelle ou qui change au cas par cas.</dd>
<dt style="color:blue;">Calcul posé</dt>
<dd>Calcul écrit qui suit une technique experte.</dd>
<dt>Calcul instrumenté</dt>
<dd>Utilisant un instrument (calculatrice, tableur, table d'opérations).</dd>
</dl>
---
# Addition et soustractions
## Champ conceptuel des structures additives
Les problèmes qui nécessitent une addition ou une soustraction sont en
lien direct et doivent se traiter simultanément. C'est la notion de
*champ conceptuel des structures additives* de Gérard Vergnaud (1991).
Les techniques expertes, elles, ne sont pas enseignées simultanément.
Les cas d'addition et de soustractions avec et sans retenues doivent
être proposés simultanément, à l’inverse de ce que proposent certains
manuels. Ceci favorise la bonne compréhension des techniques associées
en lien avec celle de la numération et évite certains obstacles
didactiques (càd. causés par l’enseignement lui-même).
---
## Panorama synthétique des procédures élèves
- Appui sur du matériel
- Procédures $\pm$ imagées : dessin, schéma, file numérique (suite des
nombres écrits en chiffres) et droite numérique
- Utilisation du surcomptage (ex. compter à partir de 5 jusqu'à 11, càd. augmenter de 6) ou
du décomptage (ex. compter de 7 à 5, càd. diminuer de 2)
- Calcul sur les nombres après reconnaissance du calcul à effectuer :
opération à trous, technique personnelle, technique experte,
calculatrice (utilisation possible et souhaitable [à tous les niveaux
dès le CP](/maths/numeration-calcul/calcul-mental/calculatrice)).
---
## Techniques personnelles pour additionner
Pour calculer $657+48$, on peut par exemple utiliser la décomposition
canonique : $657=600+50+7$, l'associativité et la commutativité de
l'addition. Ceci suppose que les élèves aient déjà travaillé ces
propriétés lors de séances de [calcul
mental](/diaporamas/calcul-mental).
$$
\begin{align}
657 + 48 & = (600 + 50 + 7)+ (40 + 8)\\\\
& = 600 + 50 + 7 + 40 + 8\\\\
& = 600 + 50 + 40 + 7 + 8\\\\
& = 600 + (50 + 40) + (7 + 8)\\\\
& = 600 + (50 + 40) + (7 + 3 + 5)\\\\
& = 600 + 90 + 10 + 5\\\\
& = 600 + 100 + 5 = 705
\end{align}
$$
Quelques exemples argumentés d’autres décompositions possibles...
---
Appui sur le double de 40 (car double de 4 bien connu) et $8d + 2d = 10d = 100$ :
$$
\begin{align}
657 + 48 & = (600 + \mathbf{40} + 17)+ (\mathbf{40} + 8)\\\\
& = 600 + (40 + 40) + (17 + 8)\\\\
& = 600 + 80 + 25\\\\
& = 600 + \mathbf{80} + \mathbf{20} + 5\\\\
& = 600 + 105\\\\
\end{align}
$$
---
Appui sur des passages à la dizaine ou la centaine supérieure :
$$
\begin{align}
& = 657 + 40 + 3+5\\\\
& = \mathbf{657} + \mathbf{3} + 40 + 5\\\\
& = \mathbf{660} + \mathbf{40} + 5\\\\
& = 700 + 5\\\\
\end{align}
$$
</br>Les stratégies personnelles peuvent être multiples !
---
## Situation *Carrelages* pour introduire la technique experte de l'addition
Entre numération et principe usuel de l'addition : un bon de commande
pour carreler un quadrillage (ERMEL CP).
<figure>
<a href="carrelages-1.jpg"><img src="carrelages-1.jpg" style="width:32%;"></a>
<figcaption>Exemple de quadrillages à carreler, un par élève.</figcaption>
</figure>
**Première phase : établir un bon de commande par quadrillage**</br>
>Il me faut … carrés. Je commande … paquets de dix et … carrés isolés. (nombre de carrés isolés inférieur à 9)</br>
---
**Phase suivante :** Transformer 2 bons de commande (ou plus) en un unique bon de
commande
Cette phase permet aux élèves de découvrir le principe des retenues
utilisé dans l'algorithme usuel de l'addition.
<figure>
<a href="carrelages-17et28-1.png"><img src="carrelages-17et28-1.png" style="width:45%;"></a>
<figcaption>On commence par identifier puis additionner séparément les dizaines entre elles et les unités entre elles.</figcaption>
</figure>
---
<figure>
<a href="carrelages-17et28-2.png"><img src="carrelages-17et28-2.png" style="width:31%;"></a>
$\rightarrow$ <a href="carrelages-17et28-3.png"><img src="carrelages-17et28-3.png" style="width:46%;"></a>
<figcaption>$7-8=15$ mais il est impossible de commander $15$ carrés isolés, donc il faut commander un paquet de $10$ et $5$ carrés isolés.</figcaption>
</figure>
Les élèves redécouvrent ainsi eux-mêmes le principe de la *retenue* de
l’addition en s’appuyant sur des connaissances de numération.
Une situation similaire, basée sur des sachets de graines et intégrant
les centaines, est présentée dans le ERMEL CE1.
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### Trois repères importants pour la situation *Carrelages*
- Assurer plusieurs séances avec de véritables manipulations afin que
les élèves intègrent bien le processus du passage des unités en
dizaines, des dizaines en centaines
- Insister sur l'anticipation du résultat de l'addition
- Favoriser l'auto-validation des élèves avec une calculatrice
---
## Pourquoi apprendre l'addition en colonnes
Avec des séances de calcul mental quotidiennes pertinentes, les
élèves deviennent très rapides et à l'aise avec les calculs additifs
et soustractifs.
Au moment d'introduire l'addition posée, certains
risquent de ne pas voir l'intérêt de poser une addition telle que
$657+48$ en colonnes alors qu'ils savent la traiter rapidement
mentalement ou en ligne.
---
Si un calcul mental est plus rapide, l'élève ne devrait pas être
obligé de poser l'opération, sauf si l'enseignant justifie cette
nécessité.
<figure>
<a href="calcul-methode-de-ton-choix.jpg"><img src="calcul-methode-de-ton-choix.jpg" style="width:45%;"></a>
<figcaption>Illustration avec cet extrait du manuel Cap Maths, CP, Hatier, 2016.</figcaption>
</figure>
---
**Quelques arguments pour légitimer l’addition en colonnes**
- Fonctionne pour tous les nombres
- Procédé automatisé, parfois plus rapide (mais pas toujours)
- Efficace pour additionner plusieurs nombres
- Trace des retenues pour vérifier les calculs
---
### Une écriture valide mais non conventionnelle !
<figure>
<a href="addition-colonnes-non-conventionnelle.png"><img src="addition-colonnes-non-conventionnelle.png" style="width:29 %;"></a>
<figcaption></figcaption>
</figure>
$$6\text{ }9\text{ }15 = 6915 \neq 705$$
Il faut *traiter* / *mémoriser* / *retenir* une dizaine (1d) d'où le nom de *retenue*.
**Disgression :** Pour mettre en forme des opérations posées complètes ou à trous dans un traitement de textes, utiliser un tableau en plaçant 1 signe ou 1 chiffre par cellule, supprimer les bordures sauf pour les traits utiles.
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## Place des retenues dans l'addition posée
C'est à l'élève de choisir la place de la retenue qui lui convient, par exemple :
- au-dessus de 5d
- en dessous de 4d
- ailleurs en écrivant qu'il s'agit de 1 dizaine
<figure>
<a href="addition-place-de-la-retenue.png"><img src="addition-place-de-la-retenue.png" style="width:80%;"></a>
<figcaption></figcaption>
</figure>
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## Techniques « personnelles » de soustraction
Décomposition du plus grand nombre avec un nombre compris entre 10 et
20 pour lui soustraire l’unité du petit nombre
$$
53 - 26 = 40 + \mathbf{13} - 20 - \mathbf{ 6} = (40 - 20) + (13- 6) = 20 + 7
$$
Décomposition du plus grand nombre et complément à 10
$$
53 - 26 = 40 + \mathbf{10} + 3 - 20 - \mathbf{ 6} = (40 - 20) + (10 - 6) + 3 = 20 + 4 + 3
$$
Décomposition du plus petit nombre
$$
53 - 26 = 5\mathbf{3} - 23 - \mathbf{3} = (5\mathbf{3} - \mathbf{3}) - 23 = 50 - 20 - 3 = 47 - 20
$$
Source : Ma, L. (1999). *Knowing and Teaching Elementary Mathematics,
Teacher’s Understanding of Fundamental Mathematics in China and the
United States*. Mahwah, New Jersey, London: Lawrence Erlbaum
Associates, Publishers.
---
## Techniques expertes pour la soustraction
- Plusieurs techniques expertes existent et les programmes ne
précisent pas laquelle enseigner.
- Comme pour l'addition, il faut traiter simultanément des cas avec et
sans « retenue ».
- Comme le proposait le document [Calcul
posé](doc-acc-calcul_pose.pdf) accompagnant les programmes
2002/2007, l'essentiel pourrait être que l'élève maîtrise au moins
une technique parmi celle-ci :
- technique par emprunt
- technique par compensation ou par écart constant, et techniques dérivées
- addition à trous (en dernier recours)
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## Soustraction par emprunt
<a id="soustraction-par-emprunt"></a>
Principale méthode enseignée dans certains pays
<figure>
<a href="soustraction-par-emprunt.png"><img src="soustraction-par-emprunt.png" style="width:64%;"></a>
<figcaption>Exemple avec $53-26$.</figcaption>
</figure>
- Avantage : Méthode basée sur la décomposition d'un nombre
(inverse des groupements d'unités effectués quand l'élève
apprend le codage chiffré des nombres). Compréhension simple.
- Inconvénient : Un grand nombre d'échanges rend la méthode
coûteuse et augmente le risque d'erreurs (ex : $1000-768$),
mais mixage possible avec des stratégies de calcul mental
réfléchi ($1000-700-60-8$).
---
## Technique par compensation ou écart constant, et brouillage du sens des « retenues »
<a id="soustraction-par-compensation"></a>
<figure>
<a href="soustraction-par-compensation-et-retenues.png"><img src="soustraction-par-compensation-et-retenues.png" style="width:60%;"></a>
<figcaption>Exemple avec $53-26$.</figcaption>
</figure>
- Le <span style="color:red">1</span> posé à gauche du 3 de 53 se juxtapose au nombre 3 pour donner 13.
- Le <span style="color:blue">1</span> posé à côté du 2 de 26 s'ajoute au 2 pour donner 3.
Comment justifier et expliquer le sens de cette technique
aux élèves comme les programmes le demandent ?
---
### Explication basée sur un calcul algébrique
La technique par compensation ou écart constant s'appuie sur le
fait que l'on peut ajouter des quantités aux deux termes de la
soustraction sans que la différence soit modifiée.
La justification algébrique peut se faire de la façon suivante. Si
on veut calculer la différence entre $a$ et $b$, on peut ajouter un
nombre $c$ aux deux termes :
$$(a + c) - (b + c)= a + c - b - c = a - b$$
Mais cette explication est inadapté à l’école primaire.
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### Explication basée sur la ligne numérique
Dans la technique par compensation ou écart constant, la différence ne varie
pas en ajoutant 10 (par exemple) aux deux termes traités :
<figure>
<a href="graduation-soustraction-plus10.jpg"><img src="graduation-soustraction-plus10.jpg" style="width:65%;"></a>
<figcaption>Ajout de 10 ou 1 dizaine aux deux termes de $53-26$.</figcaption>
</figure>
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### La soustraction par compensation ou écart constant sous forme posée
« L’astuce » de la soustraction par compensation consiste à ajouter le
même nombre, 10, aux deux termes de la différence mais pas de la même
manière.
L'écriture au centre ci-dessous n'est pas usuelle en France,
mais elle est claire, explicite et pertinente à utiliser avec tous
les élèves.
<figure>
<a href="soustraction-compensation-posee.png"><img src="soustraction-compensation-posee.png" style="width:90%;"></a>
<figcaption>La soustraction posée au centre rend explicitement compte de la compensation tout en restant compréhensible.</figcaption>
</figure>
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## Variante : la soustraction « à la russe »
En ajoutant $4$, on obtient $53 - 26 = 57-30$.
<figure>
<a href="graduation-soustraction-plus4.jpg"><img src="graduation-soustraction-plus4.jpg" style="width:64%;"></a>
<figcaption></figcaption>
</figure>
En soustrayant $3$, on obtient $53 - 26 = 50-23$.
<figure>
<a href="graduation-soustraction-moins3.jpg"><img src="graduation-soustraction-moins3.jpg" style="width:64%;"></a>
<figcaption></figcaption>
</figure>
---
## Une autre technique pour la soustraction
Exemple avec $1234-678$ : En ajoutant $765$ aux deux
termes, on obtient des « $9$ » au premier terme, ce qui supprime le problème des retenues :
- $1234+765=1999$
- $678+765=1443$
<figure>
<a href="soustraction-1234-678.png"><img src="soustraction-1234-678.png" style="width:64%;"></a>
<figcaption></figcaption>
</figure>
Note : Cette technique est présentée dans le manuel Euromaths CE1, 2009.
---
## Mesurer avec une règle cassée ?
<figure>
<a href="rinaldi-2016-regles-cassees.png"><img src="rinaldi-2016-regles-cassees.png" style="width:64%;"></a>
<figcaption>Extrait de Rinaldi, A-M. (2013). Mesurer avec une règle cassée pour comprendre la technique usuelle de la soustraction posée. <em>Grand N</em>, 91, 93-119 (<a href="https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/revues/grand-n/consultation/numero-91-grand-n/5-mesurer-avec-une-regle-cassee-pour-comprendre-la-technique-usuelle-de-la-soustraction-posee--476678.kjsp?RH=1550478086762">en ligne</a>).</figcaption>
</figure>
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# Champ conceptuel des structures multiplicatives
Les problèmes de multiplication et de division doivent se traiter
simultanément, en lien avec les structures multiplicatives et la
notion de *champ conceptuel* des structures multiplicatives de
Gérard Vergnaud (1991).
Les techniques expertes ne sont pas enseignées simultanément.
Les cas de division euclidienne avec reste nul ou non
doivent être posées simultanément. Ceci favorise la bonne
compréhension de ce qu'est la division euclidienne (voir détails
plus loin).
Attention à l'abus de langage : « Il n'y a pas de reste » au lieu de
« Le reste est égal à zéro, il est nul ».
Les manuels scolaires ne respectent pas toujours ces exigences
importantes.
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## Panorama des procédures élèves
- Appui sur du matériel
- Procédures $\pm$imagées : dessin, schéma, file puis droite
numériques
- Procédures additives/soustractives : additions et
soustractions réitérées « pas à pas », avec ou sans
regroupements. Exemple avec
$
\\begin{align}
15\times 58 & = [(15\times 10)+(15\times 10)+\\\\
& (15\times 10)+(15\times 10)+(15\times 10)] + (15 \times 8)
\end{align}
$
- Procédures multiplicatives : utilisation de multiples
spéciaux (ex. multiples de puissances de 10), multiplication à
trous, technique experte, calculatrice à tous les niveaux
d'enseignement.
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## Vers une multiplication posée
- $\times$ : écriture économique d'additions
réitérées : $127 \times{} 2 €$, ...fois...,
...multiplié par...
- Par le [calcul mental](/diaporamas/calcul-mental), travail des
propriétés de commutativité (puissance de la $ \times{} $),
d’associativité et de distributivité
- Montrer l’intérêt d'une technique experte : achat de
billets, économie des calculs) dans ERMEL CE1/CE2
- Multiplication par 10, 100, 1000
- Multiplication par un nombre à 1 chiffre
- Multiplication par un nombre à 2 ou 3 chiffres
- Multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier, puis de
deux nombres décimaux (collège)
Différenciation : calculatrice, liste de résultats de [multiplications
mal
maîtrisées](/maths/numeration-calcul/calcul-mental/apprendre-tables-multiplication/).
---
## Multiplier par 10, 100, 1000
- Éviter d'introduire la règle « multiplier par 10 revient à ajouter un zéro » à l'origine des erreurs du type $5{,}3\times 10 = 5{,}30$ à l’école et au collègue pour de nombreux élèves
- S'appuyer plutôt sur des raisonnements simples et explicites de numération (voir diapositives suivantes)
---
### Explication 1
$35\times 10 = (3 d +5 u) \times 10$ revient à multiplier chaque unité de numération par 10, donc les unités deviennent des dizaines, les dizaines deviennent des centaines, etc. (technique du « glisse-nombre »).
<figure>
<a href="glisse-nombre.png"><img src="glisse-nombre.png" style="width:65%;"></a>
<figcaption>Illustration avec le « glisse-nombre ».</figcaption>
</figure>
L’explication fonctionne aussi avec les nombres décimaux.
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### Explication 2
$5 \times 10 = 5 \times 1\mbox{ dizaine} = 5 \mbox{ dizaines} = 50$
$5 \times 20 = 5 \times 2\mbox{ dizaines}=10 \mbox{ dizaines}=100$
$$
\\begin{align}
5,3 \times 10 & = 53 \mbox{ dixièmes} \times 10\\\\
&= (53 \times 1\mbox{ dixième}) \times 10\\\\
&= 53 \times (1 \mbox{ dixième} \times 10)\\\\
&= 53 \mbox{ unités} = 53
\end{align}
$$
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# Intermède potentiel
Analyse et formulation d’hypothèses à partir d’une séance de résolution de $45\times 15$ par <a href="3-methodes-pour-43x15-en-Inde-juillet-2016.mp4" target="_blank"> 3 formes différentes de multiplication posée en Inde</a> (2016).
---
# Multiplication posée
<a id="quatre-techniques-de-multiplication"></a>
Quatre techniques expertes pour $123 \times 5$ en cycle 2
<figure>
<a href="multiplications-posees-1.png"><img src="multiplications-posees-1.png" style="width:58%;"></a>
<figcaption></figcaption>
</figure>
Après une pratique suffisante, les élèves peuvent aborder
la technique la plus experte (avec les retenues écrites de manière
compréhensible) :
<figure>
<a href="multiplications-posees-2.png"><img src="multiplications-posees-2.png" style="width:40%;"></a>
<figcaption></figcaption>
</figure>
---
Pourquoi poser $123 \times 5$ plutôt que $5 \times 123$ ?
---
## Multiplication posée par un nombre à plusieurs chiffres
$$
\\begin{align}
123 \times 645 &= 123 \times (6c + 4d + 5u)\\\\
&= (123 \times 6 c) + (123 \times 4 d) + (123 \times 5 u)\\\\
&= (123 \times 6) c + (123 \times 4) d + (123 \times 5) u\\\\
&= 738c + 492d + 615u
\end{align}
$$
---
On peut aussi écrire $123 \times 645 = 123 \times (600 + 40 + 5) = 73800 + 4920 + 615$.
Ces écritures relèvent du collège. À l'école, elles peuvent s'écrire
de manières variées avec des flèches ou des schémas pour justifier les
deux écritures en colonnes suivantes :
<figure>
<a href="multiplications-en-colonnes.png"><img src="multiplications-en-colonnes.png" style="width:54%;"></a>
<figcaption></figcaption>
</figure>
---
## Multiplication d'un décimal par un entier
### Explication 1
$13{,}25 \times 6 = 1325\mbox{ centièmes} \times 6 = 7950 \mbox{ centièmes}=79{,}5$
</br>
### Explication 2
- Se débarrasser de la virgule avec $13{,}25 \times 100 = 1325$
- Calculer le produit $1325 \times 6 = 7950$
- Puisqu'on a multiplié le produit par 100, il faut ensuite le diviser par 100 : $7950 : 100 = 79{,}5$
---
## Multiplication de deux décimaux
Comment calculer $13,25 \times 7,6$ ?
### Explication 1
- Se ramener à une opération connue avec $7,6 \times 10 = 76$
- Effectuer $13,25 \times 76 = 1007$ (cad. un décimal $ \times $ un entier)
- Puisqu'on a multiplié le produit par 10, il faut ensuite le diviser par 10 : $1007 : 10 = 100,7$.
---
### Explication 2 (justification de la technique usuelle)
$(13,25 \times 100) \times (7,6 \times 10) = 1325 \times 76
= 100\\,700$
$100\\,700 : (10 \times 100) = 100\\,700:1000 = 100,7$.
Puisqu'on a multiplié le produit par
$10 \times 100=1000$, on divise ensuite par 1000.
<figure>
<a href="multiplication-deux-decimaux.png"><img src="multiplication-deux-decimaux.png" style="width:64%;"></a>
<figcaption>La division par $1000$ explique le fait que l’on compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les nombres décimaux multipliés pour placer la virgule à leur produit.</figcaption>
</figure>
---
## Technique pour la division
### Mise au point : division euclidienne ou non
Sens du mot « division » = partage équitable ou
inéquitable travaillé en cycles 1 et 2
### Division euclidienne et autres divisions
Exemples de divisions possibles de 25 par 6 : $25=4 \times 6+1=3 \times
6+7=2 \times 6+13=1 \times 6+19$
Effectuer la division euclidienne d'un dividende $a$ par un diviseur
$b$, peu importe la technique : calcul posé, calcul mental,
calculatrice..., c'est chercher le quotient $q$ et le reste $r$ tels
que :
$$a=bq+r \mbox{ avec } 0\leqslant r < b$$
---
## Références pour l'approche de la technique de la division posée en potence
Deux techniques successives dans la progression ERMEL
- Une technique de type « multiplication à trous » pour continuer de
travailler le calcul réfléchi tout en résolvant des problèmes de
division *ERMEL CM1 Apprentissages numériques et résolution de
problèmes ERMEL*, p. 204 et suiv. et notamment p. 230-232.
- Une technique introduisant la technique en potence dans une
perspective constructiviste : *ERMEL CM2 Apprentissages numériques
et résolution de problèmes*, p. 222 et suiv. et notamment p. 227 et
suiv., et p. 262 et suiv. pour la description d'une situation.
---
## Partage de pièces d'or et addition de multiples
Partager équitablement 872 pièces d'or entre 7 pirates
Exemple d'une production possible d'élève :
$$
\\begin{align}
7 \times 100 &= 700\\\\
7 \times 20 &= 140\\\\
7 \times 2 &= 14\\\\
7 \times 2 &= 14
\end{align}
$$
d'où on obtient $7 \times 124 = 868$, ce qui équivaut à $868$ pièces
par pirate. $872 - 868 = 4$ donc il reste $4$ pièces qu'on ne peut pas
diviser en $7$. Le fait que le reste soit nul ou non n'introduit
aucune difficulté particulière ! Le tâtonnement est relativement
rapide et donne une approximation de plus en plus précise du quotient.
---
## Partage de billets et pièces : vers la technique « en potence »
Comment partager 1648 euros en 7 ?
Pour chaque élève ou groupe d'élèves, on distribue :
<figure>
<a href="billets-1000-100-10-1.png"><img src="billets-1000-100-10-1.png" style="width:64%;"></a>
<figcaption>1 billet de 1000, 6 billets de 100, 4 billets de 10, 8 billets de 1.</figcaption>
</figure>
---
Après quelques tentatives, les élèves arrivent à :
- Partager d'abord le « gros billet » de 1000 qu'il faut donc
changer en 10 billets de 100. On obtient 16 billets de 100 : cela
permet de distribuer 2 billets de 100 chacun.
- Il reste 2 billets de 100 que l'on doit changer en billets
de 10, on obtient 24 donc billets de 10 : cela permet de
distribuer 3 billets de 10 chacun.
- Il reste 3 billets de 10 qui, avec les 8 billets/pièces de
1, font 38 billets/pièces de 1 : cela permet de distribuer 5
billets/pièces de 1 à chacun et il reste 3 billets de 1.
- On a donc distribué à chacun 2 billets de 100, 3 billets de
10, 5 billets/pièces de 1 soit 2(c) 3(d) 5 (u) = 235 euros et il
reste 3 euros.
On arrive ainsi à la [technique experte « en potence »](1648div7.avi)
(vidéo réalisée avec un tableau interactif).
---
### Variantes possibles de la division posée en potence
- Écriture ou non d'un répertoire multiplicatif au fur et à mesure des
besoins du calcul
- Soustractions intermédiaires posées ou non
- Décomposition du quotient en $200 + 30 + 5$, au lieu de $2d + 3d +
5u$ comme sur la vidéo précédente
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### Effectuer une division euclidienne avec une calculatrice
Avec la touche « $\div$ », on obtient un quotient décimal.
Le quotient de la division euclidienne est la partie entière. On
peut retrouver le reste en soustrayant au dividende le produit de
ce quotient par le diviseur.
Exemple avec $123\div 7$
- $123\div 7 \approx 17, 57...$ donc le quotient est 17 (partie entière du nombre affiché)
- $17 \times 7=119$
- $123-119=4$ donc le reste est 4
- $(119\times 7) + 4 = 123$
On peut utiliser la touche « division euclidienne » si la calculatrice
en possède une, ce qui n’est pas commun.
